Пример 1. Найти дифференциал функции 
.
Решение. Находим производную данной функции, используя формулы 
Умножив производную на дифференциал аргумента, получим дифференциал: 
Пример 2. Вычислить значение дифференциала функции 
при 
Решение. Дифференциал функции вычисляем по формуле 
Прежде чем применить эту формулу, используя равенства 
находим производную функции и ее значение при 
Следовательно, 
.
Пример 3. Вычислить приближенное значение приращения функции 
при изменении аргумента от t = 4 до t = 4,025.
Решение. Находим дифференциал аргумента: 
Приращение аргумента мало, поэтому приращение 
функции приближенно равно ее дифференциалу ds. Дифференциал функции вычисляем по формуле 
Используя формулы 
предварительно найдем производную и ее значение при t = 4:
Тогда 
и 
Точное значение приращения функции найдем по формуле 
имеем
Тогда 
Сравнивая полученный результат с дифференциалом ds, видим, что ошибка равна 0,000112. Очевидно, что такой ошибкой можно пренебречь и вместо приращения функции находить ее дифференциал, который вычислить проще, так как он зависит от 
линейно.
Пример 4. Вычислить приближенное значение функции 
при х = 2,995.
Решение. Найдем дифференциал аргумента: 
приращение аргумента мало, поэтому для вычисления приближенного значения функции воспользуемся формулой 
сначала найдем значение функции при х = 3:
Дифференциал функции находим по формуле 
для чего сначала найдем производную функции и ее значение при х = 3:
Итак, 
Пример 5. Куб со стороной а = 10 см увеличился на 0,03 своего объема. Вычислить приближенно приращение ребра куба.
Решение. Объем куба со стороной а вычисляется по формуле 
поэтому V (10)=103=1000.
По условию приращение объема куба равно 0,03 всего объема, т.е. 
Так как 
то 
Дифференциал функции вычисляем по формуле 
откуда 
Прежде чем воспользоваться этой формулой, найдем производную функции и ее значение при а = 10: 
Теперь находим 
т.е. ребро куба увеличилось приблизительно на 0,1 см.
Контрольная работа
1 – 25. Вычислите приближенное значение выражения и границу погрешности результата:
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
.
15. 
. 16. 
.
17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
.
21. 
. 22. 
.
23. 
. 24. 
.
25. 
.
26 – 35. Выполните действия. Запишите результат в показательной форме:
26. 
. 27. 
.
28. 
29. 
.
30. 
. 31. 
.
32. 
. 33. 
.
34. 
. 35. 
.
36 – 50. Запишите комплексное число в тригонометрической и алгебраической формах:
36. 
. 37. 
. 38. 
.
39. 
. 40. 
. 41. 
.
42. 
. 43. 
. 44. 
.
45. 
. 46. 
. 47. 
.
48. 
. 49. 
. 50. 
.
51. Докажите, что треугольник с вершинами А(1; 1), В(2; 3) и С(5; -1) – прямоугольный.
52. На оси абсцисс найдите точку, расстояние которой от точки А(-3; 4; 8) равно 12ед.
53. Даны вершины треугольника А(1; 4), В(3; -9), С(-5; 2). Вычислите длину его медианы, проведенной из вершины В.
54. Даны вершины А(1; -2; 2), В(1; 4; 0), С(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3) четырехугольника АВСD. Докажите, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.
55. Вычислите угол С треугольника с вершинами А(5; 2; -4), В(9; -8; -3), С(16; -6; -11).
56. На оси ординат найдите точку, одинаково удаленную от начала координат и от точки М(4; 5).
57. Докажите, что треугольник с вершинами А(3; -1; 6), В(-1; 7; -2), С(1; -3; 2) – прямоугольный.
58. Вычислите периметр треугольника с вершинами А(3; 4), В(3; 8) и С(6; 4).
59. Даны векторы 
и 
. Вычислите длину вектора 
.
60. На оси аппликат найдите точку, равноудельную от точек А(4; -1; 2) и В(0; 2; -1).
61. Даны две вершины А(2; -3; -5) и В(-1; 3; 2) параллелограмма АВСК и точка пересечения его диагоналей М(4; -1; 7). Вычислите координаты двух других вершин параллелограмма.
62. Докажите, что треугольник с вершинами А(3; -1; 2), В(0; -4; 2), С(-3; 2; 1) – равнобедренный.
63. Даны векторы 
и 
. Вычислите скалярное произведение векторов 
и 
.
64. Вычислите координаты концов отрезка, который точками С(2; 0; 2) и К(5; -2; 0) разделен на три равные части.
65. Вычислите угол А треугольника с вершинами А(-3; 5; 6), В(1; -5; 7), С(8; -3; -1).
66. На оси ординат найдите точку, расстояние которой от точки В(-8; 13) равно 17 ед.
67. Вычислите периметр треугольника с вершинами А(8; 0; 7), В(10; 2; 8), С(10; -2; 8).
68. Найдите начало вектора 
, если его конец совпадает с точкой В(1; -1; 2).
69. Даны три вершины параллелограмма: А(3; -5), В(5; -3), С(-1; 3). Вычислите координаты вершины К, противолежащей вершине В.
70. Вычислите координаты концов отрезка, который точками М(2; 2) и Р(1; 5) разделен на три равные части.
71. Даны вершины А(-6; 4), В(2; -2), С(-4; 3) треугольника АВС. Вычислите длину средней линии треугольника, параллельной стороне АВ.
72. Даны вершины А(2; 2; 2), В(6; 5; 0), С(0; 3; 8) параллелограмма АВСК. Вычислите координаты вершины К.
73. На оси ординат найдите точку, равноудельную от точек К(1; -3; 7) и Р(5; 7; -5).
74. Вычислите длины диагоналей параллелограмма АВСК, если известны координаты его вершин: А(1; -3; 0), В(-2; 4; 1), С(-3; 1; 1).
75. Вычислите угол В треугольника с вершинами А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0) и С(3; -2; 1).
76. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку В(-5; -1) и отсекающей на оси ординат отрезок, равный 4. Сделайте чертеж.
77. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку К(5; -4) перпендикулярно прямой 3х – 2у – 7 = 0. Сделайте чертеж.
78. Вычислите площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой х + 2у – 6 = 0. Сделайте чертеж.
79. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку В(2; 1) параллельно прямой у = 3х – 4. Сделайте чертеж.
80. Вычислите угол между прямой 2х + у – 1 = 0 и прямой, проходящей через точки А(1; 3) и В(-1; -3). Сделайте чертеж.
81. Даны уравнения сторон треугольника 4х – 3у – 9 = 0, 3х +4у +12 = 0, х – 2у + 4 = 0. Вычислите координаты вершин этого треугольника. Сделайте чертеж.
82. Составьте уравнение прямой, проходящей через середину отрезка СК перпендикулярно к нему, если С(-5; 2), К(1; -8). Сделайте чертеж.
83. Вычислите координаты точек пересечения прямой АВ с осями координат, если А(4; 1), В(-1; -4). Сделайте чертеж.
84. Даны вершины треугольника А(3; 2), В(5; -2) и С(1; 0). Напишите уравнение медианы, проведенной из вершины А. Сделайте чертеж.
85. Прямая, параллельная прямой 5х + 2у + 10 = 0, отсекает на оси ординат отрезок, равный 5. Составьте уравнение этой прямой. Сделайте чертеж.
86. Вычислите длину отрезка прямой 4х + 3у – 12 = 0, заключенного между точками пересечения этой прямой с осями координат. Сделайте чертеж.
87. Даны вершины треугольника А(2; 4), В(0; 2), С(4; -2). Составьте уравнение средней линии этого треугольника, которая параллельна стороне АВ. Сделайте чертеж.
88. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку К(3; 4) на одинаковых расстояниях от точек А(-7; 3) и В(11; -15). Сделайте чертеж.
89. Даны две точки Р(2; 3) и К(-1; 0). Составьте уравнение прямой, проходящей через точку К перпендикулярно отрезку РК. Сделайте чертеж.
90. Составьте уравнение прямой, если точка С(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую. Сделайте чертеж.
91. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -5) и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3. Сделайте чертеж.
92. Противоположными вершинами ромба АВСК служат точки А(4; 7) и С(2; -3). Составьте уравнение его диагоналей. Сделайте чертеж.
93. Даны вершины треугольника А(-1; 3), В(3; -2), С(5; 3). Составьте уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. Сделайте чертеж.
94. Через точки А(-1; 2) и В(2; 3) проведена прямая. Найдите координаты точек пересечения этой прямой с осями координат. Сделайте чертеж.
95. Составьте уравнение прямой, проходящей через середину отрезка, соединяющего точки К(-5; 7) и Р(3; -11), перпендикулярно к нему. Сделайте чертеж.
96. Из точки К(-2; 1) на прямую 2х – 7у + 14 = 0 опущен перпендикуляр. Составьте его уравнение. Сделайте чертеж.
97. Даны точки А(2; -7) и В(-3; 1). Составьте уравнение прямой, проходящей через точку С(-2; 3) параллельно отрезку АВ. Сделайте чертеж.
98. Точка А(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7х – у + 8 = 0. Составьте уравнение второй диагонали квадрата. Сделайте чертеж.
99. Составьте уравнение пря через точку Р(2; 3) и отсекает на координатных осях отрезки и равной длины, считая каждый отрезок от начала координат. Сделайте чертеж.
100. Найдите координаты начала и конца отрезка АВ, который точками С(2; 0; 2) и К(5; -2; 0) разделен на три равные части. Сделайте чертеж.
101. а) Найдите производную функции f(х) = (х2 – 3)/(х2 + 3) и вычислите 
.
б) Из квадратного листа жести, сторона которого равна 30 см, нужно вырезать по углам четыре равных квадрата так, чтобы из оставшейся части после сгибания получить коробку наибольшей емкости. Каковы при этом размеры вырезанных квадратов?
102. а) Найдите производную функции f(х) = (cos 3х)/(1 - sin3х) и вычислите 
.
б) Составьте уравнение касательной к кривой у = 4 – х2 в точке с абсциссой х = 1.
103. а) Найдите производную функции 
и вычислите 
.
б) Тело движется прямолинейно по закону 
. Найдите минимальную скорость движения тела.
104. а) Найдите производную функции 
и вычислите 
.
б) Постройте график функции у = х3 – 6х2.
105. а) Найдите производную функции f(x) = sin x/(2 cos2x) и вычислите 
.
б) Из куска проволоки длиной 40 см согнут прямоугольник наибольшей площади. Каковы размеры этого прямоугольника?
106. а) Найдите производную функции f(х) = х3 ∙ 3х и вычислите .
б) Составьте уравнение касательной к кривой у = х3 + 2х в точке с абсциссой х = 1.
107. а) Найдите производную функции 
и вычислите 
.
б) Тело движется прямолинейно по закону s = -10t3 +15t2 + 2t. Найдите максимальную скорость движения тела.
108. а) Найдите производную функции 
и вычислите .
б) Разложите число 8 на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наибольшей.
109. а) Найдите производную функции f(x) = cos2 x – 2 ln cos x и вычислите 
.
б) Составьте уравнение касательной к кривой у = 2х3 – 4х2 + 6х – 3 в точке с абсциссой х = 1.
110. а) Найдите производную функции f(x) = 1/(1 - x2)3 и вычислите .
б) Прямолинейное движение точки задано уравнением s = (1/4) t4 – 4t3 + 16t2. В какие моменты времени скорость движения точки равна нулю?
111. а) Найдите производную функции 
и вычислите 
.
б) Сумма основания и высоты треугольника равна 24 см. Каковы должны быть размеры основания, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
112. а) Найдите производную функции f(t) = sin4t – cos4t и вычислите 
.
б) Составьте уравнение касательной к кривой у = х/(1 + х2) в точке с абсциссой х = 0.
113. а) Найдите производную функции f(x) = (ex – e-x)/ (ex + e-x) и вычислите .
б) Точка движется по прямой по закону s = t3 – 9t2 + 24t. Найдите скорость и ускорение движения. В какие моменты времени точка меняет направление движения?
114. а) Найдите производную функции 
и вычислите .
б) Из листа картона прямоугольной формы размером 30 х 50 см2 нужно вырезать по углам квадраты та, чтобы из оставшейся части после сгибания получить коробку наибольшей боковой поверхности. Каковы при этом размеры вырезанных квадратов?
115. а) Найдите производную функции f(x) = (2 – sin x)/(2 + sin x) и вычислите .
б) Постройте график функции y = x3 + 3x2.
116. а) Найдите производную функции 
и вычислите .
б) Составьте уравнение касательной к кривой у = х3 – 3х2 + 9х – 1 в точке с абсциссой х = 1.
117. а) Найдите производную функции f(x) = cos x – (1/3) cos3x и вычислите .
б) Разложите число 100 на два слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
118. а) Найдите производную функции y = ln sin x + (1/2) cos2x и вычислите .
б) Точка движется прямолинейно по закону s = -t3 + 3t2 + 9t + 3. Найдите максимальную скорость движения тела.
119. а) Найдите производную функции f(x) = (1/2)tg2x + ln cos x и вычислите .
б) Постройте график функции у = х3 - 12х.
120. а) Найдите производную функции f(x) = tg x + (1/3)tg3x и вычислите .
б) Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого равен 72 см3, а стороны основания относятся, как 1: 2. Каковы должны быть размеры ящика, чтобы его полная поверхность была наименьшей?
121. а) Найдите производную функции 
и вычислите .
б) Тело движется прямолинейно по закону s = -(1/6)t3 + 3t2 – 5. Найдите скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.
122. а) Найдите производную функции 
и вычислите .
б) Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м2, а длина забора была наименьшей?
123. а) Найдите производную функции 
и вычислите .
б) Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?
124. а) Найдите производную функции f(x) = ln sin x и вычислите 
.
б) Постройте график функции у = 2х3 + 3х2.
125. а) Найдите производную функции f(x) = (1 – cos 2x)/(1 + cos 2x) и вычислите .
б) Резервуар емкостью 4 м3 с квадратным основанием, открытый сверху, нужно выложить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать наименьшее количество олова?
126 – 130. Найдите дифференциал функции:
126. 
. 127. 
.
128. 
. 129. 
. 130. 
.
131 – 135. Вычислите значение дифференциала функции:
131. 
при 
.
132. 
при 
.
133. 
при 
.
134. 
при 
.
135. 
при 
.
136 – 140. Вычислите приближенное значение приращения функции:
136. 
при изменении аргумента от 2 до 1,998.
137. 
при изменении аргумента от 1 до 1,02.
138. 
при изменении аргумента от 
до 
.
139. 
при изменении аргумента от 0,5 до 0, 503.
140. 
при изменении аргумента от 4 до 4,001.
141. 
при х = 3,01.
142. 
при х = 1,02.
143. 
при х = 2,997.
144. 
при х = 0,02.
145. 
при х = 0,99.
146. Вычислите приближенно, какое приращение надо дать аргументу в точке х = 3, чтобы функция 
изменилась на 0,09.
147. Сторона квадрата равна 10 см. Вычислите приближенно, на сколько увеличиться его площадь, если сторону увеличить на 0,02 см.
148. Площадь квадрата со стороной 
увеличилась на 0,16 см2. Вычислите приближенно удлинение стороны квадрата.
149. Вычислите приближенно приращение площади круга, если его радиус изменился с 5 до 5,03 см.
150. Вычислите приближенно приращение объема куба, если его ребро увеличилось с 20 до 20,2 см.
Литература
1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М., 1980.
2. Учебник для 10-11 классов средней школы под редакцией А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын. М.: Просвещение 2002 г.
3. Математика для школьников и поступающих в вузы. П.И.Алтынов, Л.И.Звавич, А.И.Медяник и др. М.: Дрофа, 1999 г.
4. Атанасян.
