Основные постулаты и аксиоматика теории измерений
Основные постулаты теории измерений
Как и любая другая наука, теория измерений и ее физические основы должны строиться на основе постулатов или аксиом.
В современной метрологии известны следующие три постулата:
А) Существует истинное значение физической величины, которую мы измеряем. Из постулата А следует, что истинное значение физической величины – это значение, которое идеальным образом отражает в качественном и в количественном отношениях соответствующее свойство объекта измерений;
Б) Истинное значение физической величины определить невозможно, оно существует только в рамках принятых моделей. Выводом из постулата Б является то, что несовершенство средств и методов измерений, недостаточная тщательность проведения измерений и обработки их результатов, воздействие внешних дестабилизирующих факторов, дороговизна. Трудоемкость и длительность измерений не позволяют получить при измерении истинного значения физической величины. В большинстве случаев достаточно знать действительное значение измеряемой физической величины - значение, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному значению, что для данных целей может быть использовано вместо него.
В) Истинное значение физической величины постоянно.
Из этого постулата логически вытекает, что для практики достаточно знать погрешность результата измерения – алгебраическую разность между полученным при измерении и действительным значениями измеряемой величины.
Основным будем считать постулат Б:
Измеряемая физическая величина и её “истинное” значение существуют только в рамках принятой теоретической модели исследования (объекта измерения).
Измеряемая физическая величина определяется как один из параметров этой модели.
Рассмотрим математическую формулировку основного постулата метрологии.
Любое измерение по шкале отношений предполагает сравнение неизвестного размера с известным и выражение первого через второй в кратном или дольном отношении. При измерении физических величин в качестве известного размера естественно выбрать единицу СИ. Тогда процедура сравнения неизвестного значения с известным и выражения первого через второе в кратном или дольном отношении запишется следующим образом: 
. В квалиметрии сравнение производится обычно со значением базового показателя качества или с представлением о наивысшем качестве, которое оценивается максимальным количеством баллов.
На практике непосредственно неизвестный размер не всегда может быть представлен для сравнения с единицей. Жидкости, например, и сыпучие вещества предъявляются на взвешивание в таре. Очень маленькие линейные размеры могут быть измерены только после увеличения их микроскопом или другим прибором. В первом случае процедура сравнения выглядит как определение отношения 
, во втором - 
, где в рассматриваемых примерах 
- масса тары, а 
- коэффициент увеличения. Само сравнение в свою очередь происходит под влиянием множества случайных и неслучайных, аддитивных и мультипликативных факторов, точный учет которых невозможен, а результат совместного воздействия непредсказуем. Ограничиваясь для простоты аддитивными воздействиями, совместное влияние которых можно учесть случайным слагаемым 
, получим следующее уравнение измерений по шкале отношений:
(3.1)
Оно выражает некоторое действие, процедуру сравнения в реальных условиях, которая, собственно, и является измерением. Главной особенностью измерительной процедуры является то, что при ее повторении из-за случайного характера отсчет по шкале отношений 
получается все время разным. Это фундаментальное положение является законом природы. На основании громадного опыта практических измерений, накопленного к настоящему времени, может быть сформулировано следующее утверждение, называемое основным постулатом метрологии: Отсчет является случайным числом. На этом постулате, который легко поддается проверке и остается справедливым в любых областях и видах измерений, основана вся метрология.
Уравнение (3.1) является математической моделью измерения по шкале отношений. Отсчет в ней не может быть представлен одним числом. Его можно лишь описать словами или математическими символами, представить массивом экспериментальных данных, таблично, графически, аналитическим выражением и т.п. Проиллюстрируем это двумя примерами.
Пример 1. При 
- кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера на световом табло цифрового измерительного прибора в случайном порядке появлялись числа 
, представленные в первой графе таблицы 3.1.
Таблица 3.1 - Результаты наблюдений и статистические характеристики
|
| 
| 
| 
|
| 90,10 | 
| 0,01 | |
| 90,11 | 
| 0,01 +0,02 = 0,03 | |
| 90,12 | 
| 0,03 + 0,05 = 0,08 | |
| 90,13 | 
| 0,08 + 0,1 = 0,18 | |
| 90,14 | 
| 0,18 + 0,2 = 0,38 | |
| 90,1 5 | 
| 0,38 + 0,24 = 0,62 | |
| 90,16 | 
| 0,62 + 0,19= 0,81 | |
| 90,17 | 
| 0,81 + 0,11 = 0,92 | |
| 90,18 |
| 0,92 + 0,05 = 0,97 | |
| 90,19 |
| 0,97 + 0,02 = 0,99 | |
| 90,20 | 
| 0,99 + 0,01 = 1,00 |
Каждое 
-ое число появилось раз. Что представляет собой отчет при таком измерении?
Решение. Ни одно из чисел в первой графе таблицы, взятое в отдельности, не является отсчетом. Отсчет характеризуется всей совокупностью этих чисел с учетом того, как часто они появлялись. Принимая частость 
каждого -го числа за вероятность его появления , заполним третью графу в таблице 3.1. В совокупности с первой она даст нам распределение вероятности отсчета, представленное таблично. Его же можно представить графически так, как это показано на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 – Распределение вероятности отсчета цифрового измерительного прибора
А можно поступить и по другому. Проставим в четвертой графе таблицы 3.1 вероятности того, что на табло показывающего измерительного прибора появится число, меньшее или равное тому, которое значится в первой графе. В совокупности с первой графой это даст нам представленную таблично функцию распределения вероятностиотсчета. Графически она выглядит так, как это показано на рисунке 3.2
Рисунок 3.2 – Функция распределения вероятности отсчета цифрового измерительного прибора
Как распределение вероятности , так и функция распределения вероятности 
являются исчерпывающим описанием отсчета у цифровых измерительных приборов любой конструкции.
Пример 2. При -кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера аналоговым измерительным прибором указатель отсчетного устройства в случайной последовательности по 
раз останавливался на каждом из делений шкалы:
Деление шкалы
0,10.….0,11 1
0,11.….0,12 2
0,12.….0,13 6
0,13.….0,14 11
0,14.….0,15 19
0,15.….0,16 23
0,16.….0,17 20
0,17.….0,18 10
0,18.….0,19 5
0,19.….0,20 3
Что представляет собой отсчет при таком измерении?
Решение. Принимая деления шкалы за основания, построим на них прямоугольники с высотами, равными отношению частостей 
к цене деления шкалы 
(в данном случае безразмерной). Получившаяся фигура, показанная на рисунке 3.3, называется гистограммой. Соединив теперь отрезками прямых середины верхних сторон прямоугольников, как это показано на рисунке, получим ломаную линию, называемую полигоном.
Рисунок 3.3 – Гистограмма, полигон частот
Как гистограмма, так и полигон являются исчерпывающим эмпирическим описанием отсчетом у аналоговых измерительных приборов любой конструкции.
Если бы была возможность увеличивать , то в пределе при 
и 
полигон перешел бы в кривую плотности распределениявероятности отсчета 
, показанную на рисунке 3.4.
Рисунок 3.4 – Плотность распределения вероятности отсчета
Здесь так же, как в примере 1, можно поступить по-другому. Подсчитывая, сколько раз указатель отсчетного устройства останавливался левее каждой отметки шкалы, откладывая над этой отметкой вдоль оси ординат отношение числа таких отклонений к их общему числу и соединяя полученные точки отрезками прямых, мы получим ломаную линию, показанную на рисунке 3.5 и называемую кумулятивной кривой.
Рисунок 3.5 – Кумулятивная кривая
Как гистограмма и полигон, она исчерпывающе характеризует отсчет у аналоговых измерительных приборов. Если бы опять-таки была возможность увеличивать ,то при и кумулятивная кривая перешла бы в график функции распределения вероятностиотсчета , показанный на рисунке 3.6.
Рисунок 3.6 – Функция распределения вероятности отсчета
Плотность распределения вероятности и функция распределения вероятности 
служат в теории вероятности моделями эмпирических законов распределения, получаемых из экспериментальных данных методами математической статистики.
После выполнения измерительной процедуры в уравнении (3.1) остаются два неизвестных: 
и . Неслучайное значение либо должно быть известно до измерения, либо устанавливается посредством дополнительных исследований. Слагаемое являющееся случайным, не может быть известно в принципе. Поэтому определить значение измеряемой величины невозможно.
(3.2)
Равенство (3.2) соблюдается точно, благодаря тому, что при повторных выполнениях измерительной процедуры случайное изменение второго слагаемого в правой части всякий раз влечет за собой точно такое же изменение первого. О таких слагаемых говорят, что они коррелированы (взаимосвязаны) между собой. Разность между коррелированными значениями двух случайных величин неслучайна, но в данном случае неизвестна. Поэтому строгого решения уравнение (3.2) не имеет.
На практике удовлетворяются приближенным решением. Для этого используются результаты специального исследования, называемого метрологической аттестацией средства измерений и методики выполнения измерений. В ходе этого исследования приближенно определяется среднее значение второго слагаемого в правой части формулы (3.2):
Среднее значение не является случайным. Поэтому после замены случайного второго слагаемого в правой части уравнения (3.2) неслучайным значением 
получается приближенное решение,
(3.3)
в котором результат измерения является случайным значением измеряемой величины.
Первое слагаемое правой части выражения (3.3) называется показанием
Оно подчиняется тому же закону распределения вероятности, что и отсчет, но отличается от последнего тем, что
Два последних слагаемых в правой части формулы (3.3) представляют суммарную поправку,
которая может включать и большее количество составляющих в зависимости от числа учитываемых факторов. Поправка не является случайной, но может изменяться от измерения к измерению по определенному закону. Поэтому в каждое отдельное значение показания 
может вноситься своя поправка 
.
Результат измерения подчиняется тому же закону распределения вероятности, что показание и отсчет, но смещенному по оси абсцисс на значение суммарной поправки. Отдельное его значение
(3.4)
получаемое всякий раз после выполнения измерительной процедуры, называется результатом однократного измерения. Среднее арифметическое значение результата измерения, полученное при многократном независимом измерении одной и той же величины постоянного размера.
(3.5)
называется результатом многократного измерения.
Уравнение измерения интервала записывается аналогично уравнению (3.1):
(3.6)
где 
– значение разности между двумя размерами физической величины. Анализ этого уравнения не отличается от анализа уравнения (3.1).
Математической моделью измерения по шкале порядка служит неравенство
, (3.7)
описывающее процедуру сравнения двух размеров одной и той же измеряемой величины. Результатом сравнения в этом случае является на отсчет, а решение о том, какой из размеров больше, либо они одинаковы. Не исключена возможность как правильных, так и неправильных решений. Следовательно, результат сравнения двух размеров по шкале порядка является случайным, что соответствует основному постулату метрологии.
Измерения по шкале порядка широко применяются при контроле, когда в условиях случайных возмущений проверяемый размер 
сравнивается с контрольным (пороговым) 
. Особое место занимает сравнение с 
, относящееся к теории обнаружения.
Измеряемая физическая величина, как отмечалось в 1 разделе, определяется как один из параметров принятой модели.
Модель объекта (в том числе и условия измерений) можно построить только при наличии априорной информации (предварительного исследования объекта или знаний об объекте).
