Пример 1. Вычислить длину вектора 
, если М(5; -1; -4) и К(2; -5; 8).
Решение. Сначала найдем координаты вектора: 
. Теперь находим его длину: 
.
Пример 2. Даны векторы 
и 
. Вычислить координаты вектора 
.
Решение. Сначала найдем координаты векторов 
и 
, а затем сложим эти векторы:
Пример 3. Вычислить угол между векторами 
и 
Решение. Для вычисления угла между векторами 
и 
воспользуемся приведенной формулой но сначала найдем скалярное произведение векторов, их длины и произведение длин векторов:
Тогда 
Пример 4. Вычислить расстояние между точками А(1; 2; 1) и С(7; 4; -2).
Решение. Найдем координаты вектора 
или 
. Теперь найдем его длину: 
Пример 5. Даны вершины четырехугольника А(1; 2; 3), В(7; 3; 2), С(-3; 0; 6) и D(9; 2; 4). Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.
Решение. Сначала найдем координаты векторов 
и 
;
Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:
Так как скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны; значит, перпендикулярны и диагонали четырехугольника АВСD.
Пример 6. На оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А(1; -3; 7) и В(5; 7; -5).
Решение. Искомую точку обозначим буквой С; так как она лежит на оси ординат, то ее координаты (0; у; 0). По условию 
, поэтому найдем каждое из этих расстояний:
Так как , то 
и получим уравнение 
Точка С(0; «; 0) равноудельна от данных точек А и В.
Пример 7. Даны вершины треугольника А(2; -1; 4), В(3; 2; -6) и С(-5; 0; 2). Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.
В
А D
C
Решение. Пусть AD – медиана (рис.) тогда точка D делит отрезок ВС пополам, Значит, 
т.е.
Итак, D(-1; 1; -2). Теперь найдем координаты вектора 
Его длина равна 
Тема. Уравнение линии на плоскости.
Пример 1. Даны вершины треугольника А(-2; 7), В(2; -1), С(-8; 3). Составить уравнение: высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС; медианы, проведенной из вершины В (рис.). Сделать чертеж.
Решение. Воспользуемся схемой составления уравнения прямой. Сначала составим уравнение высоты АК:
В
К
М N
A D C
1) 
2) 
3) 
4) 
или –10(х+2)+4(у-7)=0.
- уравнение высоты АК.
Чтобы составить уравнение медианы BD, надо найти координаты точки D, которая является серединой отрезка АС. Значит, 
т.е. 
и 
Итак, D (-5; 5).
Теперь составим уравнение медианы BD:
1) 
2) 
3) 
4) 
- уравнение медианы BD.
Сделаем чертеж в системе координат (рис.)
у
0 х
Пример 2. Прямая проходит через точки К(6; -2) и Р(-3; 4). Найти координаты точек пересечения этой прямой с осями координат (рис.). Сделать чертеж.
l
К Р М
Решение. Сначала составим уравнение прямой l:
1) 
;
2) 
3) 
4) 
- уравнение прямой l.
Теперь найдем координаты точек пересечения прямой l с осями координат:
Прямая l пересекать ось Ох в точке А (3; 0) и ось Оу в точке В (0; 2). Сделаем чертеж в системе координат (рис.).
у
0 х
Пример 3. Найти проекцию точки Р(-6; 4) на прямую 4х – 5у + 3 = 0 (рис.). Сделать чертеж.
Р
М l
nl К
l1
Решение. Сначала составим уравнение прямой l1:
1) 
;
2) 
3) 
4) 
уравнение прямой l1.
Теперь найдем точку пересечения прямых l и l1, для чего решим систему уравнений.
Итак, К (-2; -1) – проекция точки Р (-6; 4) на прямую 4 х - 5 у + 3 = 0.
Сделаем чертеж в системе координат (рис.). Прямую 4 х - 5 у + 3 = 0 построим по точкам ее пересечения с осями координат:
у
х
Пример 4. Вычислить угол между прямыми 6 х –2 у – 9 = 0 и 4 х + 2 у – 7 = 0. Сделать чертеж.
Решение. Угол φ между данными прямыми найдем по формуле
где 
Сначала найдем скалярное произведение нормальных векторов, их длины и произведение для нормальных векторов.
Тогда 
Итак, угол между дан-ными прямыми равен 45о.
Сделаем чертеж в системе координат (рис.) Данные прямые построим по точкам их пересечения с осями координат.
