Тема. Производная и ее приложения.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Дифференцируем функцию по формулам

Пример 2. Найти производную функции и вычислить ее значение при

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом

Дифференцируем ее по формулам

Вычислим значение производной при

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Дифференцируя, получим

Пример 4. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х = 2.

Решение. Сначала найдем ординату точки касания А( 2; у). Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке имеет вид у - 2 = k(х – 2 ). Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х = 2:

Уравнение касательной таково:

или т.е.

Пример 5. Закон движения точки по прямой задан формулой В какие моменты времени t скорость движения точки равна нулю?

Решение. Скорость прямолинейного движения точки равна производной пути s по времени t:

υ υ откуда t = 1.

Пример 6. Найти вторую производную функции f(x) = tg x.

Решение. Сначала по формуле найдем первую производную: .

Дифференцируя еще раз по формулам найдем вторую производную:

Пример 7. Точка движется по прямой по закону (s – в метрах, t – в секундах). Найти ускорение движения точки в конце второй секунды.

Решение. Сначала найдем производную пути s по времени t:

Ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути s по времени t:

Ускорение движения точки в конце второй секунды равно 2 м/с².

Пример 8. Число 36 представить в виде произведения двух таких положительных множителей, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Решение. Пусть один из множителей равен х, тогда второй множитель равен 36/ х. Сумма квадратов этих множителей есть

где х > 0.

Сначала найдем производную этой функции:

теперь найдем критические точки I рода:

Ясно, что х = - 6 не удовлетворяет условию, так как х > 0.

Отметим границы области определения и критические точки I рода на числовой прямой (рис.). Исследуем знак производной в окрестности точки < 0, > 0. Так как при переходе через критическую точку I рода х = 6 производная функция S меняет знак с минуса на плюс, то х = 6 – точка минимума.

-6 - 6 +

Итак, число 36 надо разложить на два равных множителя: 6 и 6.

Пример 9. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной 30 см вырезают открытую прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объем коробки был небольшим?

Решение. Пусть сторона вырезаемых квадратов равна х см, тогда длина коробки равна (48 – 2 х) см, ширина (30 – 2 х) см, а высота х см.

Объем коробки равен объему прямоугольного параллелепипеда, т.е. произведению трех его измерений:

Исследуем функцию V на экстремум. Для этого сначала найдем производную а затем найдем критические точки I рода:

х = 20 не удовлетворяет условию.

Отметим эти то1чки на числовой прямой (рис.)

+ 6 - 20 х

Исследуем знак производной в окрестности точки х = 6: > 0, < 0, т.е. х = 6 – точка максимума. Итак, объем коробки является наибольшим, если сторона вырезаемых квадратов равна 6 см.

Пример 10. Построить график функции у = х³ – 3 х.

Решение 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. х = R.

2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат:

+ 1 - 1 + х

3. Находим экстремумы функции. Для этого сначала найдем производную Затем найдем критические точки I рода:

Отметим эти точки на числовой прямой (рис.). Исследуем знак производной в каждом интервале; > 0, < 0, > 0. Функция возрастает при и убывает при Итак, х = -1 – точка минимума; - точка минимума;

4. Находим направление вогнутости и точки перегиба графика функции. Для этого сначала найдем вторую производную а затем критические точки II рода: отметим эту точку на числовой прямой (рис.). Исследуем знак второй производной в каждом интервале: < 0, > 0.