Динамика материальной точки

1. Основной закон динамики поступательного движения (второй закон Ньютона)

,

где а – ускорение тела; - силы, действующие на тело; - равнодействующая сил, приложенных к телу; m – масса тела.

Т.к. второй закон Ньютона записан в векторном виде, то использовать его для расчетов можно только после проектирования сил и ускорения на оси ОX и ОY:

.

2. Некоторые силы в механике:

− сила тяжести F_т действует со стороны Земли на все тела, находящиеся вблизи ее поверхности. Сила направлена вертикально вниз (к центру Земли) и равна

,

где м/с² – ускорение свободного падения.

− сила упругости F_упр возникает в упругих телах (например, в пружине) при их деформации. По абсолютной величине эта сила в довольно широких пределах прямо пропорциональна деформации D l:

F_упр = k× D l,

где k – коэффициент жесткости пружины; сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации.

− реакция опоры N действует на тело, соприкасающееся (но не связанное) с опорой. Она всегда направленаот опорыперпендикулярно ее поверхности;

− сила натяжения F_н всегда направлена от тела вдоль связи;

− сила трения скольжения F_тр возникает при контакте поверхностей двух твердых тел; направлена в сторону, противоположную движению тела, и по величине прямо пропорциональна силе, с которой тело прижато к поверхности, по которой оно скользит; и если нет дополнительных сил, прижимающих первое тело к поверхности второго, силе нормальной реакции опоры:

F_тр = m×N,

где m – коэффициент трения, учитывающий свойства трущихся друг о друга поверхностей;

− выталкивающая (архимедова) сила F_А действует на тело, погруженное в жидкость, и направлена вверх

где r_ж – плотность жидкости; V_погр – объем погруженной части тела;

− сила тяги F_тяги возникает при включении двигателя и направлении по направлению движения тела;

− вес тела P - сила, с которой оно давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес. Из третьего закона Ньютона следует, что эта сила равна по величине соответственно либо нормальной реакции опоры (P = N), либо силе натяжения подвеса (P = F_н).

3. Импульсом тела называется векторная величина, равная произведению его массы m на скорость :

.

4. Закон сохранения импульса: если система замкнута, т.е. на нее не действуют внешние тела или их воздействие уравновешено, то суммарный импульс тел, составляющих систему, есть величина постоянная.

Применительно к взаимодействию двух тел массами m ₁ и m ₂ этот закон имеет вид:

,

где v₁ и v₂ – скорости тел до взаимодействия; u₁ и u₂ – скорости после взаимодействия.Т.к. закон записан для векторных величин, то при расчетах следует учитывать направления скоростей.

5. Работа А силы F при движении тела вдоль оси ОХ из точки с координатой х₁ в точку с координатой х₂

,

где F_х – проекция силы на ось ОХ.

Если сила при движении тела остается постоянной, то работа

,

где S – пройденный телом путь, α – угол между силой и направлением перемещения.

6. Мощность, развиваемая телом

,

где v – скорость тела.

7. Энергия - величина, характеризующая способность тела совершать работу. Различают два вида механической энергии: кинетическую W_К и потенциальную W_П.

− кинетическая энергия (энергия движения) материальной точки массой m, имеющей скорость v, равна

;

− потенциальная энергия тела, находящегося в поле силы тяжести, на высоте h над выбранным уровнем отсчета

;

− потенциальная энергия тела, находящегося в поле силы упругости пружины жесткостью k при деформации D l

.

8. Полная механическая энергия системы

.

 

 

9. Закон сохранения энергии

− если на систему тел действуют неконсервативные силы: трения F_тр,сопротивления F_сопр или тяги F_тяги, то

,

где где A_неконс – работа неконсервативных сил.

− если на систему не действуют силы трения и сопротивления, то ее полная механическая энергия сохраняется:

.

 

 

10. При взаимодействии тел в системе возможны:

− абсолютно упругое столкновение, при котором выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии (потенциальная энергия не меняется)

 

,

 

.

Скорости тел после такого удара могут быть найдены как

 

; .

 

− абсолютно неупругое столкновение, при котором после взаимодействия тела сцепляются и двигаются вместе с одинаковой скоростью u, а часть полной механической энергии переходит в тепло Q

.

 

.

 

Скорости тел после такого удара рассчитываются с помощью формулы:

 

.