Тема: Векторы в пространстве.

Пример 1. Вычислить длину вектора , если М(5; -1; -4) и К(2; -5; 8).

Решение. Сначала найдем координаты вектора:

. Теперь находим его длину: .

 

Пример 2. Даны векторы и . Вычислить координаты вектора .

Решение. Сначала найдем координаты векторов и , а затем сложим эти векторы:

Пример 3. Вычислить угол между векторами и

Решение. Для вычисления угла между векторами и воспользуемся приведенной формулой но сначала найдем скалярное произведение векторов, их длины и произведение длин векторов:

Тогда

 

Пример 4. Вычислить расстояние между точками А(1; 2; 1) и С(7; 4; -2).

Решение. Найдем координаты вектора или

. Теперь найдем его длину:

Пример 5. Даны вершины четырехугольника А(1; 2; 3), В(7; 3; 2), С(-3; 0; 6) и D(9; 2; 4). Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.

Решение. Сначала найдем координаты векторов и ;

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

Так как скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны; значит, перпендикулярны и диагонали четырехугольника АВСD.

 

Пример 6. На оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А(1; -3; 7) и В(5; 7; -5).

Решение. Искомую точку обозначим буквой С; так как она лежит на оси ординат, то ее координаты (0; у; 0). По условию , поэтому найдем каждое из этих расстояний:

Так как , то и получим уравнение

Точка С(0; «; 0) равноудельна от данных точек А и В.

 

 

Пример 7. Даны вершины треугольника А(2; -1; 4), В(3; 2; -6) и С(-5; 0; 2). Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.

В

А D

C

Решение. Пусть AD – медиана (рис.) тогда точка D делит отрезок ВС пополам, Значит, т.е.

Итак, D(-1; 1; -2). Теперь найдем координаты вектора

Его длина равна

 

Тема. Уравнение линии на плоскости.

Пример 1. Даны вершины треугольника А(-2; 7), В(2; -1), С(-8; 3). Составить уравнение: высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС; медианы, проведенной из вершины В (рис.). Сделать чертеж.

Решение. Воспользуемся схемой составления уравнения прямой. Сначала составим уравнение высоты АК:

В

К

М N

A D C

1)

2)

3)

4) или –10(х+2)+4(у-7)=0.

- уравнение высоты АК.

Чтобы составить уравнение медианы BD, надо найти координаты точки D, которая является серединой отрезка АС. Значит,

т.е. и

Итак, D (-5; 5).

Теперь составим уравнение медианы BD:

1)

2)

3)

4) - уравнение медианы BD.

 

Сделаем чертеж в системе координат (рис.)

у

 

 

 

0 х

 

Пример 2. Прямая проходит через точки К(6; -2) и Р(-3; 4). Найти координаты точек пересечения этой прямой с осями координат (рис.). Сделать чертеж.

l

К Р М

Решение. Сначала составим уравнение прямой l:

1) ;

2)

3)

4) - уравнение прямой l.

Теперь найдем координаты точек пересечения прямой l с осями координат:

Прямая l пересекать ось Ох в точке А (3; 0) и ось Оу в точке В (0; 2). Сделаем чертеж в системе координат (рис.).

у

 

 

0 х

Пример 3. Найти проекцию точки Р(-6; 4) на прямую 4х – 5у + 3 = 0 (рис.). Сделать чертеж.

 

Р

М l

n_l К

l₁

 

Решение. Сначала составим уравнение прямой l₁:

1) ;

2)

3)

4) уравнение прямой l₁.

Теперь найдем точку пересечения прямых l и l₁, для чего решим систему уравнений.

Итак, К (-2; -1) – проекция точки Р (-6; 4) на прямую 4 х - 5 у + 3 = 0.

Сделаем чертеж в системе координат (рис.). Прямую 4 х - 5 у + 3 = 0 построим по точкам ее пересечения с осями координат:

у

 

х

Пример 4. Вычислить угол между прямыми 6 х –2 у – 9 = 0 и 4 х + 2 у – 7 = 0. Сделать чертеж.

Решение. Угол φ между данными прямыми найдем по формуле

где

Сначала найдем скалярное произведение нормальных векторов, их длины и произведение для нормальных векторов.

Тогда Итак, угол между дан-ными прямыми равен 45^о.

Сделаем чертеж в системе координат (рис.) Данные прямые построим по точкам их пересечения с осями координат.