Тогда, взяв из системы дифференциальных уравнений равновесия [1] для плоской задачи уравнение
,
и проинтегрировав его по у в пределах от 0 до h / 2, учитывая, что 
не зависит от у, получим следующее приближенное уравнение равновесия:
. (1)
Для решения этого уравнения необходимо задать то или иное распределение tk. При этом принимаются упрощающие допущения. Во-первых, в направлении оси z (рис. 1) касательное напряжение изменяется линейно от 0 на оси симметрии до tk на контактной поверхности. Во-вторых, контактное касательное напряжение tk не зависит от координаты х.
Рис. 1. Схема напряжений при осадке призматического бруса
между плоскими параллельными плитами
Дифференцируя условие пластичности 
, получим в различных частных случаях для точки контактной поверхности
. (2)
Уравнение (2) совместно с полученным дифференциальным уравнением равновесия (1) дает необходимое для определения осевого напряжения дифференциальное уравнение
(3)
Интегрируя уравнение (3) при заданных граничных условиях, получим закон распределения осевых нормальных напряжений sZ на контактной поверхности, то есть закон распределения удельных контактных давлений.
уммируя удельные давления по всей площади контакта, при необходимости можно получить усилие деформации.
При решении задачи «выдавливание» существует неопределенность в описании формы очага деформации, поэтому задачу рекомендуется вначале решать методом линий скольжения, а затем, определив приблизительно габариты и форму очага деформации, привести его к трапеции (рис. 2 (заштриховано) с размерами оснований Н и h и углом a - наклона боковых сторон.
Рис. 2. Схема напряжений при выдавливании
Так как боковые стороны трапеции являются границей жесткой и пластической зон, то tk здесь всегда принимают равным k, независимо от задаваемых в каждом варианте условий.
При решении задачи «труба под давлением» дифференциальное уравнение равновесия целесообразно составлять в цилиндрических координатах [1], [2].
2.2. Метод линий скольжения
Для определения напряжений методом линий скольжения необходимо уметь строить линии скольжения для конкретных задач, опираясь на общие положения и определять sср хотя бы в одной точке деформированного объема (например, в точке А, рис. 3).
Далее, используя уравнение 
, где k - постоянная пластичности, 
- изменение угла наклона касательной, можно определить sср в любой точке линии скольжения. Зная sср и угол наклона j линии скольжения к произвольно выбранному направлению х,можно определить как нормальные напряжения sХ и sZ, так и касательное напряжение tXZ по уравнениям
(4)
Для построения поля линий скольжения необходимо знать свойства линий скольжения.
1. Линии скольжения пересекают главные направления под углом p / 4 (рис. 3), поэтому к свободной поверхности, которая всегда является главной, и к контактной поверхности при отсутствии трения (tК = 0) линии скольжения подходят под углом p / 4. Так же под углом p / 4 лини скольжения пересекают оси симметрии.
Рис. 3. Напряжения в точке линии скольжения
2. Угол между касательными к двум линиям скольжения одного семейства в точках пересечения с линиями другого семейства остается постоянным на всем протяжении линий скольжения. Поэтому прямолинейные отрезки линии скольжения одного семейства требуют, чтобы соседние отрезки линий этого семейства также были прямыми. Поле линий скольжения, в котором оба семейства являются прямыми линиями, характерно для однородного напряженного состояния, при котором напряжения sср в любой точке этого поля одинаковы.
3. Поле линий скольжения, в котором одно семейство состоит из прямых линий, а другое – из перпендикулярных этим прямым дуг окружностей, характеризует простое напряженное состояние, при котором постоянное sср вдоль прямых отличается друг от друга на величину 2k . dq, где dq - угловой интервал, принимаемый обычно равным 50, 10о или 15о.
Сочетание полей линий скольжения однородного и простого напряженных состояний наиболее часто встречается при решении задач с прямолинейными контактными и свободными поверхностями.
4. Линии скольжения должны удовлетворять условиям на внешнем контуре деформируемого тела. Например, углы выхода линий скольжения на контактную поверхность, на которой tК = 2m. k, согласно уравнению 
, где tXZ = tК, будут 
.
5. Линии скольжения могут исходить из особых точек, к которым относятся пересечения свободной и контактной поверхностей, искривления и переломы контактной поверхности, и другие.
Пример. В предложенных вариантах задач «осадка», «выдавливание», «открытая штамповка» сетка линий скольжения представляет собой центрированный веер, который строится следующим образом.
Из центров А и А1 проводятся дуги одинакового радиуса, которые пересекаются в точке В под углом π/2 (рис. 4).
Рис. 4. Двухцентровый веер линий скольжения
Например, при осадке точки А и А1 являются угловыми точками осаживаемой полосы. Сетка, появляющаяся справа от АА1, будет симметрична относительно линии ВХ, перпендикулярной АА1. Следовательно, достаточно построить половину сетки выше ВХ.
Дуга ВС делится пучком пямых, проводимых из центра А с одинаковым угловым интервалом 15о (можно выбрать угловой интервал 10о, 5о), на одинаковые отрезки ВС, СD, DE. Эти дуги заменяются хордами. Все последующие отрезки линий скольжения также являются хордами, т.е. фактически криволинейные линии скольжения строятся как ломаные линии. Отрезок СF проводится перпендикулярно к ВС, отрезок DG – перпендикулярно к СD, а отрезок FG – параллельно ВС. На пересечении отрезков DG и FG получаем узловую точку G. Последующие узловые точки скольжения получим аналогичным образом.
Пользуясь описанным методом, построим сетку линий скольжения до выхода на свободную, контактную или граничную (разделяющую пластическую и жесткую зоны) поверхность. При этом углы выхода линий скольжения на эти поверхности подчиняются описанным выше свойствам.
Далее, по полученной сетке линий скольжения с помощью уравнений (4) можно определить компоненты напряжений в любых узловых точках.
Для определения усилия деформации необходимо суммировать компоненты напряжений по той оси, которая совпадает с направлением движения инструмента. При этом рассматривают либо плоскость симметрии, перпендикулярную этой оси, либо границу очага деформации.
В общем случае сетка, содержащая двухцентровый веер с угловым интервалом 5о, построенная в некотором масштабе [4], может использоваться для контроля правильности построения.
Поле линий скольжения, получаемое в каждом конкретном задании, должно точно накладываться на часть этой общей сетки, если построение выполнить в этом же масштабе.
Метод линий скольжения позволяет определить не только напряжение при плоском деформированном состоянии, но и деформации. Для этого с помощью сетки линий скольжения строится годограф скоростей, то есть диаграмма, показывающая скорости частиц материала в очаге деформации на линии скольжения. Затем с помощью уравнений Гейрингер [1]
(вдоль a),
(вдоль b), (где Ua и Ub - скорости перемещения частиц вдоль линий скольжения; dθ - угол поворота линий скольжения между узловыми точками) можно определить компоненты скоростей перемещения в каждой точке, а затем – деформации.
Годограф скоростей позволяет проверить соответствие построенного поля линий скольжения кинематическим условиям. Для удобства и наглядности желательно строить годограф скоростей в том же масштабе, что и поле линий скольжения [1, 2].
2.3. Метод баланса работ
Определение метода: «При пластической деформации работа внешних сил на соответствующих им перемещениях равна работе внутренних сил, то есть А внеш = А деф».
В соответствии с определением вычислим в начале работу внешних сил. Так как в общем случае силы переменны, то необходимо определить элементарную работу.
,
где R – равнодействующая сил, приходящаяся на элементарную поверхность или объем; dU – малое перемещение.
Общую работу определим как интеграл. Так как внешние силы распределены по поверхности, то и интеграл определяем по этой поверхности (F).
. (5)
При решении конкретных задач обычно работу внешних сил вычисляют по каждой силе отдельно, а затем результат суммируют. Работа сил сопротивления при этом является отрицательной.
