● О математическом моделировании для учащихся 5 класса
Разные виды математического моделирования самым естественным образом демонстрируются, например, при решении текстовых задач. Так, мы имеем дело с графическими моделями при использовании отрезков для иллюстрирования особенностей условий задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их сумме и частному, по их разности и частному (см. соответствующие пункты в учебном пособии). Числовые выражения и выражения с переменными (формулы и уравнения) также могут являться моделями некоторых ситуаций, описанных в задачах.
Выражение (числовые или с переменной), составленное по данным задачи, это не что иное, как перевод условия задачи на математический язык – язык цифр, знаков действий и других символов. Полученное в процессе решения задачи равенство двух выражений, т.е. уравнение, – это математическая модель реальной жизненной ситуации, о которой говорится в задаче.
Таблицы, схемы, рисунки, чертежи, графики, диаграммы также являются моделями определенных конкретных ситуаций, – учителю следует систематически обращать на это внимание учащихся.
● Множества. Общие элементы и все элементы заданных множеств
Несколько объектов, объединенных некоторым признаком, часто называют множеством. Например, можно сказать: множество всех стульев в комнате, множество всех картофелин в данном мешке, множество всех рыб в океане, множество всех букв на этой странице.
Объекты, составляющие некоторое множество, называют его элементами.
П р и м е р 1. Перечислите элементы множества:
а) всех дней недели; б) всех месяцев в году; в) всех арифметических действий.
Элемент может принадлежать множеству, и элемент может не принадлежать множеству. Например, апельсин принадлежит множеству фруктов, и апельсин не принадлежит множеству овощей.
Множество может не содержать ни одного элемента, – его называют пустое множество. Например, множество учащихся вашего класса, которым больше 17 лет, – пустое.
При решении некоторых задач бывает удобно множество изображать графически (использовать графические модели). Для этого можно нарисовать какой-нибудь замкнутый контур, например, овал. Затем отметить внутри этого контура элементы заданного множества, либо, если их слишком много, просто представить, что они находятся там.
П р и м е р 2. Заданы: множество букв слова К А Р У С Е Л Ь и множество букв слова К А Р Т О Ф Е Л Ь. Укажите для этих множеств:
а) их общие элементы; б) все их элементы.
Р е ш е н и е. а) Для множеств букв из слов
КАР У С ЕЛЬ и КАР Т О Ф ЕЛЬ
общими элементами, т.е. элементами, принадлежащими и первому, и второму множеству, являются буквы: К, А, Р, Е, Л, Ь (их можно было указать и в любом другом порядке).
б) Укажем теперь (в любом порядке) все элементы двух этих множеств, т.е. все элементы принадлежащие хотя бы одному из этих множеств:
К, А, Р, У, С, Е, Л, Ь, Т, О, Ф.
На рисунке 4 в зеленом овале показаны элементы множества букв, из которых состоит слово К А Р У С Е Л Ь, в красном овале – элементы множества букв, из которых состоит слово К А Р Т О Ф Е Л Ь. Общие элементы этих двух множеств, т.е буквы, которые есть в обоих словах, размещены в пересечении внутренних частей этих двух овалов.
У С К А Р Т О Ф
Е Л Ь
П р и м е р 3. Задано множество двузначных чисел меньших 16 и множество натуральных чисел не меньших 12 и не больших 21. Укажите для этих множеств:
а) их общие элементы; б) все их элементы.
Р е ш е н и е. а) Общими элементами этих множеств являются числа:
12, 13, 14, 15.
б) Все элементы двух этих множеств – числа не меньше 10 и не больше 21, т.е.:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.
▲П р и м е р 4. Из 30 детей каждый поёт или танцует. Известно, что петь умеют 17 детей, а танцевать умеют 19 детей. Сколько детей умеют и петь, и танцевать?
Р е ш е н и е. Сначала заметим, что из 30 детей не умеют петь 30 – 17, т.е. 13 детей.
Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый из детей поёт или танцует. Танцевать умеют всего 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, умеют и танцевать, и петь 19 – 13, т.е. 6 человек. Такой же ответ можно получить иначе: 17 – 11 (от числа детей, умеющих петь, надо вычесть число детей, не умеющих танцевать).
Ответ: 6.
На рис. 5 зеленым овалом показано множество детей, которые умеют танцевать, а красным овалом – множество детей, которые умеют петь. Пересечением этих овалов изображается множество детей, которые умеют и петь, и танцевать, – их всего 6.▲
 |
Т 30 – 17 = 13 19 – 13 = 6 30 – 19 = 11 П Т и П
▲ П р и м е р 5. В классе 15 учащихся посещают кружок по математике, 12 учащихся – кружок по английскому языку, 5 учащихся – и по математике, и по английскому языку. Сколько учащихся в классе, если каждый из них посещает, либо один кружок, либо два кружка?
Р е ш е н и е. Сначала заметим, что из 15 учащихся, которые посещают кружок по математике, 5 учащихся посещают еще кружок по английскому языку, значит 15 – 5, т.е. 10 учащихся посещают только один кружок по математике.
Так же можно определить количество учащихся, которые посещают факультатив только по английскому языку: 12 – 5, т.е. 7 учащихся. Число всех учащихся в классе: 10 + 7 + 5, т.е. 22 человека.
Ответ: 22.
На рис. 6 зеленым овалом показано множество учащихся, которые посещают кружок по математике, а красным овалом – множество учащихся, которые посещают кружок по английскому языку. ▲
|
М 15 – 5 = 10 5 12 – 5 = 7 А М и А
Вопросы.
1. Приведите пример множества, состоящего: а) из трех элементов; б) из семи элементов.
2. Какое множество называют пустым? Приведите пример пустого множества.
3. Приведите пример двух множеств, которые:
а) имеют один общий элемент; б) три общих элемента; в) не имеют общих элементов.
Перечислите все элементы этих множеств.
Упражнения
1. Назовите элементы, принадлежащие множеству всех однозначных чисел и элементы, не принадлежащие данному множеству.
2. Назовите элементы, принадлежащие множеству съедобных грибов и элементы, не принадлежащие данному множеству.
3. Заданы: множество букв слова ГРУША и множество букв слова ШАРИК. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
4. Заданы: множество, состоящее из всех однозначных чисел, которые делятся на 2, и множество, состоящее из всех однозначных чисел, которые делятся на 3. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
На фирме работают 66 человек. Из них 43 знают французский язык, 35 – немецкий язык. Сколько сотрудников фирмы знают оба языка?
Из 40 пятиклассников 32 любят молоко, 21 – лимонад. Сколько пятиклассников любят и молоко, и лимонад?
7. В классе 12 учащихся любят читать детективы, 18 – фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в классе?
8. В классе всего 25 учащихся, каждый из них любит смотреть или комедии, или мультфильмы, или и то и другое. Из тех 18 учащихся, которые любят смотреть комедии, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько человек в классе любят смотреть только «мультики»?
9. Из 29 мальчишек, живущих в одном доме, только двое не занимаются спортом, а остальные посещают или футбольную, или теннисную секции, или обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом – 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?
10. В классе всего 25 учащихся. Из них 7 любят груши, 11 – апельсины. Двое любят груши и апельсины; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и апельсины. Но есть в классе два ученика, которые любят и груши, и яблоки, и апельсины и четверо таких, что не любят никакие из этих фруктов. Сколько учащихся этого класса любят яблоки?
После изучения материала главы 4 «Делимость натуральных чисел» по теме «Множества. Общие элементы и все элементы заданных множеств» можно решать следующие упражнения.
П р и м е р 1. Задано множество всех делителей числа 16 и множество всех делителей числа 30. Укажите для этих множеств:
а) их общие элементы; б) все их элементы.
Р е ш е н и е. Множество всех делителей числа 16: 1, 2, 4, 8, 16.
Множество всех делителей числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
а) Общими элементами этих множеств являются числа: 1, 2.
б) Все элементы двух этих множеств – числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15, 16, 30.
П р и м е р 2. Задано множество двузначных кратных числа 18 и множество двузначных кратных числа 24. Укажите для этих множеств:
а) их общие элементы; б) все их элементы.
Р е ш е н и е. Множество двузначных кратных числа 18: 18, 36, 54, 72, 90.
Множество двузначных кратных числа 24: 24, 48, 72, 96.
а) Общим элементом этих множеств является число: 72.
б) Все элементы двух этих множеств – числа 18, 24, 36, 48, 54, 72, 90, 96.
Упражнения.
1.Найдите множества всех делителей чисел 40, 60. Укажите для этих множеств:
а) их общие элементы; б) все их элементы.
2. Найдите множества всех делителей чисел:
1) 20 и 30; 2) 50 и 125; 3) 60 и 90; 4) 18 и 45.
Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
3. Найдите множества всех делителей чисел 24, 30, 45. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
4. Найдите множество всех двузначных кратных числу 15 и множество всех двузначных кратных числу 12. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
5. Найдите множество всех двузначных кратных числу 20 и множество всех двузначных кратных числу 40. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
После изучения материала главы 5 «Простые числа» по теме «Множества. Общие элементы и все элементы заданных множеств» можно решать следующие упражнения.
П р и м е р 1. Задано множество простых чисел не меньше 19 и не больше 43 и множество простых чисел не меньше 31 и не больше 59. Укажите для этих множеств:
а) их общие элементы; б) все их элементы.
Р е ш е н и е. Множество простых чисел не меньше 19 и не больше 43: 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
Множество простых чисел не меньше 31 и не больше 59: 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.
а) Общими элементами этих множеств являются числа: 31, 37, 41, 43.
б) Все элементы двух этих множеств – числа: 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.
Упражнения
Найдите множество простых чисел не меньше 101 и не больше 109 и множество простых чисел не меньше 83 и не больше 113. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
Найдите множество составных чисел не меньше 3 и не больше 11 и множество составных чисел не меньше 7 и не больше 13. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
Найдите множество всех делителей числа 308 и множество всех делителей числа 385. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы. Найдите НОД (308, 385).
Числа 70, 30 и 110 разложили на простые множители и выписали для каждого из этих чисел множество полученных простых множителей. Укажите для этих трех множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
Найдите множество всех двузначных чисел, кратных числу 15 и множество всех двузначных чисел, кратных числу 30. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
Материалы для организации самостоятельной работы учащихся по теме «Множества. Общие элементы и все элементы заданных множеств»
После изучения материала главы 2 «Сложение и вычитание натуральных чисел» можно провести СР 1.
СР 1. Вариант 1.
Укажите верное утверждение:
а) число 10 принадлежит множеству всех однозначных чисел;
б) число 10 не принадлежит множеству всех однозначных чисел.
2. Заданы: множество букв слова КОТИК и множество букв слова КОФТА. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
3. Заданы: множество, состоящее из всех двузначных чисел, которые делятся на 20, и множество, состоящее из всех двузначных чисел, которые делятся на 30. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
4. В лыжных соревнованиях в забегах на 1 км и 3 км участвовали 35 спортсменов. Из них 21 спортсмен бежали дистанцию 1 км, 23 – дистанцию 3 км. Сколько спортсменов бежали обе дистанции?
5. В классе 15 учащихся посещают факультатив по математике, 17 – факультатив по английскому языку, 4 – посещают оба эти факультатива. Сколько учеников в классе?
СР 1. Вариант 2.
Укажите верное утверждение:
а) число 10 принадлежит множеству всех двузначных чисел;
б) число 10 не принадлежит множеству всех двузначных чисел.
2. Заданы: множество букв слова ЗАБОР и множество букв слова ЗАМОК. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
3. Заданы: множество, состоящее из всех двузначных чисел, которые делятся на 10, и множество, состоящее из всех двузначных чисел, которые делятся на 15. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
4. На велогонках в заездах приняли участие 42 спортсмена. Из них 29 спортсменов проехали дистанцию в 3 км, 26 – дистанцию в 5 км. Сколько спортсменов проехали обе дистанции?
5. В классе 18 учащихся посещают факультатив по французскому языку, 15 – факультатив по немецкому языку, 6 – посещают оба эти факультатива. Сколько учеников в классе?
После изучения материала главы 4 «Делимость натуральных чисел» можно провести СР 2.
СР 2. Вариант 1.
1. Укажите множество всех делителей числа 18.
а) 1, 2, 3, 9, 18; б) 2, 3, 6, 9, 18;
в) 1, 2, 3, 6, 9; г) 1, 2, 3, 6, 9, 18.
2. Найдите множество всех делителей чисел 20 и множество всех делителей чисел 24. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
3. Найдите множество всех двузначных чисел, кратных числу 16, и множество всех двузначных чисел, кратных числу 24. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
4. Найдите множества всех делителей чисел 28, 56, 98. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
5. Числа 4373 и 826 разделили на одно и то же натуральное число и получили в остатках 8 и 7 соответственно. На какое число делили?
СР 2. Вариант 2.
1. Укажите множество всех делителей числа 24.
а) 2, 4, 6, 12, 24; б) 1, 2, 4, 6, 12;
в) 1, 2, 4, 6, 24; г) 1, 2, 4, 6, 12, 24.
2. Найдите множество всех делителей чисел 36 и множество всех делителей чисел 42. Укажите для этих множеств:
а) их общие элементы; б) все их элементы.
3. Найдите множество всех двузначных чисел, кратных числу 18, и множество всех двузначных чисел, кратных числу 36. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
4. Найдите множества всех делителей чисел 24, 36, 28. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
5. Числа 1049 и 1865 разделили на одно и то же натуральное число и получили в остатках 5 и 9 соответственно. На какое число делили?
После изучения материала главы 5 «Простые числа» можно провести СР 3.
СР 3. Вариант 1.
1. Укажите множество простых чисел от 3 до 17.
а) 3, 5, 11, 13, 17; б) 3, 5, 7, 11, 13;
в) 3, 5, 7, 11, 13, 17; г) 3, 5, 7, 11, 17.
2. Найдите множество простых чисел не меньше 83 и не больше 101 и множество простых чисел не меньше 89 и не больше 107. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
3. Среди всех делителей для каждого из чисел 30 и 105 найдите те, которые являются простыми числами. Укажите для этих двух множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
4. Числа 66 и 165 разложите на простые множители. Укажите для двух множеств, состоящих из всех делителей этих чисел: а) их общие элементы; б) все их элементы. Найдите НОД (66, 165).
5. Произведение четырех последовательных чисел равно 5040. Найдите эти числа.
СР 3. Вариант 2.
1. Укажите множество простых чисел от 37 до 47.
а) 31, 41, 43, 47; б) 37, 41, 43, 47;
в) 31, 37, 41, 43; г) 31, 37, 41, 43, 47.
2. Найдите множество простых чисел не меньше 131 и не больше 149 и множество простых чисел не меньше 109 и не больше 137. Укажите для этих множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
3. Среди всех делителей для каждого из чисел 50 и 165 найдите те, которые являются простыми числами. Укажите для этих двух множеств: а) их общие элементы; б) все их элементы.
4. Числа 78 и 273 разложите на простые множители. Укажите для двух множеств, состоящих из всех делителей этих чисел: а) их общие элементы; б) все их элементы. Найдите НОД (78, 273).
5. Произведение четырех последовательных чисел равно 1680. Найдите эти числа.
● При изучении материала пункта 3.12 «Числовые выражения» уместно добавить материал о прикидке результата вычислений.
При нахождении значения числового выражения для самопроверки бывает полезно сначала округлить данные числа и найти его значение приближенно. Такую операцию называют прикидкой результата действия. Прикидку выполняют и тогда, когда вызывает сомнение результат уже выполненных вычислений.
Соответственно, можно предложить решать такого типа упражнения:
«Верно ли найдено значение числового выражения:
40 ∙25 318 + 30 ∙ 15 360 + 20 ∙ 2740 = 5 659 000?»
Р е ш е н и е. Сделаем прикидку результата, для чего все вторые множители в указанном выражении округлим до разряда тысяч. Получим:
40 ∙25 318 + 30 ∙ 15 360 + 20 ∙ 2740 ≈ 40 ∙ 25 000 + 30 ∙ 15 000 + 20 ∙ 3 000 =
= 1 000 000 + 450 000 + 60 000 = 1 510 000.
Очевидно, что значение числового выражения, указанное в условии, – ошибочное. Ответ. Неверно.
Упражнения
1. Верно ли (ответ объясните), что:
1) 80 ∙41 300 + 20 ∙ 64 980 + 60 ∙ 81 020 > 8 365 000;
2) 200 ∙710 300 + 300 ∙ 146 150 + 400 ∙ 227 500 < 5 512 000 000.
2. Пользуясь прикидкой результата действия, сравните:
1) 368 + 482 и 1000; 2) 259 + 415 и 600;
3) 1463 + 3841 и 6000; 4) 3216 + 5764 и 8000;
5) 32 · 46 и 1400; 6) 74 · 26 и 2000;
7) 154 · 391 и 80 000; 8) 367 · 653 и 200 000.
3. 1) Расстояние между городами 450 км. Сможет ли автомобиль, движущийся со скоростью 78 км/ч, проехать за: а) 5 ч; б) 6 ч?
2) В книге 365 страниц. Ваня читает ежедневно по 18 страниц. Сможет ли Ваня прочитать эту книгу за: а) 19 дней; б) 21 день?
● О признаке делимости на 4
Очевидно, что если натуральное число делится на 100, то оно делится и на 4.
Число, которое не оканчивается двумя нулями, например, 31 872, представим как сумму двух слагаемых:
31 872 = 31 800 + 72.
Оба слагаемых делятся на 4. Следовательно, и сумма делится на 4.
Возьмем еще одно число, которое не оканчивается двумя нулями, и представим его как сумму двух чисел: 31 813 = 31 800 + 13.
Поскольку второе слагаемое 13 не делится на 4, то и сумма не делится на 4. Таким образом, на 4 делятся числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4. Это и есть признак делимости на 4. Заметим, что никакие другие числа на 4 не делятся.
Упражнения
1. Какие из чисел 108, 226, 3214, 4156, 394 516, 72 361 196 делятся на 4?
2. Выпишите подряд, начиная с числа 512, пять натуральных чисел, делящихся на число 4.
3. Используя цифры 0, 2, 4, 8 не более одного раза каждую, составьте все возможные трехзначные числа, которые кратны 4.
4. Из чисел 636, 840, 98, 62, 7, 4, 2720, 64 830, 130 026, 130 264, 52 136, 67 456 выпишите:
в порядке возрастания числа, делящиеся на 4;
в порядке убывания числа, не делящиеся на 4.
Запишите все однозначные числа, кратные числу 4.
Запишите все двузначные числа от 57 до 68 не кратные 4.
Вместо символа ☺ в числах
26☺, 3☺0, 61☺, 37☺4, 2☺92, 49☺, 2☺32, 371☺
поставьте цифру (если возможно—несколькими способами) так, чтобы полученное число делилось на 4.
Используя цифры 0, 4 и 6 составьте все возможные трехзначные числа кратные 4.
Используя по одному разу каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составьте наибольшее десятизначное число, кратное 4.
11. Найдите сумму всех чисел, которые делятся на 4 и расположены в натуральном ряду между числами (т.е. таких чисел, которые больше первого и меньше второго из указанных чисел):
1) 4 и 18; 2) 19 и 30; 3) 124 и 133; 4) 4799 и 4816.
Материалы для организации самостоятельной работы учащихся по теме «Признак делимости на 4»
После изучения признака делимости на 4 можно провести СР 4
СР 4. Вариант 1.
Укажите число, которое не делится на 4.
а) 32 232 232; б) 265 816;
в) 1 632 028; в) 764 562.
Найдите сумму всех натуральных чисел, которые расположены в натуральном ряду между числами 34 и 50 (т.е. чисел больших 34 и меньших 50) и делятся на 4.
Для числа 89 319 найдите ближайшее к нему в натуральном ряду число, которое кратно 4.
Найдите наименьшее трехзначное число такое, сумма этого числа и числа 39 делилась бы на 4.
Запишите наибольшее семизначное число, которое состоит из четных цифр и делится на 4.
СР 4. Вариант 2.
Укажите число, которое делится на 4.
а) 56 454 202; б) 391 538;
в) 39 818 910; в) 986 364.
Найдите сумму всех натуральных чисел, которые расположены в натуральном ряду между числами 43 и 60 (т.е. чисел больших 43 и меньших 60) и делятся на 4.
Для числа 57 307 найдите ближайшее к нему в натуральном ряду число, которое кратно 4.
Найдите наименьшее трехзначное число такое, сумма этого числа и числа 25 делилась бы на 4.
Запишите наибольшее восьмизначное число, которое состоит из четных цифр и делится на 4.
