Кинематика материальной точки

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч П О Ф И З И К Е

 

ЧАСТЬ 1

 

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

 

Методические указания для заочников

 

Тверь 2012

Кинематика материальной точки

1. Для описания движения материальной точки необходимо выбрать систему отсчета, включающую в себя тело отсчета (О), систему координат (например, декартову OXY) и часы. Линия в пространстве, по которой движется материальная точка, называется траекторией. Путь - это длина траектории. Вектор, соединяющий начало координат (О) и положение материальной точки в данный момент времени, называется радиус-вектором . Вектор, соединяющий начальное (1) и конечное (2) положения материальной точки, называется перемещением (обозначается ). Уравнения движения выражают зависимость координат или радиус-вектора от времени и имеют вид

 

или .

 

Уравнение траектории можно получить, исключив время из уравнений движения и выразив зависимость одной координаты от другой, например .

2.Мгновенная скорость точки характеризует ее перемещение за единицу времени и определяется как производная радиус-вектора по времени:

.

Проекции вектора скорости на оси ОХ и ОY могут быть найдены как производные от соответствующих координат:

,

.

Модуль(абсолютную величину) скорости можно найти по формуле

3. Ускорениеточки характеризует изменение ее скорости за единицу времени и равно производной вектора скорости по времени:

.

Проекции вектора ускорения a_х и a_у и его модуль а равны

,

,

 

4. Для удобства анализа характера движения точки ускорение раскладывают на две составляющие:

 

− тангенциальное ускорение a_t, характеризующее изменение вектора скорости только по величине; a_t равно производной модуля скорости по времени:

;

вектор сонаправлен с вектором скорости при ускоренном движении (а_t > 0) и направлен противоположно при замедленном движении (а_t < 0).

− нормальное ускорение a_n, характеризующее изменение вектора скорости только по направлению; поскольку векторы и взаимно перпендикулярны, для них справедливо выражение , и нормальное ускорение может быть найдено как

;

вектор нормален (перпендикулярен) вектору скорости направлен к центру кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории R определяется как

и зависит от времени.

Пример

Уравнение движения материальной точки имеет вид: , где A= 4 м/с, В =-0,05 м/с². Построить графики зависимостей x(t); v_x(t); a_x(t). Для этого вычислить их значения в интервале времени от 0 до t₀ с шагом Δt, где t₀ =100 с, Δt=5 с.

 

 

Решение:

 

1) - проекция скорости на ось х равна первой производной от координаты x от времени;

;

2) м/с² - проекция ускорения на ось х равна производной от проекции скорости на ось х. Так как проекция ускорения не зависит от времени, движение является прямолинейным равноускоренным.

3) График зависимости координаты от времени.

 

t, c
x, м		18,75		48,75		68,75		78,75		78,75
t, c
x, м	68,75		48,75		18,75		-21,25	-45	-71,25	-100

Графики зависимости проекции скорости на ось x от времени:

;

(м/с)

 

t, c
v, м /c		3,5		2,5		1,5		0,5		-0,5	-1
t, c
v, м /c	-1,5	-2	-2,5	-3	-3,5	-4	-4,5	-5	-5,5	-6

График зависимости проекции ускорения на ось x от времени:

 

а_x=-0,1 м/с²