Термодинамика газовых течений.

1. Определения движения газа и жидкости.

Движение газа может быть:

_- неустановившемся (нестационарным) – все параметры меняются во времени:

w - линейная скорость, ω – угловая скорость.

_- Установившемся (стационарным) – в каждой точке пространства параметры газа и проекции вектора скорости постоянны.

Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор скорости касателен к ней.

Трубка тока – совокупность большого количества линий тока проведенных через замкнутый контур.

Элементарная струйка – часть потока жидкости или газа движущаяся внутри трубки тока. При установившемся движении газа трубка является непроницаемой, т.е. расход газа внутри трубки не меняется вдоль неё. Любой поток газа можно представить в виде совокупности элементарных струек.

Живое сечение – поверхность в струе движущегося газа в каждой точке, которой линия тока перпендикулярна (в общем случае не является плоскостью).

2. Уравнение неразрывности в прямоугольных координатах.

Ребра Dx, Dy, Dz.

_x = rw_xF_x = rw_xDyDz,

_y = rw_xF_x = rw_yDxDz,

_z = rw_zF_z = rw_yDxDy.

 

Через противоположные грани проходят указанные выше расходы плюс их изменения на расстоянии Dx, Dy, Dz.

m – массовый расход, F – площадь.

 

Изменение плотности газового потока в рассматриваемом объёме определяется сумой изменений плотности тока в направлении каждой из координатных осей.

В случае одномерного движения: .

Плотность тока – массовый расход, отнесенный к площади поперечного сечения струи:

.

 

 

3. Анализ первого закона термодинамики для движущегося газа (закон сохранения энергии).

 

Тепло подведенное к газу расходуется на изменение его потенциальной энергии и внутренней энергии.

 

 

Pdv – работа сжатия одного килограмма газа. Перепишем уравнение (1) для энергоизолированного газа, где изменением потенциальной энергии можно пренебречь gdz ® 0:

сумма изменения энтальпии (i) и кинетической энергии равно нулю.

Сумма изменения энтальпии и кинетической энергии равно нулю, следовательно Сумма энтальпии и кинетической энергии неизменна вдоль потока газа.

Например увеличение энтальпии ведёт к уменьшению кинетической энергии ,

где i^* - энтальпия заторможенного потока, которая может быть реализована в случае сведения скорости потока к нулю w = 0 или в случае полного торможения струйки газа, например в передней точке при обтекания спая термопары.

 

Т^* - температура торможения, которая может быть вычислена как статическая температура плюс динамическая добавка.

C_p = 1005 Дж/(кг*К) – для воздуха.

 

4. Параметры заторможенного потока и их связь со статическими параметрами.

 

Статической и заторможенной температуре соответствует статическое и заторможенное давление, статическая и заторможенная плотность плюс динамические добавки в степени, зависящей от показателя адиабаты. Изменение плотности и давления при полном торможении газа в процентах происходит существенно больше, чем при изменениях температуры.

 

5. Уравнение энергии газового потока в механическом виде.

Переведем уравнение (1) в механическую форму, для чего используем уравнение (1) и первый закон термодинамики для неподвижного газа, с целью исключения тепловых слагаемых.

 

 

Последний интеграл зависит от термодинамического процесса в движущемся газе.

 

6. Характерные скорости газового потока.

1) Скорость звука - а – распространение слабых возмущений в упругой среде:

2) Критическая скорость а_кр – скорость газового потока, численно равная местной скорости звука, вводится на примере изменения параметров при адиабатном истечении газа через сверхзвуковое сопло.

 

3) Максимальная скорость w_max – реализуется при полном преобразовании энтальпии потока в кинетическую энергию, что физически невозможно ввиду невозможности получения температуры газа 0 К. Является предельной величиной.

Из закона сохранения энергии можно получить формулу скорости в произвольном сечении канала:

 

Безразмерные скорости

 

Условие получения сверхзвуковой скорости.

 

- коэффициент скорости. Применяется при расчётах газовых течений во всех установках, где движение газа происходит с квазипостоянной энтальпией.

i* = const, T* = const, если w = 0…w_max, то l = 0…l_пр. l_пр для воздуха = 2,45.

Рассчитаем - движение газа в канале.

. Если площадь струи (F) уменьшается, то скорость в ней (w) растет и следовательно падает давление (P) – это следует из уравнения Бернулли. При уменьшении давления Р £ Р_насыш начинается процесс кавитации, т.е. жидкость закипит. Свяжем F и w, исключив плотность.

Изменение плотности пропорционально изменению скорости со знаком минус и определяется число макро в квадрате. Если число макро М<1, то r меняется в процентах, М>1 – то для сверхзвуковых течений относительное изменение плотности больше относительного изменения скорости. Подставим уравнение (5) в (3):

	Сопло (конффузор) w­	Диффузор w¯	Сопло Лаваля
М < 1 дозвуковые течения	dF < 0	dF > 0	dF < 0 dF > 0 dF > 0
М > 1 сверхзвуковые течения	dF > 0	dF < 0

 

Более подробно рассмотрим геометрическое воздействие dF:

Истечение газа через дозвуковое сопло.

 

Р– давление окружающей среды;

1-1 – входное сечение;

а-а – выходное сечение.

 

отношение давления окружающей среды к давлению заторможенного потока – располагаемое отношение давлений.

- критическое отношение давлений, для воздуха p_кр = 0,52.

В зависимости от соотношения p_н и p_кр режим истечения может быть:

 

1. Докритический p_н > p_кр - w_а < w_кр

2. Критический p_н = p_кр - w_а = w_кр -

3. Сверхкритический p_н < p_кр - w_а = w_кр, Р_а > Р_н -

 

Теперь подставим: на докритическом режиме Р_а = Р_н, на критическом режиме Р_а = Р_н = Р_кр, на сверхкритическом режиме Р_а = Р_кр = p_кр Р^*:

Направление, указанное стрелкой – при постепенном повышении давления в баллоне, скорость сначала увеличивается, а как только давление в баллоне превысит атмосферное примерно в два раза, скорость будет постоянна (трение не учитывается).

Выведем формулу массового расхода газа через заторможенные параметры.

- для всех трех указанных режимов, таким образом расходная функция будет иметь вид такой же как функция скорости. Расход через сверхзвуковое сопло может быть рассчитан по формуле (3), то есть более просто.

 

Газодинамические функции.

Это соотношения, связывающие статические и заторможенные параметры газового потока и размеры поперечного сечения струи через безразмерные скорости.

В расчетах будем использовать три группы газодинамических функции:

I. t(λ), p(λ), e(λ), выводятся из уравнения энергии.

II. q(λ), y(λ), выводятся из уравнения неразрывности;

III. f(λ), r(λ), z(λ), – выводятся из закона сохранения количества движения и используются для расчета осевой составляющей силы, например тяги реактивных двигателей.

 

I. Свяжем статические и заторможенные параметры газового потока:

 

t(l); t(М); p(l); p(М); e(l); e(М).

 

Газодинамическая функция . Формула расхода при сверхкритическом перепаде давления.

 

 

безразмерная плотность потока газа в произвольном сечении канала, отнесенная к плотности потока в критическом сечении.

Практическое применение -

l - коэффициент скорости.

расходная функция .

Каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, а каждому значению функции соответствует два значения аргумента при до- и сверх- звуковой скорости.

 

Рассмотрим пример.

В рассмотренном примере по известному коэффициенту скорости l, можно рассчитать связь между статическими заторможенными параметрами и степень преобразования энтальпии в кинетическую энергию или наоборот найти термический КПД сопла (газ ускоряется) или диффузора (газ тормозится).

Закон обращения воздействия.

Существует пять видов воздействий на газовый поток, которые могут привести к его ускорению или торможению.

Закон обращения выводится при использовании:

_- Уравнения энергии для движущегося газа;

_- Уравнения неразрывности;

_- Формулы скорости звука;

_- Числа маха;

_- Первого закона термодинамики для неподвижного газа.

В результате преобразований исключим все параметры состоянии (Р, Т, r, u, i) и остается лишь скорость, число маха и пять внешних воздействий.

Следовательно, у нас получиться:

, d B_i – приращение -ого воздействия.

В правой части, кроме геометрического, все воздействия входят со знаком «-», т.е. если для ускорения дозвукового потока газа, геометрическое воздействие должно быть «-», то все остальные должны быть «+».

Например: M < 1, dw > 1 (тепловое сопло).

Ключ для определения знака воздействия

 

Для получения сверхзвуковой скорости знак любого воздействия должен быть обращен на обратный.

 

Рассмотрим воздействие трением:

 

- работа сил трения всегда «+» и необратима;

- трение приводит к ускорению газового потока. Работа сил трения превращается в тепло, тепло идет на нагрев, а он приводит к ускорению.

Если скорость увеличивается, то давление в трубе постоянного сечения, падает и в принципе уравнение можно использовать для расчета определенного расхода.

С помощью воздействия трением нельзя получить сверхзвуковую скорость газа.

 

Термодинамика получения водяного пара.

Газовая постоянная водяного пара, которая вычисляется по известной формуле и имеет значение =462, что определяет высокую работоспособность водяного пара и его широкое распространение в качестве рабочего тела технических устройств. Для сравнения продукты сгорания большинства углеводородных топлив имеют R»300.

Пар может быть:

- насыщенным;

- перегретым.

Испарение может быть:

- поверхностное – имеет диффузионный характер, т.е. молекулы пара должны преодолеть сопротивление воздуха;

- объемное – или кипение, осуществляется при температуре Т_нагр > Т_{насыш паров} при данном давлении.

Подводя тепло к насыщенному пару мы получаем пар перегретый, он находится в устойчивом состоянии в отличии от насыщенного пара.

 

Рассмотрим уравнение состояния для реальных газов.

Выделим область, в которой вещество находится в различных агрегатных состояниях.

1. Изотермическое сжатие газа. Уравнение идеального газа справедливо лишь при низких и больших удельных объемах.

Для сжатых реальных газов нужно учитывать:

- объем занимаемый собственно молекулами;

- силы взаимного притяжения между молекулами

_- - возможность объединения молекул или их ассоциации.

- уравнение Ван-Дер-Ваальса. С увеличением давления две ветви кривой в p – V координатах сближаются, т.к. удельный объем пара уменьшается, а удельный объем жидкости растет. Выше точки К жидкость не существует. В зависимости от температуры это уравнение может иметь одно решение или три, а в точке К все три решения сходятся. Построим уравнение повторно

1 – изотермы близкие к равнобокой гиперболе, т.е. идеальному газу;

2 – изотерма – имеет два решения, а ниже точки К имеет три решения.

При сжатии газа по изотерме, заканчивающейся в точке В, конденсация пара осуществляется не по расчетной изотерме (уравнение Ван-Дер-Ваальса), а при постоянном давлении и температуре по линии ВА.

 

Получение пара при постоянном давлении.

t_o = 0°C, v_o = 0,001 м³/кг, u_o = 0, t_o = 0.

Существует три стадии получения пара:

1) нагрев жидкости до начала парообразования:

2) парообразование m – n:

l₂ – внешняя теплота парообразования;

u₂ - внутренняя теплота парообразования, х – степень сухости пара – 0<х<1.

3) Перегрев пара:

n – 0, расчитывается также как l_m, но вместо теплоёмкости жидкости подставляется температура пара (С_р). Учитывается работа расширения перегретого пара. При более высоком давлении удельная теплота парообразования существенно зависит от давления.

II. Теплопередача

Теплообмен это процесс переноса тепла в пространстве и он расчленяется на ряд простых явлений: теплопроводность, конвекцию, излучение.

 

1. Теплопроводность – это передача тепла на микроуровне (молекулярном), характерна для твердых тел.

 

 

2. Конвективный теплообмен – характерен для твердых, жидких и газообразных состояний тел. Определяется переносом массы на макро уровне и делится на:

_- вынужденная конвекция при наличии разности давлений;

_- свободная конвекция за счет перемещения массы при наличии гравитационных сил (нагрев снизу воздухом – он поднимется вверх, нагрев потоком и стены – спускается вниз).

3. Радиальный или лучистый теплообмен. Нагретое тело излучает энергию в виде электромагнитных волн, которые воспринимаются нагреваемым телом, и в нем энергия электромагнитных волн снова преобразуется в теплоту. Характерен для тел, имеющих высокую температуру.

 

Теплопроводность.

При теплопередачи теплопроводность в рассматриваемом объекте выделим изотермы. Это поверхности, имеющие одинаковую температуру.

 

 

Характеристики теплообмена:

_- температура;

_- градиент температур;

_- тепловой поток Q;

_- удельный тепловой поток q.

 

Уравнение Фурье.

Удельный тепловой поток в произвольном направлении пропорционален падению температуры в данном направлении:

,

l - коэффициент теплопроводности материала – количество тепла, передаваемое на расстоянии 1м в единицу времени при разности температур

в 1 К.

Теплопроводность

Дифференциальное уравнение теплопроводности.

Это уравнение используется для определения температурного поля в телах. Выводится из закона сохранения энергии, который гласит: изменении энтальпии, элементарного объема, сила давления из тепла, подводимого извне и тепла, выделяющегося внутри данного объема. Рассмотрим параллелепипед dx, dy, dz и подводимые тепловые потоки. Будем считать, что теплопроводность вещества не зависит от температуры.

 

 

 

Если, а велик, то градиент температуры в веществе при равных условиях существенно меньше, чем при других. Если стенка, работающая в условиях больших перепадах температур, то градиент температуры:

. Уравнение используется при расчете отвержения детали из пластмасс угле- и стеклопластика и т.д. (решается численным методом).

 

Теплопроводность плоской однослойной стенки.

t_c1, t_c2, l = const. Стенка имеет большие размеры в направлениях z и y (в идеале бесконечна). T_с = t_f, t_жид = t_w. Найти: q, T(x) – удельный тепловой поток и распределение температуры в стенке.

Задача стационарная (все параметры во времени не меняются).

Перейдем к полной производной.

Теплопроводность многослойной тонкой плоской стенки.

Известно t_c1 - t_cn+1, l_i, d_i, q₁.

Найти t_стыка, q.

1. последовательно запишем уравнение Фурье для каждого из слоев.

2. Из него находим разность температур на каждом из слоёв.

3. Полученная система из n уравнений суммируется.

4. Находим тепловой поток.

Расчет многослойной стенки с учетом контактных соединений.

Слои прилегающие к друг другу неплотно, два или несколько прилегающих металлов, соединенных точечной сваркой. Любые газовые прослойки между металлическими листами будут давать большие контактные сопротивления, так как теплопроводность газа много меньше чем металла.

То есть, должна рассматриваться система, включающая n-1 уравнений Фурье.