3.1. Определение напряжения волочения методом совместного
решения дифференциальных уравнений равновесия
и пластичности
Рассмотрим равновесие тонкого плоского элемента толщиной dz (рис. 6), находящегося под действием растягивающих напряжений sz, сжимающих р (соответствующих напряжениям sr на схеме рис. 5) и касательных m р.
Так как угол a мал, то 
; тогда условие пластичности примет вид: 
.
Рис. 6. Напряжения, действующие на элемент материала
бесконечно малой толщины в процессе волочения
Составив уравнение равновесия тонкого (dz) сечения и решая его совместно с условием пластичности, получим дифференциальное уравнение, сходное (отличие в знаке в знаменателе) с дифференциальным уравнением процесса прессования (выдавливания)
(7)
Рассмотрим различные варианты решения уравнения (7):
1 случай: матрица гладкая, упрочнение отсутствует, т.е.
m = 0; sS = const; a ® 0.
Из уравнения (7) следует: 
После интегрирования: 
Используя граничное условие:
при D = D0 ® sz = 0; ® C = ln D0.
Тогда для определения напряжения в выходном сечении получим:
(8)
2 случай:
m ¹ 0; sS = const.
После интегрирования уравнения (7) получим:
где В = m ctg a; C - константа интегрирования.
Из граничных условий, аналогичных предыдущему случаю,
Тогда
(9)
3 случай:
m ¹ 0; sS ¹ const.
Упрочнение может быть учтено зависимостью [3], связывающей природные характеристики материала. Однако, в этом случае интегрирование уравнения (7) будет затруднено. Поэтому используем упрощенную зависимость [4], подтвержденную многочисленными экспериментами
где К – постоянная, имеющая размерность напряжений.
Интегрирование уравнения (7) с учетом упрочнения дает:
. (10)
3.2. Определение усилия волочения методом
линий скольжения
Рассмотрим случай волочения при отсутствии трения в условиях плоской схемы. Принято считать, что результаты этого анализа в качестве первого приближения могут быть использованы при изучении волочения в условиях осевой симметрии.
Поля линий скольжения, отвечающие граничным условиям волочения без противонатяжения, согласно [4], могут быть различными.
В качестве примера рассмотрим одно из возможных решений с помощью сетки линий скольжения, имеющей два центрированных веера с центрами в точках А и О.
Рис. 7. Поле линий скольжения при волочении
Линии скольжения пересекают стенку матрицы под углом ± p / 4. При этом АС – отрезок a - линии, ОС – отрезок b - линии (рис. 7). В области АОС все линии прямые, поэтому напряжения в этой области постоянны и, следовательно, давление на стенку матрицы однородно.
Из условий симметрии следует, что линии скольжения, проходящие через точку F, наклонены к оси под углом p / 4. На крайней a - линии ABF должно выполняться условие равновесия в виде
= 0, (11)
где р и k – нормальная и касательная составляющие напряжения на любом отрезке dS линии ABF.
Для определения усилия волочения необходимо определить напряжения sz в любой точке на отрезке АО.
На линии АВF sср + 2k = const. Если в точке F значение среднего напряжения sср,0, то для линии ABF
(12)
Обозначим h – расстояние между точками A и F по оси z. А по оси х это расстояние равно 
. Тогда для интеграла (11) получим:
Подставляя sср = р из (12) в интеграл (11), получим:
(13)
Найдя q для точки В и подставляя найденное значение в уравнение (13), определим
(14)
Двигаясь вдоль линии ВСО, на которой sср – 2 k = const, найдем среднее напряжение в точке С:
(15)
В области треугольника АОС линии скольжения представляют собой прямые линии, поэтому напряжения в каждой точке треугольника одинаковы. При условии, что sz,0 = sср,C + k, получим усилие волочения Рдеф:
(16)
Напряжение волочения (для сравнения с выражением (8), получим
(17)
Подставляя в (17) значение среднего напряжения из (14), получаем
(18)
Интегрирование уравнения (18) можно выполнить графически.
3.3. Определение напряжения волочения
методом баланса работ
Принимая, что деформация является однородной и трение на стенке матрицы отсутствует, определим внешнюю и внутреннюю работу.
За весьма малый промежуток времени d t внешние силы, представленные средней величиной рср усилия волочения (рис. 10), равномерно распределенной по толщине полосы Dk. Они совершают работу
. (19)
Рис. 10. Схема к определению перемещений
Работа деформации формы может быть определена
(20)
Интенсивность деформаций при условии sz = 0 определится как 
Так как 
, 
и ez = 0. то по условию 
, получим
(21)
Интегрируя уравнение (21) и используя граничное условие: при r = rk – перемещение в выходном сечении матрицы равно 
, найдем
(22)
При отсутствии упрочнения работу деформации по уравнению (20) с учетом (22) получим
(23)
При отсутствии трения, приравнивая (19) и (23), определим среднее усилие волочения
(24)
Полученное методом баланса работ значение рср = 
при заданных условиях мало отличается от значений напряжений, полученных первым (8) и вторым (18) методами из приведенных в данном примере.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. Изд. 4-е – М.: Машиностроение, 1977.
2. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров В.Л. и др. Теория пластических деформаций металлов. – М.: Машиностроение, 1983.
3. Евстратов В.А. Теория обработки металлов давлением. – Харьков: Вища школа, 1981.
4. Томсен Э., Янг Ч., Кобаяши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов. – М.: Машиностроение, 1969.
Владимир Николаевич Горбунов
