ИКТИБ ИТА ЮФУ
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Лекция 16 Вычисление производных и дифференциалов функции
План лекции
Доказательство правил вычисления производных и формул таблицы производных. Вычисление производных и дифференциалов различным образом заданных функций. Вычисление производных и дифференциалов функций высших порядков.
Вычисление производной функции
Производная функции играет важную роль в различных приложениях математики, поэтому необходимо знать – в каких случаях можно вычислить производную и как это сделать.
Мы познакомились с основными элементарными и знаем, что все элементарные функции получаются из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции функций). Мы научимся вычислять производную любой элементарной функции. Для этого будет обоснована таблица производных основных элементарных функций и выведены правила вычисления производной суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций.
С понятием производной мы познакомились на прошлой лекции и следовали при этом истории появления понятий дифференциала и производной. Историческое развитие не всегда является прямолинейным. Поэтому в современном изложении этого материала вначале, как правило, появляется понятие производной, а только затем понятие дифференциала. И происходит это примерно следующим образом.
Производной функции 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует. Это можно записать в виде 
, имея в виду, что величина 
является приращением аргумента, 
- приращением функции. Если этот предел не существует, то мы говорим, что функция не имеет производную в этой точке.
Затем вводится понятие дифференциала функции, как главной части 
приращения функции, если это приращение представляется в виде 
, где 
- функция, обладающая свойством 
. При этом также, как мы и делали, доказывается теорема о том, что функция дифференцируема тогда и только тогда, когда существует производная этой функции. При этом 
и для дифференциала функции справедлива формула 
. Заметим, что из дифференцируемости функции следует ее непрерывность. В частности, отсюда следует, что функция, имеющая производную в точке, непрерывна в этой точке.
Правила вычисления производной функции
Теорема 1. Пусть существуют производные функций и 
Тогда справедливы формулы: 
, 
, 
, 
.
Доказательство. Так как существуют производные функций и , то и 
. Докажем первую из формул. Рассмотрим 
и после простой группировки слагаемых получим 
. Вторая формула доказывается совершенно аналогично. Далее рассмотрим с учетом определения производной 
оказывается справедливой третья формула (с учетом непрерывности этих функций). Аналогично доказывается формула № 4, после чего теорема будет доказана.
Теорема 2. Пусть существуют производные функций 
и 
. Тогда существует производная функции 
и справедлива формула 
.
Доказательство. Сформулируем идею доказательства. Для функции рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента функции 
. С учетом существования (по условию теоремы) производных соответствующих функций при переходе к пределу в этом равенстве (все приращения в силу непрерывности одновременно стремятся к 0) мы приходим к формуле . Теорема доказана.
Следствие. (Производная обратной функции) Пусть задана монотонная функция 
. Тогда существует обратная ей функция 
, т. е. функция, обладающая свойством 
, 
, и при этом справедлива формула 
.
Доказательство. Для сложной функции 
производная, с одной стороны, равна 1, а, с другой стороны, равна произведению производных 
, откуда .
Таблица производных основных элементарных функций
Теорема 3. Справедливы следующие формулы для производных основных элементарных функций.
1) 
| 2) 
| 3) 
| 4) 
|
5) 
| 6) 
| 7) 
| 8) 
|
9) 
| 10) 
| 11) 
| 12) 
|
Доказательство. Формула 1) очевидна, т. к. у константы приращение функции всегда равно 0. Рассмотрим теперь формулу 4) при 
, т. е. производную от натурального логарифма. Вычислим ее непосредственно:
.
Теперь заметим, что 
и справедлива формула 
. Формула 4) доказана.
Рассмотрим функцию 
, обратную к функции 
. Поэтому (производные берутся по соответствующим аргументам) 
. Теперь заметим, что 
, поэтому, с учетом правила вычисления производной сложной функции, 
. Формула 3) доказана.
Для вычисления табличной производной 2) применим так называемое правило логарифмического дифференцирования. Суть его заключается в том, что 
, и эта формула применяется, если производную от логарифма функции посчитать легче, чем от самой функции. В этом случае искомая производная вычисляется по формуле 
.
Итак, для функции 
рассмотрим соотношение-следствие 
или 
. Продифференцировав обе части полученного соотношения, получим 
, откуда 
и, наконец, 
. Формула 2) доказана.
Перейдем к доказательству формул второй строки таблицы. Вычислим производную функции 
после следующих преобразований: 
. Формула 5) доказана.
Формулы 6), 7), 8) являются прямым следствием формулы 5):
,
.
И, наконец, рассмотрим формулы третьей строки. Заметим, что функция 
является обратной к функции 
и поэтому 
. Учитывая, что в области определения арксинуса значения косинуса не могут принимать отрицательные значения, мы приходим к формуле 
. Далее, получим 
.
Теперь отметим, что функция 
является обратной к функции 
и поэтому 
. Вспомним формулу 
и поэтому 
. Далее, получим 
. Теорема 7 доказана.