Все эти утверждения доказываются либо непосредственно из определения предела функции, либо ссылкой на то, что аналогичные утверждения верны для последовательностей и Теорему 3.1.
Докажем, например,3.1.8.Пусть выполнены условия 3.1.8,и пусть 
монотонно возрастая. Тогда 
монотонно возрастает и ограничена сверху, и, значит, имеет предел А. Пусть 
, 
для всех 
,тоже монотонно возрастая. Тогда последовательность 
тоже будет монотонно возрастающей и ограниченной и, значит, будет иметь предел В. Но 
такое, что 
,и,значит, 
,откуда 
.По аналогичной причине, 
.Следовательно, 
, и всё доказано.(Почему? Что будет, если 
, не монотонно?)
3.3. Нечто об эквивалентности и 
- малых.
Пусть при (где 
может быть и бесконечностью, 
) 
или оба этих предела равны .
Определение 3.3. Пишут 
, если 
,(и говорят, что (при 
) 
убывает быстрее, чем 
, или что (при 
) растёт медленнее, чем ).
Это определение можно использовать и при условии, что 
.В этом случае равенство означает, что - б.м. при .(Почему?).Тот же факт можно записать как 
.Вообще, выражение 
может (при нашем определении символа 
) означать только б.м.
Лемма 3.3.1. 
Доказательство. Оба равенства означают, 
.
Лемма 3.3.2. (1) 
(2) 
;(3) при 
имеет место включение 
; при 
включение обратное.
Определение 3.4. При пишут, что 
,если и только если 
.Говорят, что в этом случае 
и 
эквивалентны.
Лемма 3.3.3. 
.
Проверяется по определению.
Лемма 3.3.4. При вычислении пределов произведений и частных функции можно заменять на эквивалентные.
Доказательство. Пусть 
,и 
существует. Тогда 
(по 3.1.1);для произведения – аналогично
4.Непрерывность.
Определение 4.1. Функция 
называется непрерывной в точке ,если она определена в некоторой окрестности этой точки и 
. 1. Определение непрерывности по 
:функция называется непрерывной в точке ,если она определена в некоторой окрестности точки и для точек 
из этой окрестности 
. 2. Определение непрерывности с помощью окрестностей: называется непрерывной в точке ,если для всякой 
.
Понятно, что все эти определения эквивалентны. Они означают, что по любой окрестности точки 
можно найти окрестность точки ,которая при отображении с помощью функции целиком попадает в выбранную заранее окрестность точки .Иными словами, при малом изменении мало меняется 
Свойства 3.1.5 – 3.1.7 имеют место для непрерывных функций при естественных переформулировках. Один факт отметим специально.
Теорема 4.1. Если функции и 
определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в точке , то в этой точке будут непрерывны и функции 
(последняя – при естественном ограничении 
).
Определение 4.2. Пусть функция 
определена в некоторой окрестности 
точки 
, а функция 
- в некоторой окрестности 
точки , и пусть 
Функция 
, определённая в окрестности , называется сложной функцией от
Теорема 4.2. Если непрерывна в точке , а - в точке , то непрерывна в точке .
Доказательство. Нам нужно вычислить 
.При 
(по непрерывности 
). Для функции это значит(по непрерывности 
, что она стремится к 
Теорема доказана.
Примечание. (Точки разрыва).Если не является непрерывной в точке ,хотя и определена в некоторой окрестности этой точки(включая саму эту точку или нет), говорят, что функция разрывна в точке .Если при этом существуют односторонние (конечные!) пределы 
, говорят, что функция имеет в разрыв первого рода (скачок); при разрыв называется устранимым. Если хотя бы один из этих пределов не существует (в частности, равен 
, разрыв называется разрывом второго рода.
Примеры:(1) 
- в 0 разрыв первого рода;(2) 
- разрывы в 0 второго рода.
4.3.Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение 4.3. Функция называется непрерывной на множестве 
(открытом), если она непрерывна в каждой точке этого множества. Функция называется непрерывной на замкнутом множестве ,если она непрерывна на внутренности этого множества и если 
.Для отрезка 
это означает, что 
и 
.То, что непрерывна на множестве , обозначается 
Далее следуют утверждения, которые, с одной стороны, помогут в дальнейшем доказывать разные теоремы о более сложных объектах, а с другой стороны показывают, что естественное понятие непрерывности не противоречит математическому.
Теорема 4.3(1-ая Вейерштрасса).
Если 
, то она ограничена на 
(т.е., найдутся такие числа 
, что 
Доказательство. Докажем, что существует 
.Если это не так, то 
,такой что 
. Последовательность 
ограничена, следовательно у неё есть предельная точка .Пусть 
- подпоследовательность, сходящаяся к .В силу непрерывности функции , последовательность 
будет сходиться к .В силу выбора последовательности ,подпоследовательность бесконечнобольшая. Противоречие доказывает существование . Аналогично доказывается существование 
. Теорема доказана.
Теорема 4.4(2-ая Вейерштрасса). Если , то она достигает на максимума и минимума.
Доказательство. Докажем про максимум. Пусть 
. существует по Теореме 4.3.Докажем, что найдётся точка 
, для которой 
. Если это не так, то функция 
непрерывна на . По теореме 4.3, 
для некоторого 
. Тогда 
, что противоречит выбору .Противоречие доказывает теорему.
Теорема 4.5(1-ая Коши) Если 
,то существует точка 
, для которой 
.
Доказательство. Пусть,для определённости, 
Построим последовательность стягивающихся отрезков. Пусть 
; поделим пополам, получим точку 
. Может быть два случая: либо 
,и мы нашли точку 
,в которой 
либо на концах одной из половин первоначального отрезка принимает значения разных знаков, обозначим левый конец этой половины 
правый - 
. В первом случае теорема для доказана, во втором будем делить пополам отрезок 
.Продолжая этот процесс, мы либо найдём точку , в которой , и в этом случае теорема будет доказана, либо получим последовательность 
стягивающихся отрезков, по длине стремящихся к нулю, и таких, что 
.Пусть - общая точка этих отрезков. Она принадлежит всем этим отрезкам, и, в частности, отрезку ; значит, она в точке непрерывна(если это внутренняя точка отрезка , то просто непрерывна; если это 
,то непрерывна справа; если 
, то непрерывна слева). Рассмотрим 
.Согласно первому из этих равенств, 
, согласно второму - 
. Значит, , и теорема доказана.
Теорема 4.6(2-ая Коши). Если 
, то 
Доказательство. Рассмотрим 
. Очевидно, 
. Положим 
.Теорема доказана.
Теорема 4.7(о существовании обратной функции). Пусть функция и строго монотонна. Тогда на 
однозначно определена функция 
, такая, что 
.
Доказательство. 1.Определение 
.Пусть 
.Согласно 2-ой теореме Коши, 
.Такой только один. Равенство 
при 
противоречит строгой монотонности . Положим 
.
Этим уравнением функция определена однозначно на всём отрезке (Почему на всём?). 2. Непрерывность . Пусть, по-прежнему, 
и пусть 
целиком принадлежит 
.Такое 
заведомо существует, потому что - внутренняя точка отрезка .Пусть 
.Тогда 
.Мы по 
нашли 
,такое, что при отображении 
-окрестность точки 
целиком отображается в -окрестность точки 
.Непрерывность на 
доказана.Непрерывность слева и справа в 
и 
(с одной стороны!) доказывается аналогично. Теорема доказана(позже мы докажем её ещё раз как следствие теоремы о неявной функции).
Определение 4.4. Функция называется равномерно-непрерывной на множестве , если 
,такое, что, как только 
, будет выполняться неравенство 
.
Теорема 4.8(Кантора). Если 
,то на равномерно-непрерывна.
Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда существует некоторое 
, для которого при любой последовательности 
всегда найдётся пара точек 
, для которых 
и 
.Пусть - предельная точка последовательности 
.Чтобы не вводить дополнительные индексы,предположим,что 
.Тогда и 
(в силу условия ) Но в этом случае 
,что противоречит предположению .Теорема доказана
5.Дифференцируемые функции
Определение 5.1. Функция называется дифференцируемой в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, и если её приращение в этой точке может быть записано в виде
,
где 
- константа, не зависящая от точки , а - бесконечномалая при .
