Определение 2.1. Конечная группа 
называется нильпотентной, если каждая силовская подгруппа группы нормальна в .
Определение 2.2. Конечная группа называется нильпотентной, если является прямым произведением своих силовских подгрупп.
Через 
обозначается множество всех конечных нильпотентных групп.
Теорема 2.1 (Свойства нильпотентных групп).
1. Если 
, 
, то 
.
2. Если , 
, то 
.
3. Если 
, 
, то 
.
4. Если , 
, то 
.
5. Если , 
, то 
.
6. Если , 
, то 
.
Доказательство.
1. Пусть , . Покажем, что .
Пусть 
. Покажем, что 
. Пусть 
– силовская p -подгруппа в G. Так как , то 
. Следовательно, по теореме 1.2.3(2), 
. Достаточно показать, что 
.
Так как 
– p -подгруппа группы 
содержится в некоторой силовской p -подгруппе группы . Покажем, что 
Так как по условию теоремы , то . Согласно определению 1.1.6. 
. С другой стороны, по теореме 1.2.11(3): любые две силовские p -подгруппы группы сопряжены, то есть, если 
то 
. Но , а, следовательно, 
и 
. Значит, если силовская p -подгруппа нормальна в группе, то она совпадает с любой силовской p -подгруппой данной группы. Можно сделать вывод, что нормальная силовская p -подгруппа единственна в группе. Тогда 
и 
(1) и 
(2).
С другой стороны, так как , то 
– группа 
– подгруппа группы , а по теореме 1.2.1 
, где 
где 
– p -подгруппа группы 
.
Таким образом, 
, но – силовская p -подгруппа 
. А по (1) 
. Следовательно , и .
2. Пусть , . Покажем, что то
Пусть 
. Так как , то 
, причем по теореме 1.2.12(2) 
. Тогда 
.
3. Пусть , , 
. Покажем, что .
Пусть 
, 
. Так как и , то 
, 
, причем 
, так как 
. Пусть 
. Покажем, что 
. Для этого необходимо показать, что 
. Так как 
и 
, то по теореме 1.2.3(3) достаточно показать, что 
. Покажем, что 
. То есть, покажем что 
. Так как 
, достаточно показать, что 
, где по определению 1.1.14 
. Для этого достаточно показать, что 
, 
.
По условию теоремы и (4). По теореме 1.2.9(1) 
перестановочны поэлементно 
. Значит, 
и так как 
, то 
. Таким образом, 
(5). Из (4) и (5) 
. Следовательно, . Аналогично можно показать, что 
. Из доказанного следует, что . По теореме 1.2.2 
. Так как 
, где 
, поскольку 
– силовские p -подгруппы. Значит 
По доказанному, 
.
4. Пусть , . Покажем, что .
По теореме 1.2.10 
, где 
. Так как , 
, а по свойству изоморфных групп 
.
5. Пусть , . Покажем, что .
Пусть 
Так как , то 
. Так как 
, то 
, где 
, а значит 
. Таким образом, 
, а по лемме 1.2.2(1) 
, 
.
6. Пусть , . Покажем, что .
Допустим, что – контрпример минимального порядка, то есть , , но 
, причем – группа наименьшего порядка с таким свойством.
Рассмотрим 
. Так как , , то . Возможны 2 случая:
а) Пусть 
По лемме 1.2.1(1) 
, а значит, существует 
. Так как 
, то 
, то по теореме о соответствии 
. По следствию 1.2.1 
, но так как , то 
. Получено противоречие.
б) Пусть 
. Тогда, 
. По лемме 1.2.1 так как 
, то 
. Так как 
, то 
. Таким образом, 
. По условию , а по доказанному 
. Получено противоречие.
Из пунктов а) и б) следует, что контрпримера не существует. Следовательно, теорема верна для любой .
Теорема 2.2. 1. Если – неединичная нильпотентная группа, то центр и 
.
2. В нильпотентной группе каждая собственная подгруппа отличная от своего нормализатора.
3. В нильпотентной группе – пересечение неединичной нормальной подгруппы 
с центром группы отлично от единицы и 
.
