Синтез рекурсивных фильтров непосредственно в z-области возможен только для фильтров простого типа с ограниченным количеством полюсов и нулей (особых точек). В общем случае, процесс проектирования рекурсивного фильтра обычно заключается в задании необходимой передаточной характеристики фильтра в частотной области и ее аппроксимации с определенной точностью какой-либо непрерывной передаточной функцией, с последующим z-преобразованием для перехода в z-область. Первые две операции хорошо отработаны в теории аналоговой фильтрации сигналов, что позволяет использовать для проектирования цифровых фильтров большой справочный материал по аналоговым фильтрам. Последняя операция является специфичной для цифровых фильтров.
Для алгебраического преобразования непрерывной передаточной функции в многочлен по z используется билинейное преобразование, известное в теории комплексных переменных под названием дробно-линейного преобразования.
Этапы разработки рекурсивных фильтров включают:
1. Задание частотной характеристики или передаточной функции фильтра.
2. Аппроксимация и расчет коэффициентов b(n) и a(m) передаточной функции фильтра (9.1.3). Этот этап может выполняться четырьмя методами:
· Метод размещения нулей и полюсов на комплексной z-плоскости.
· Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики.
· Согласованное z-преобразование.
· Билинейное z-преобразование.
3. Выбор структуры реализации фильтра – параллельная или каскадная, блоками второго и/или первого порядка.
4. Программное или аппаратное обеспечение реализации фильтра.
Метод размещения нулей и полюсов применяется при разработке простых фильтров с ограниченным количеством нулей и полюсов, если параметры фильтра не обязательно задавать точно. Амплитудная характеристики системы может быть оценена по выражениям при перемещении точки ws по единичной окружности exp(-jwsDt):
|H(w)| = 
Ui / 
Vj, (9.2.1)
Каждой точке zs = exp(-jwsDt) может быть поставлен в соответствие вектор (zs – ni) на ni -нуль, модуль которого Ui = |(zs – ni)| отображает расстояние от zs до i-нуля, а равно и вектор (zs – pj) на pj-полюс с соответствующим расстоянием Vj = (zs – pj). Наибольшее влияние на изменение АЧХ по частоте оказывают нули и полюсы, расположенные ближе к единичной окружности. При расположении нуля непосредственно на окружности гармоника ws в этой точке полностью обнуляется (коэффициент передачи фильтра равен нулю). И, наоборот, при перемещении ws к полюсу, близкому к единичной окружности, происходит резкое нарастание коэффициента усиления системы.
В качестве иллюстрации метода выполним расчет фильтра со следующими параметрами:
1. Полная режекция сигнала на частотах 0 и 250 Гц.
2. Полоса пропускания с центром на fp = 125 Гц с шириной полосы по уровню 3 дб Dp =10 Гц.
3. Частота дискретизации данных fD = 500 Гц.
При частоте дискретизации 500 Гц интервал временной дискретизации Dt = 1/fD, а частота Найквиста fN = 1/2Dt = 250 Гц. Соответственно, нули передаточной функции располагаются в точках n1 = exp(-j2p 0 Dt) = 1 и n2 = exp(-j2p 250 Dt) = -1. Угол из начала координат z-плоскости на полюс p с учетом его сопряженности для получения действительных коэффициентов ±180o . fp/fN = ±90o. Значение радиуса r до полюса определяет ширину полосы пропускания и в первом приближении (при 0 < r < 1.1) оценивается по выражению:
r» 1 + (Dp/fD)p. r» 1.063.
Передаточная функция:
H(z) = (z-1)(z+1) / [(z-r exp(jp/2) (z-r exp(-jp/2)] = (z2 -1)/(z2 +r2) = Y(z)/X(z).
z2Y(z)+r2Y(z) = z2X(z)-X(z). Y(z) = [z2X(z)-X(z)-z2Y(z)] / r2.
Алгоритм фильтра:
y(k) = [x(k-2) – x(k) – y(k-2)] / r2.
При использовании символики z-1 полюс располагается внутри единичной окружности на том же радиусе со значением (при r < 1):
r» 1 - (Dp/fD)p. r» 0.937.
Передаточная функция и алгоритм фильтра:
H(z) = (z-1)(z+1) / [(z-r exp(jp/2) (z-r exp(-jp/2)] = (z2 -1)/(z2 +r2) = (1-z-2) / (1+r2 z-2).
y(k) = x(k) – x(k-2) – r2 y(k-2).
Характеристики фильтров приведены на рис. 9.2.1. Индексы h1, H1, y1 относятся к первому фильтру с полюсом за пределами единичной окружности, индексами h2, H2, y2 – внутри окружности (символика z-1). Импульсные отклики фильтров получены подачей на их входы импульса Кронекера, частотные характеристики вычислены по импульсным откликам. Значение r первого фильтра подобрано по АЧХ под равный коэффициент усиления гармоники fp со вторым фильтром, после чего коэффициенты фильтров нормированы по коэффициенту усиления к 1 на частоте fp.
Рис. 9.2.1.
Как следует из рисунков, изменение многочлена по степеням z на 1/z хотя и изменило коэффициенты разностного уравнения фильтра, но практически не повлияло на его амплитудно-частотную характеристику. Однако при этом произошло изменение области сходимости фильтра с соответствующим изменением фазовых углов направления на полюсы из всех точек единичной окружности, что отразилось на фазово-частотной характеристике и отсчетах импульсного отклика фильтра изменением фазы на p.
Синтез систем непосредственно в z-области применяется, в основном, только для режекторных и селекторных фильтров и более детально рассматривается ниже.
Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики применяется для получения из подходящей аналоговой передаточной функции H(s) с помощью преобразования Лапласа импульсной характеристики h(t), которая затем дискретизируется и подвергается z-преобразованию,
Допустим, имеется простая аналоговая система с передаточной функцией:
H(s) = C / (s-p).
Выполняем обратное преобразование Лапласа функции H(s) и дискретизируем результат преобразования с определенной постоянной времени Dt:
h(t) = TL-1[H(s)] = C exp(pt) → C exp(pnDt).
Выполняем z-преобразование и формируем передаточную функцию H(z):
H(z) = 
h(nDt) zn = C exp(pnDt) zn = C / (1-z exp(pDt)).
При преобразовании фильтров более высоких порядков функции H(s) раскладываются на простые дроби, для каждой из которых находится соответствующий блок Hi(z), а система в целом реализуется в параллельной форме.
Согласованное z-преобразование применяется для преобразования аналоговых фильтров в эквивалентные цифровые непосредственным переводом всех полюсов и нулей с s-плоскости в z-плоскость:
(s-a) → z exp(aDt).
Большинство полюсов и нулей являются комплексно сопряженными и реализуются фильтрами второго порядка:
(s-a)(s-a*) → 1 – 2z exp(Re(a)Dt) cos(Im(a)Dt) + z2 exp(Re(a)Dt).
Следует учитывать, что полоса частот аналоговых фильтров от нуля до бесконечности, а цифровых фильтров – от нуля до частоты Найквиста. При преобразовании происходит нелинейное сжатие бесконечной полосы частот в конечную с соответствующим искажением частотных характеристик фильтров.
Билинейное z-преобразование является основным методом получения коэффициентов рекурсивных БИХ-фильтров и использует следующую замену:
s = g (1-z) / (1+z), g = 1 или 2/Dt,
при этом ось jw s-плоскости отображается в единичную окружность z-плоскости, правая половина s-плоскости – внутрь единичной окружности, а левая половина с полюсами устойчивых аналоговых фильтров – снаружи единичной окружности. Аналогичная замена при отрицательной символике z-1 с соответствующей сменой отображения:
s = g (z-1) / (z+1).
Для фильтров верхних и нижних частот порядок фильтра H(z) равен порядку фильтра H(s). Для полосовых и заградительных фильтров порядок H(z) вдвое больше порядка H(s). Для сохранения частотных характеристик фильтра при нелинейном сжатии частотной шкалы аналогового фильтра (переход от ∞ к wN) предварительно выполняется деформация частотной шкалы аналогового фильтра. Более подробно эти вопросы рассмотрены ниже.
