Определение 1.1.1. Группа, являющая прямым произведением групп, изоморфных 
, называется элементарной абелевой -группой.
Определение 1.1.2. Группа 
называется бипримарной, если 
, где 
, 
.
Определение 1.1.3. Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией 
, удовлетворяющей следующим
требованиям:
1) операция ∘ ассоциативна, т.е. 
,для всех 
;
2) в существует нейтральный элемент относительно операции ∘, то есть такой элемент 
что 
для всех 
;
3) каждый элемент обладает симметричным относительно операции ∘, то есть для любого 
существует такой элемент 
что a ∘ 
= ∘ 
= 
.
Определение 1.1.4. Группа с коммутативной операцией называется абелевой.
Определение 1.1.5. Если число элементов группы конечно, то называется конечной группой; число элементов в называется порядком группы и обозначается 
.
Определение 1.1.6. Непустое подмножество 
группы называется подгруппой группы и обозначается 
, если является группой относительно той же операции, что и группа .
Определение 1.1.7. Подгруппа 
группы называется нормальной подгруппой и обозначается 
, если выполняется такое равенство 
, 
.
Определение 1.1.8. Подгруппа группы называется нормальной, если 
= 
, .
Определение 1.1.9. 1. Пусть — группа, 1 — единичный элемент группы . Подгруппа 
= {1} называется единичной подгруппой группы (обычно единичную подгруппу обозначают 1, т.е. пишут 1 ≤ 
)
2. Подгруппы и называются тривиальными подгруппами группы .
Определение 1.1.10. Неединичная группа называется простой, если
она не имеет нетривиальных нормальных подгрупп.
Определение 1.1.11. Нормальная подгруппа группы называется минимальной нормальной подгруппой, если 
и 
справедливо: если 1 ⊆ 
⊆ , то 
= 1 или = и обозначается 
.
Другими словами, не существует такой нормальной подгруппы группы , чтобы 1 ⊂ ⊂ .
Определение 1.1.12. Подгруппа 
группы называется максимальной подгруппой группы и обозначается 
, если 
и ∀ ≤ справедливо: если ⊆ ⊆ , то = или = .
Другими словами, <∙ , если M≠ и не существует такой подгруппы группы , что ⊂ ⊂ .
Определение 1.1.13. Подгруппой Фраттини группы называется пересечение всех максимальных подгрупп группы , если они существуют и сама группа в противном случае и обозначается 
, то есть =∩ 
, где <∙ или = .
Определение 1.1.14. Неединичная группа называется -простой, где 
⊆ 
, если не содержит нетривиальных -допустимых подгрупп.
Определение 1.1.15. 1. Неединичная группа называется простой, если не содержит нетривиальных 
- допустимых подгрупп (нормальных).
2. Неединичная группа называется характеристически простой, если
не содержит нетривиальных 
-допустимых подгрупп (характеристических).
Определение 1.1.16. Пусть — группа, 
. Коммутатором элементов и 
группы называется элемент 
и обозначается 
, т.е. 
.
Определение 1.1.17. Коммутантом группы 
называется подгруппа 
группы и обозначается 
, 
.
Определение 1.1.18. Группа называется примарной, если её порядок равен степени некоторого простого числа.
Определение 1.1.19. Пусть 
Группа называется -группой, если 
, где 
Определение 1.1.20. 1) Конечная последовательность подгрупп группы вида 
(1) называется рядом группы .
2) Конечная последовательность подгрупп группы вида 
(2) называется цепью группы , соединяющей с , или 
-цепью.
3) Число 
называется длиной ряда (1) или цепи (2). Подгруппы 
называются членами ряда (1) или цепи (2).
Определение 1.1.21. 1) Ряд (цепь) группы называется нормальным рядом (цепью), если 
.
2) Ряд (цепь) группы называется субнормальным рядом (цепью), если 
.
3) Факторгруппы 
нормального (субнормального) ряда называются нормальными (субнормальными) факторами группы .
Определение 1.1.22. 1) Нормальный ряд группы без повторений членов называется главным рядом группы , если он не допускает дальнейшего уплотнения нормальными подгруппами, т.е. 
.
2) Субнормальный ряд группы без повторений членов называется композиционным рядом группы , если он не допускает дальнейшего уплотнения субнормальными подгруппами, т.е. 
.
3) Фактор главного (композиционного ряда) называется главным (композиционным) фактором.
Определение 1.1.23. Два субнормальных ряда группы называются изоморфными, если они имеют одинаковую длину и между их факторами существует биективное соответствие, при котором соответствующие факторы изоморфны.
Определение 1.1.24. Конечная группа называется нильпотентной, если каждая силовская подгруппа группы нормальна в .
Определение 1.1.25. Конечная группа называется нильпотентной, если является прямым произведением своих силовских подгрупп.
Определение 1.1.26. Группа называется нильпотентной, если обладает центральным рядом, то есть таким нормальным рядом, все факторы которого центральны.
Через 
обозначается множество всех конечных нильпотентных групп.
Определение 1.1.27. 
-замкнутой называют группу с нормальной силовской -подгруппой.
Определение 1.1.28. Группа 
называется абелевой, если операция 
коммутативна на , т.е. 
.
Определение 1.1.29. Группа называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов.
Определение 1.1.30. 1) Порядком конечной группы называется число его элементов и обозначается 
.
2) 
— совокупность всех простых делителей порядка группы , т.е. 
}.
Определение 1.1.31. Пусть 
— группа, .Множество 
называется правым смежным классом группы по подгруппе с представителем 
.
Аналогично 
— левый смежный класс группы по подгруппе с представителем .
Определение 1.1.32. Пусть — группа, . Индексом подгруппы в группе называется число смежных классов в разложении группы по подгруппе и обозначается 
.
Обозначение 1.1.33. Пусть — группа, , 
. Тогда 
.
Обозначение 1.1.34. Пусть — группа, 
, . Тогда 
.
Определение 1.1.35. 1. Пусть — группа, . Элемент называется сопряжённым к элементу , если 
, такой что 
.
2. Пусть — группа, , 
. Множество 
называется сопряжённым к множеству , если , такой что 
.
Используемые результаты
Лемма 1.2.1. Пусть 
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) 
;
2) 
то 
;
3) если 
то 
и 
4) 
Лемма 1.2.2. 
тогда и только тогда, когда 
.
Лемма 1.2.3. Если , 
, 
, то 
.
Теорема 1.2.1 (Свойства нормальных подгрупп).
Пусть 
группа, тогда справедливы следующие утверждения:
1) если 
, 
, то 
и 
, то есть пересечение нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа и произведение нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа;
2) если , 
, то 
, то есть пересечение нормальной подгруппы с произвольной нормальна в произвольной;
3) если , и 
, то 
, то есть нормальная подгруппа является нормальной в любой подгруппе ее содержащей.
Теорема 1.2.2. Минимальная нормальная подгруппа группы является характеристически простой группой.
Теорема 1.2.3. Характеристически простая группа является прямым произведением изоморфных простых групп.
Следствие 1.2.1. В нильпотентной группе все максимальные подгруппы нормальны и имеют простые индексы.
Теорема 1.2.4 (Миллер). 1. Факторгруппа / 
абелева;
2. если и 
абелева, то ≤ ;
3. если ≤ , ≤ , то и 
абелева.
Теорема 1.2.5. 1. Если — максимальная нормальная подгруппа неединичной группы , то факторгруппа является простой группой.
2. Если — нормальная подгруппа группы и факторгруппа простая, то H — максимальная нормальная подгруппа группы .
Теорема 1.2.6. Абелева простая группа, является циклической группой простого порядка. Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.
Теорема 1.2.7 (Первая теорема Силова). Пусть 
Тогда в существуют силовские -подгруппы.
