Так как форма очага деформации при волочении через матрицу с малым углом конусности определяется самой матрицей, то решение задачи можно начать с «инженерного» метода.

 

3.1. Определение напряжения волочения методом совместного

решения дифференциальных уравнений равновесия

и пластичности

 

Рассмотрим равновесие тонкого плоского элемента толщиной dz (рис. 6), находящегося под действием растягивающих напряжений s_z, сжимающих р (соответствующих напряжениям s_r на схеме рис. 5) и касательных m р.

Так как угол a мал, то ; тогда условие пластичности примет вид: .

Рис. 6. Напряжения, действующие на элемент материала

бесконечно малой толщины в процессе волочения

 

Составив уравнение равновесия тонкого (dz) сечения и решая его совместно с условием пластичности, получим дифференциальное уравнение, сходное (отличие в знаке в знаменателе) с дифференциальным уравнением процесса прессования (выдавливания)

(7)

Рассмотрим различные варианты решения уравнения (7):

1 случай: матрица гладкая, упрочнение отсутствует, т.е.

m = 0; s_S = const; a ® 0.

Из уравнения (7) следует:

После интегрирования:

Используя граничное условие:

при D = D₀ ® s_z = 0; ® C = ln D₀.

Тогда для определения напряжения в выходном сечении получим:

(8)

2 случай:

m ¹ 0; s_S = const.

После интегрирования уравнения (7) получим:

где В = m ctg a; C - константа интегрирования.

Из граничных условий, аналогичных предыдущему случаю,

Тогда

(9)

3 случай:

m ¹ 0; s_S ¹ const.

Упрочнение может быть учтено зависимостью [3], связывающей природные характеристики материала. Однако, в этом случае интегрирование уравнения (7) будет затруднено. Поэтому используем упрощенную зависимость [4], подтвержденную многочисленными экспериментами

где К – постоянная, имеющая размерность напряжений.

Интегрирование уравнения (7) с учетом упрочнения дает:

. (10)

3.2. Определение усилия волочения методом

линий скольжения

 

Рассмотрим случай волочения при отсутствии трения в условиях плоской схемы. Принято считать, что результаты этого анализа в качестве первого приближения могут быть использованы при изучении волочения в условиях осевой симметрии.

Поля линий скольжения, отвечающие граничным условиям волочения без противонатяжения, согласно [4], могут быть различными.

В качестве примера рассмотрим одно из возможных решений с помощью сетки линий скольжения, имеющей два центрированных веера с центрами в точках А и О.

 

 

Рис. 7. Поле линий скольжения при волочении

 

Линии скольжения пересекают стенку матрицы под углом ± p / 4. При этом АС – отрезок a - линии, ОС – отрезок b - линии (рис. 7). В области АОС все линии прямые, поэтому напряжения в этой области постоянны и, следовательно, давление на стенку матрицы однородно.

Из условий симметрии следует, что линии скольжения, проходящие через точку F, наклонены к оси под углом p / 4. На крайней a - линии ABF должно выполняться условие равновесия в виде

= 0, (11)

где р и k – нормальная и касательная составляющие напряжения на любом отрезке dS линии ABF.

Для определения усилия волочения необходимо определить напряжения s_z в любой точке на отрезке АО.

На линии АВF s_ср + 2k = const. Если в точке F значение среднего напряжения s_ср,0, то для линии ABF

(12)

Обозначим h – расстояние между точками A и F по оси z. А по оси х это расстояние равно . Тогда для интеграла (11) получим:

Подставляя s_ср = р из (12) в интеграл (11), получим:

(13)

Найдя q для точки В и подставляя найденное значение в уравнение (13), определим

(14)

Двигаясь вдоль линии ВСО, на которой s_ср – 2 k = const, найдем среднее напряжение в точке С:

(15)

В области треугольника АОС линии скольжения представляют собой прямые линии, поэтому напряжения в каждой точке треугольника одинаковы. При условии, что s_z,0 = s_ср,C + k, получим усилие волочения Р_деф:

(16)

Напряжение волочения (для сравнения с выражением (8), получим

(17)

Подставляя в (17) значение среднего напряжения из (14), получаем

(18)

Интегрирование уравнения (18) можно выполнить графически.

 

 

3.3. Определение напряжения волочения

методом баланса работ

 

Принимая, что деформация является однородной и трение на стенке матрицы отсутствует, определим внешнюю и внутреннюю работу.

За весьма малый промежуток времени d t внешние силы, представленные средней величиной р_ср усилия волочения (рис. 10), равномерно распределенной по толщине полосы D_k. Они совершают работу

. (19)

Рис. 10. Схема к определению перемещений

 

Работа деформации формы может быть определена

(20)

Интенсивность деформаций при условии s_z = 0 определится как

Так как , и e_z = 0. то по условию , получим

(21)

Интегрируя уравнение (21) и используя граничное условие: при r = r_k – перемещение в выходном сечении матрицы равно , найдем

(22)

При отсутствии упрочнения работу деформации по уравнению (20) с учетом (22) получим

(23)

При отсутствии трения, приравнивая (19) и (23), определим среднее усилие волочения

(24)

Полученное методом баланса работ значение р_ср = при заданных условиях мало отличается от значений напряжений, полученных первым (8) и вторым (18) методами из приведенных в данном примере.

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. Изд. 4-е – М.: Машиностроение, 1977.

2. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров В.Л. и др. Теория пластических деформаций металлов. – М.: Машиностроение, 1983.

3. Евстратов В.А. Теория обработки металлов давлением. – Харьков: Вища школа, 1981.

4. Томсен Э., Янг Ч., Кобаяши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов. – М.: Машиностроение, 1969.

 

 

 

Владимир Николаевич Горбунов