Методы исследования устойчивости систем

Гипотеза прямых нормалей

В современном строительстве пластинчатые конструкции имеют большое распространение. Элементами этих конструкций являются не стержни, а пластинки, которые могут работать как в своей плоскости, так и из плоскости. К пластинчатым конструкциям относятся перекрытия, стены, а также коробчатые системы, образующие основную несущую конструкцию здания, в которой стены и перекрытия работают как единая пространственная система. К пластинчатым конструкциям примыкают также системы, где элементами являются и стержни и пластинки, как, например, несущая конструкция каркасно-панельных зданий.

Элементом пластинчатых конструкций является пластинка, подчиняющаяся в своей работе гипотезе прямых нормалей. Эта гипотеза формулируется следующим образом: нормаль к первоначально плоской срединной поверхности пластинки после деформации последней переходит в нормаль к искривленной поверхности. Тем самым постулируется отсутствие сдвигов по плоскостям, параллельным срединной поверхности. Гипотеза прямых нормалей сводит задачу расчета пластинки из трехмерной в двухмерную, так как, согласно этой гипотезе, все слои пластинки деформируются подобно срединной поверхности.

Ввиду симметрии относительно срединной поверхности работу пластинки можно разделить на две независимые части:

1) работу в своей плоскости, при которой происходят перемещения и и v, параллельные срединной плоскости, вдоль координатных осей х и у при отсутствии перемещений w вдоль оси z, нормальной к осям х и у;

2) работу пластинки из плоскости, когда точки срединной поверхности испытывают только перемещения w.

Основные положения теории оболочек

Большинство элементов инженерных конструкций в расчетной схеме, подлежащих расчету на прочность, как это уже было отмечено, связаны с расчетом бруса, пластинок или оболочек.

Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности.

Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной.

Геометрическая форма объектов, которые могут быть причислены к оболочкам или пластинам, чрезвычайно разнообразна: в машиностроении — это корпуса всевозможных машин; в гражданском и промышленном строительстве — покрытия и перекрытия, навесы, карнизы; в кораблестроении — корпуса судов, сухих и плавучих доков; в авиастроении — фюзеляжи и крылья самолетов; в подвижном составе железнодорожного транспорта, кузова вагонов, цистерны, несущие конструкции локомотивов; в атомной энергетике — защитная конструкция атомных станций, корпуса реакторов и т.д.

Если срединная поверхность оболочки образует поверхность вращения в форме цилиндра, то оболочку называют цилиндрической.

К схеме осесимметричной цилиндрической оболочки сводится очень много инженерных конструкций, в том числе котлов, баков, нефтепроводов, газопроводов, деталей машин и др.

Задача о расчете тонкостенных оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует.

Теория оболочек, построенная в этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек.

Если оболочка имеет резкий переход и жесткие защемления и, кроме того, нагружена сосредоточенной силой и моментами, то в местах крепежа оболочки, резких изменений формы, и в местах действия сосредоточенных сил и моментов возникают интенсивные напряжения, обусловленные изгибным эффектом. Учет изгибных эффектов можно получить в рамках моментной теории оболочек.

Следует отметить, что чем меньше отношение толщины h оболочки к ее радиусу R, тем точнее выполняется предположение о постоянстве напряжений по толщине и тем более точнее выполняются расчеты по безмоментной теории.

Отметим, что оболочка считается тонкой, если h / R< 1/20.

Следовательно, при расчете на прочность тонких оболочек в зависимости от характера распределения внешних нагрузок, опорных закреплений, применяется или безмоментная или моментная теория. При этом предполагается равномерное распределение напряжений по продольным и поперечным сечениям оболочек (отсутствие в этих сечениях изгибающих, крутящих моментов и поперечных сил).

При осесимметричной нагрузке отсутствуют также сдвигающие силы. Определение усилий по безмоментной теории производится достаточно точно на расстоянии, превышающем величину (3 ÷ 5) от мест скачкообразного изменения формы или площади сечения, жестких контурных закреплений или от места приложения внешних сосредоточенных сил и моментов. Вблизи указанных мест возникают дополнительные напряжения от изгибного эффекта.

В моментной и безмоментной теории тонких оболочек или, так называемой, технической теории оболочек, состоящей в резком различии их толщины и габаритных размеров, влечет за собой возможность упрощения теории путем некоторой схематизации действительной работы конструкций. Эта схематизация формируется в используемых гипотезах, аналогичных гипотезам в теории стержней, т.е. гипотезам плоских сечений и гипотезам «ненадавливания» слоев оболочки друг на друга.

Эти гипотезы позволяют свести трехмерную задачу механики сплошной среды к двумерной, подобно тому, как в теории стержней трехмерная задача сведена к одномерной.

Далее в технической теории тонких оболочек пренебрегают членами h/R по сравнению с единицей.

Оболочки, к которым применимы упомянутые выше гипотезы, называются тонкими, а те, к которым эти гипотезы не применимы, называются толстыми.

Граница между тонкими и толстыми оболочками условна и определяется отношением .

В тех случаях, когда для получения приемлемых результатов по точности применяется аппарат механики сплошной среды, в частности теории упругости или пластичности в зависимости от постановки задачи.

Рассмотрим расчет пластины постоянной толщины h при действии внешних сил, перпендикулярных срединной плоскости и симметрично расположенными относительно оси z

Рис. 1 Рис. 2

В данном случае функции деформации, перемещения и напряжения, возникающие в пластине, будут также симметричны относительно оси Z.

Прогиб пластины w и угол поворота нормали v = – dw/ dr являются функциями только от радиуса г (рис. 2).

Из деформированной схемы следует, что точки, расположенные на нормали после изгиба образуют нормаль, совершая поворот на угол v.

Когда пластинка загружена в своей плоскости, все слои ее испытывают одинаковое напряженно-деформированное состояние. Если же пластинка нагружена обратносимметрично, т.е. из своей плоскости, то плоское напряженно-деформированное состояние слоев, оставаясь качественно неизменным, увеличивается пропорционально расстоянию от срединной поверхности. Это следует из гипотезы прямых нормалей.

Кроме изгибающих моментов и крутящих моментов в пластинке возникают поперечные силы, как следствие касательных напряжений.

Заметим, что гипотеза прямых нормалей постулирует отсутствие сдвигов по плоскостям действия этих напряжений. На самом деле эти сдвиги имеются, но они настолько малы, что их влиянием на остальные деформации и перемещения пластинки можно пренебречь. Для соблюдения строгости расчетной схемы следует положить, что модуль сдвига пластинки в плоскостях xz и ху равен бесконечности. Тогда появление касательных напряжений при отсутствии сдвигов оказывается возможным. Точно так же в расчетной схеме пластинки считается, что модуль упругости материала в направлении оси z равен бесконечности, что обеспечивает неизменяемость расстояний между слоями пластинки по ее толщине.

Рис. 3

Таким образом, в технической теории расчета пластинок материал считается не изотропным, а обладающим в определенных направлениях бесконечно большей жесткостью. В этом отношении теория расчета пластинок идентична технической теории расчета балок, где наличие касательных напряжений в сечении сочетается с гипотезой плоских сечении, исключающей наличие сдвигов.

Необходимость касательных напряжений при составлении условий равновесия бесконечно малого элемента пластинки dxdу, когда приходится вводить поперечные силы Q_x и Q_y на срезах пластинки (рис. 3).