ИКТИБ ИТА ЮФУ
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Лекция 20 Исследование функции и построение ее графика
План лекции
Остаточный член в формуле Тейлора. Условия монотонности функции. Экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на заданном отрезке. Направления выпуклости и точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.
Напомним важнейшие разложения функций по формуле Тейлора (Маклорена) из прошлой лекции:
, (7) 
, (8)
, (9) 
. (12)
Формула (9) может быть получена непосредственно и из формулы (8) дифференцированием ее левой и правой частей.
И это не случайно. Не обязательно каждый раз вычислять все производные исследуемой функции.
Пример 1( 6 ). Напишите формулу Тейлора для функции 
в точке 
(формулу Маклорена для функции ).
Решение. Искомую формулу мы получим, заменив в формуле (7) аргумент 
на аргумент 
. Учитывая, что 
, мы приходим к искомой формуле 
. (10)
Сопоставляя формулы (7), (8), (9), (10), мы приходим к формуле Эйлера 
, (11) которая упоминалась в лекции 1. Полностью формула Эйлера будет доказана, когда будет установлено, что в формулах (7), (8), (9) остаточные члены с ростом 
стремятся к 0 при всех значениях аргумента.
Пример 2( 7 ). Напишите формулу Тейлора для функции 
в точке (формулу Маклорена для функции ).
Решение. Если , то 
, 
, 
, 
, …, 
(
). Следовательно, искомая формула принимает вид 
. (12)
Неотъемлемой частью использования формулы Тейлора является оценка ее остаточного члена. Красивые и практичные формулы появлялись в работах выдающихся математиков 18, 19 и да в 20 веках. Отметим некоторые результаты без доказательства.
Теорема 1 (5). (Теорема Лагранжа) Пусть функция 
имеет в некоторой окрестности точки 
производную 
-го порядка. Тогда для произвольной точки 
из этой окрестности найдется точка 
, принадлежащая интервалу, соединяющую точки 
и , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение 
, (13)
Теорема 2 (6). (Теорема Коши) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда для произвольной точки из этой окрестности найдется точка , принадлежащая интервалу, соединяющую точки и , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение 
, (14)
Теорема 3 (5). (Теорема Пеано) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную 
-го порядка. Тогда в формуле (5) выполнено соотношение 
, (15)
Так как производные функции 
равны между собой и ограничены на любом фиксированном отрезке 
, то остаточный член 
в формуле стремится к нулю при 
для каждого фиксированного 
.
Тем более то же самое справедливо для функций 
и 
, так как производные этих функций не превосходят по модулю 1. В формулах и остаточный член стремится к нулю при для каждого .
Можно доказать, что в формуле остаточный член стремится к нулю при для каждого 
. Посмотрите, как выглядит эта формула при 
.
