Примеры решения индивидуалных заданий первого уровня

Решение:

(ù X ® Y) & (X Ú ù Y) º (X Ú Y) & (X Ú ù Y) º X Ú (Y & ù Y) º X Ú 0 º X

Задача 6. P(x), T(x,y) - предикаты, определенные на множестве A. Найдите области истинности данных предикатов.

Пусть A = {0, 10, -3, 14, -1}; P(x) = «x делитель числа 30»; T(x,y) = = «x+y - четное натуральное число».

Решение: Обозначим I_P, I_T - области истинности предикатов P(x) и T(x,y) соответственно. Поскольку P(x) - одноместный, а T(x,y) - двуместный предикаты, то I_P Í A, I_T Í A´A.

В область истинности одноместного предиката P(x) входят все xÎA, для которых P(x) принимает значение “ИСТИНА”, т.е. все x, являющиеся делителями числа 30. Итак, I_P = {10, -3, -1}.

Область истинности двуместного предиката T(x,y) состоит из всех пар (x,y), для которых T(x,y) принимает значение “ИСТИНА”. В данном случае среди всех сумм по два элемента выбираем те, которые больше 0 (натуральные числа) и делятся на 2 (четные). Итак, I_T = {(0; 10), (10; 0), (0; 14), (14; 0), (10; 10), (10; 14), (14; 10), (14; 14)}.

Задача 7. Найдите область истинности предиката P(x) = «», определенного на множестве R действительных чисел.

Решение: Так как P(x) - одноместный предикат, то I_P Í R.

Чтобы найти область истинности предиката P(x), определенного на множестве действительных чисел, нужно решить соответствующее неравенство относительно x.

1) Если , то исходное неравенство равносильно Û

Û Итак, xÎ[-5; 2,5).

2) Если , то исходное неравенство равносильно

Решим первое неравенство системы:

; ; ; .

Вернемся к системе неравенств:

Итак, xÎ[2,5; 4].

Объединим решения, полученные в пунктах 1 и 2:

xÎ[2,5; 4] È [-5; 2,5), т.е. xÎ[-5; 4].

Задача 8. F - соответствие из A в B. Проверьте выполнимость свойств соответствия (всюду определенность, однозначность, соответствие «на», разнозначность). Выясните, является ли данное соответствие отображением.

1) A = {1, 5, 3, 7, 2}, B = {10, 2, 4}, F = {(1,10), (5,2), (2,10), (7,2), (3,2)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел), F = {(x,y) ç y - вторая цифра числа x}.

Решение:

1) Проверим свойства соответствия.

Всюду определенность: Для любого xÎA существует хотя бы один элемент yÎB, такое, что (x,y)ÎF, т.е. F - всюду определенное соответствие.

Однозначность: Для любого xÎA существует не более одного yÎB, такого, что (x,y)ÎF, т.е. F - однозначное соответствие.

Соответствие «на»: Элемент 4ÎB не имеет прообраза во множестве A, т.е. F не является соответствием «на».

Разнозначность: Поскольку (1,10)ÎF и (2,10)ÎF, то элемент 10 множества B имеет более одного прообраза во множестве A, т.е. F не является разнозначным соответствием.

Так как F - всюду определенное однозначное соответствие, то F - отображение.

2) Проверим свойства соответствия.

Всюду определенность: Не у каждого xÎ N есть вторая цифра (например, если x - однозначное число), т.е. не у каждого xÎ N есть образ. Итак, F не является всюду определенным соответствием.

Однозначность: Каждое xÎ N может иметь не более одной второй цифры, т.е. F - однозначное соответствие.

Соответствие «на»: Не у всякого натурального числа есть прообраз при соответствии F. Например, число 10 не может быть цифрой натурального числа. Итак, F не является соответствием «на».

Разнозначность: Например, 5 - вторая цифра натуральных чисел 256 и 3578, т.е. (256, 5)ÎF и (3578, 5)ÎF, то элемент 5 множества B имеет более одного прообраза во множестве A, т.е. F не является разнозначным соответствием.

Так как F не является всюду определенным соответствием, то F - не отображение.

Задача 9. F - отображение из A в B. Проверьте выполнимость свойств отображения (сюръективность, инъективность, биективность).

Пусть A = B = N (множество натуральных чисел), "xÎ N F(x)=(x-3)²+1.

Решение:

Проверим свойства отображения.

Сюръективность: Не у всякого натурального числа есть прообраз при отображении F. Например, для числа 3 нет прообраза во множестве N, т.к. если (x-3)²+1 = 3, т.е. (x-3)² = 2, то x не может принадлежать N. Итак, F не является сюръективным отображением.

Инъективность: Поскольку (2-3)²+1=2 и (4-3)²+1=2, т.е. F(2)=2 и F(4)=2, то элемент 2 множества B имеет более одного прообраза во множестве A, т.е. F не является инъективным отображением.

Задача 10. r - бинарное отношение, определенное на множестве натуральных чисел N. Проверьте выполнимость свойств бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антирефлексивность, антисимметричность, линейность) r.

Пусть r: «"A,BÎ N A r B Û произведение цифр числа A равно сумме цифр числа B».

Решение:

а) Рефлексивность: "AÎ N (A r A)

Рефлексивность выполняется, если произведение цифр любого натурального числа A равно сумме цифр числа A.

Очевидно, что r - не рефлексивно, т.к., например, произведение цифр числа 12 не равно сумме его цифр (2¹3).

б) Симметричность: "A,BÎ N (A r B Þ B r A)

Если из того, что произведение цифр числа A равно сумме цифр числа B, следует, что произведение цифр числа B равно сумме цифр числа A, то отношение r будет симметричным.

Отношение r не симметрично, т.к. можно подобрать контрпример. Возьмем A=23, B=33, тогда произведение цифр числа A равно 6 и равно сумме цифр числа B, но произведение цифр числа B не совпадает с суммой цифр числа A (9¹5).

в) Транзитивность: "A,B,CÎ N (A r B & B r C Þ A r C)

Если из того, что произведение цифр числа A равно сумме цифр числа B и произведение цифр числа B равно сумме цифр числа C, следует, что произведение цифр числа A равно сумме цифр числа C, то отношение r будет транзитивным.

Отношение r не транзитивно, т.к. можно подобрать контрпример. Возьмем A=23, B=33, C=45, тогда произведение цифр числа A равно 6 и равно сумме цифр числа B, произведение цифр числа B равно 9 и равно сумме цифр числа C, но произведение цифр числа A не совпадает с суммой цифр числа C (6¹9).

г) Антирефлексивность: "AÎ N ù (A r A)

Антирефлексивность выполняется, если произведение цифр любого натурального числа A не равно сумме цифр этого числа.

Поскольку есть такие натуральные числа (например, A=123), у которых произведение цифр совпадает с суммой цифр, то r не является антирефлексивным.

д) Антисимметричность: "A,BÎ N (A r B & B r A Þ A=B)

Если из того, что произведение цифр числа A равно сумме цифр числа B и произведение цифр числа B равно сумме цифр числа A, следует, что A=B, то отношение r будет антисимметричным.

Отношение r не антисимметрично, т.к. можно подобрать контрпример. Возьмем A=123, B=321, тогда произведение цифр числа A равно 6 и равно сумме цифр числа B, произведение цифр числа B равно сумме цифр числа A, но A¹B.

е) Линейность: "A,BÎ N (A r B Ú B r A Ú A=B)

Отношение r линейно, если для любых натуральных A и B выполняется хотя бы одно из утверждений: произведение цифр числа A равно сумме цифр числа B; произведение цифр числа Bравно сумме цифр числа A; A=B.

Отношение r не линейно, т.к. можно подобрать контрпример. Возьмем A=12, B=24, тогда произведение цифр числа A не равно сумме цифр числа B (2¹6), произведение цифр числа B не равно сумме цифр числа A (8¹3) и A¹B.

Итак, отношение r не рефлексивно, не симметрично, не транзитивно, не антирефлексивно, не антисимметрично, не линейно.