ИКТИБ ИТА ЮФУ
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Лекция 19 Формула Тейлора
Формула Тейлора
Как мы с вами уже отмечали, рычагом к созданию в 17, 18 веках теории дифференциального исчисления явилось необходимость приближения сложной функции более простыми функциями. В качестве таких простых функций английский математик Брук Тейлор (1685-1731) стал использовать многочлены.
Рассмотрим многочлен 
степени 
, определяемый 
параметрами: 
. Пусть задана функция 
, имеющую 
производных в точке 
. Рассмотрим 
чисел: 
, 
, 
, …, 
. Они однозначно определяют многочлен Тейлора степени не выше 
, обладающий тем свойством, что 
, 
,…, 
:
(1)
Многочлен Тейлора (1) и его производных совпадают в точке 
с функцией 
и ее производными. Разумно предположить, что многочлен Тейлора (1) приближает функцию в окрестности точки . Этот факт отражается формулой
, (2)
которая называется формулой Тейлора. При 
формула Тейлора (2) принимает вид 
(3) и называется формулой Маклорена.
Обратите внимание, что формула Тейлора (2) не нуждается в доказательстве, вопрос состоит лишь в оценке для конкретной функции величины 
, которая называется остаточным членом в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора разумно в том случае, когда остаточный член является малой величиной и стремится к 0 при 
. Для непосредственного применения формулы Тейлора необходимо вычислить производные функции в точке .
Пример 1. Напишите формулу Тейлора для функции 
в точке 
(формулу Маклорена для функции ).
Решение. Так как функция 
совпадает со всеми своими производными, то выполнено условие 
и формула (6) принимает вид 
. (4)
Пример 2. Напишите формулу Тейлора для функции 
в точке (формулу Маклорена для функции ).
Решение. Если , то 
, 
, 
, 
и далее производные функции повторяются. Значения синуса и его производных в точке 0 соответственно равны числам: 0, 1, 0, -1, 0 и т. д. Это можно записать в виде формул: 
, 
, 
. Следовательно, искомая формула принимает вид 
. (5)
Пример 3. Напишите формулу Тейлора для функции 
в точке (формулу Маклорена для функции ).
Решение. Если , то 
, 
, 
, 
и далее производные функции повторяются. Значения косинуса и его производных в точке 0 соответственно равны числам: 1, 0, -1, 0, 1 и т. д. Это можно записать в виде формул: 
, 
, . Следовательно, искомая формула принимает вид 
. (6)
Обратите внимание, что формула (9) может быть получена из формулы (8) дифференцированием ее левой и правой частей. И это не случайно. Не обязательно каждый раз вычислять все производные исследуемой функции.
Пример 4. Напишите формулу Тейлора для функции 
в точке (формулу Маклорена для функции ).
Решение. Искомую формулу мы получим, заменив в формуле (7) аргумент 
на аргумент 
. Учитывая, что 
, мы приходим к искомой формуле 
. (7)
Сопоставляя формулы (4), (5), (6), (7), мы приходим к формуле Эйлера 
, (8) которая упоминалась в лекции 1. Полностью формула Эйлера будет доказана, когда будет установлено, что в формулах (7), (8), (9) остаточные члены с ростом 
стремятся к 0 при всех значениях аргумента.
Пример 5. Напишите формулу Тейлора для функции 
в точке (формулу Маклорена для функции ).
Решение. Если , то 
, 
, 
, 
, …, 
(
). Следовательно, искомая формула принимает вид 
. (9)
Оценка остаточного члена в формуле Тейлора
Неотъемлемой частью использования формулы Тейлора является оценка ее остаточного члена. Красивые и практичные формулы появлялись в работах выдающихся математиков 18, 19 и да в 20 веках. Отметим некоторые результаты без доказательства.
Теорема 1. (Теорема Лагранжа) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную 
-го порядка. Тогда для произвольной точки 
из этой окрестности найдется точка 
, принадлежащая интервалу, соединяющую точки и , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение 
, (10)
Теорема 2. (Теорема Коши) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда для произвольной точки из этой окрестности найдется точка , принадлежащая интервалу, соединяющую точки и , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение 
, (11)
Теорема 3. (Теорема Пеано) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда в формуле (5) выполнено соотношение 
, (12)
