Определение. Ряд вида 
сn (5)
с членами произвольных знаков называется знакопеременным.
Определение. Ряд (5) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
ïсnï. (6)
Определение. Ряд (5) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (6) расходится.
Определение. Ряд вида 
(–1)n–1аn или (–1)nаn (аn > 0) (7) называется знакочередующимся.
Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов). Если члены ряда (7) начиная с некоторого монотонно убывают по абсолютной величине и 
аn = 0, то ряд (7) сходится.
Действия над рядами
Теорема1. Если сходятся слагаемые ряды, то сходится и суммарный ряд:
Теорема 2. Если сходятся перемножаемые ряды, причем хотя бы один абсолютно, то сходится и ряд 
Определение. Частным от деления ряда 
на ряд 
называется такой ряд 
, что 
Приближенное вычисление суммы ряда
Для приближенного вычисления суммы S сходящегося ряда 
полагают, что S»Sn= 
, пренебрегая остатком Rn = 
.
Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница, справедлива следующая оценка: ôRnô 
ôcn+1ô.
Для сходящихся знакоположительных рядов, члены которого монотонно убывают начиная с (n + 1)–го, справедливы следующие оценки остатка:
; 
.
Степенные ряды
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд
, (8)
члены которого есть произведения постоянных 
на степенные функции с целыми показателями степеней от разности (х - а).
Постоянные а0, а1, а2, а3, …, аn, … называются коэффициентами степенного ряда. В частном случае при а = 0 имеют степенной ряд вида
.
Основное свойство степенных рядов сформулировано в теореме Абеля. Если степенной ряд (8) сходится при х = х0, то он сходится и притом абсолютно при всяком значении х, удовлетворяющем условию
.
Одним из следствий теоремы Абеля является существование для всякого степенного ряда интервала сходимости, симметричного относительно х = а [для ряда (8)]. Обозначим через число R половину длины интервала сходимости – радиус сходимости. Тогда интервал сходимости для ряда (8) запишется в виде
или 
,
а при а = 0
или 
.
В частных случаях радиус сходимости ряда R может оказаться равным нулю или бесконечности. Если R = 0, это означает, что область сходимости состоит из одной точки х = а, другими словами, ряд расходится для всех значений х, кроме одного. Если же R = ¥, то ряд сходится на всей числовой оси, т. е. ряд сходится при всех значениях х.
На концах интервала сходимости в точках х = а ± R различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие – либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном сходятся условно, а на другом расходятся; существуют ряды, которые расходятся на обоих концах.
Для определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно использовать следующие способы.
1. Если среди коэффициентов ряда а0, а1, а2, а3, …, аn, … нет равных нулю, т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности х – а, то радиус сходимости находится по формуле
или 
при условии, что этот предел, конечный или бесконечный, существует (это условие должно выполняться и для нижеприведенных способов).
2. Если степенной ряд имеет вид
,
где р– некоторое определенное целое положительное число, то радиус сходимости данного ряда
.
3. Во всех случаях интервал сходимости степенного ряда можно находить, непосредственно применяя известные признаки Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.
Запишем степенной ряд в виде
,
используя следующие обозначения: 
, 
, где зависимость Nот n может быть любой (в частности, N = p×n) и через an обозначен не коэффициент при 
, а коэффициент n-го члена ряда. Применяя к ряду, составленному из абсолютных значений членов ряда признак Даламбера или признак Коши, интервал сходимости исходного степенного ряда находим из соответствующих неравенств:
или 
.
Теорема 1. Если ряд (8) сходится на отрезке [a; b], то его можно почленно проинтегрировать на этом отрезке:
dx.
Теорема 2. Ряд (8) можно почленно продифференцировать в каждой точке x его интервала сходимости.
Ряд Тейлора
Ряд Тейлора для функции f(x) в окрестности точки x = a (ряд по степеням x-a) имеет вид
f(x) = f(a) + 
+ 
+ 
+ … +
+ … + 
+… = 
.
Таблица разложений функций в ряд Тейлора
ex =  = 1 + x +    … 
|
sin x =  = x –  +  –  + …
|
cos x =  = 1 –  +  –  + …
|
 1 + x + x2 + x3 + x4 + … 
|
(1 + x)m = 1 +  xn = 1 + mx +  +…
|
ln(1+x)=  = x –    …, –1 < x ≤ 1
|
arctg x =  = x –  +  –  + …, 
|
Ряды Фурье
Определение. Пусть f(x) – кусочно непрерывная периодическая функция с периодом Т=2 l. Рядом Фурье функции f(x) называется ряд
, (9)
где 
(10)
Теорема Дирихле. Если функция f(x) непрерывна или имеет точки разрыва только 1-го рода на [– l; l ] и при этом на [– l; l ] у нее конечное число экстремумов и точек разрыва (условия Дирихле), то ряд Фурье этой функции сходится для любых х из [– l; l ]. Сумма этого ряда S(x) равна:
1) f(x) в точках непрерывности из (– l; l);
2) среднему арифметическому пределов функции f(x) слева и справа в каждой
точке x0 разрыва функции, т. е. S(x0) = 0,5[f(x0–0)+ f(x0+0)];
3) S(x) = 0,5[f(l – 0)+ f(– l +0)] при х = – l их = l.
Если функция f(x) четная, т. е. f(–x) = f(x), то все bn = 0, ряд Фурье имеет вид
, (11)
где 
(12)
Если функция f(x) нечетная, т. е. f(–x) = – f(x), то ее рядом Фурье является ряд
, (13)
где 
(14)
Примеры решения задач
Задача № 1. Найти суммы числовых рядов
а) 
; б) 
.
а) Разложим общий член ряда на простейшие дроби:
.
Запишем сумму n первых слагаемых ряда Sn= а1 + а2 + а3 + …+ аn =
= 
+ 
+ 
+ …+ 
+
+ 
= 
Отсюда S = Sn = 
= 
б) 
– убывающая геометрическая прогрессия с
q = 
и а1 = 5, тогда S = 
Задача № 2. Используя признак сравнения, исследовать на сходимость ряд
.
Сравним исследуемый ряд с рядом 
(он сходится, т. к. степень a = 3>1).
Очевидно, справедливо неравенство 
. Значит, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд тоже сходится.
Задача № 3. Используя предельную форму признака сравнения, исследовать ряд 
на сходимость.
Сравним данный ряд со сходящимся рядом 
. Предел отношения их общих членов 
, что означает сходимость исследуемого ряда.
Задача № 4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд
.
Вычисляем предел
.
Результат меньше единицы, это говорит о сходимости ряда.
Задача № 5. Используя радикальный признак Коши, исследовать на сходимость ряд 
.
Так как предел 
, ряд расходится.
Задача № 6. Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость ряд 
.
Если заменить аргумент n на непрерывно изменяющийся аргумент x, то ряд и интеграл 
сходятся и расходятся одновременно, т. к. подынтегральная функция непрерывна, положительна и монотонно убывает при x ³ 1:
= 
В результате вычисления несобственного интеграла получено, что его значение конечно, это говорит о сходимости интеграла, а следовательно, и ряда.
Задача № 7. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
.
Легко проверить, что оба условия теоремы Лейбница выполняются для рассматриваемого ряда: члены ряда начиная с первого монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. 
и аn = 
= 0, что говорит о сходимости исследуемого ряда.
Если записать знакоположительный ряд 
соответствующим данному, то, согласно признаку сравнения, этот ряд будет расходящимся, т. к. 
(как известно, ряд 
– расходящийся).
Отсюда можно сделать вывод об условной сходимости знакочередующегося ряда
.
Задача № 8. Дан степенной ряд 
.Найти область его сходимости и интервал сходимости.
Пусть R – радиус сходимости ряда. Он может быть вычислен по формуле
Интервал сходимости находится с помощью неравенства 
; подставляя а = 1 и R = 1, находим 
. Получается, что 
.
Остается выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках интервала сходимости. Для этого в рассматриваемый ряд подставляются x = 0, а затем
x = 2 и соответствующие числовые ряды исследуются на сходимость.
При x = 0 получится знакочередующийся ряд 
. Оба условия теоремы Лейбница выполняются для него: члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. 
и аn = 
= 0, что говорит о сходимости исследуемого ряда.
При x = 2 получится знакоположительный ряд 
. Он расходящийся, согласно признаку сравнения, т. к. 
. Следовательно, уточненный интервал сходимости имеет вид 
.
Задача № 9. Используя дифференцирование и интегрирование степенных рядов, найти сумму и указать область сходимости ряда 
.
Пусть z = x2 – 3, тогда получается ряд 
. Легко видеть (применяя методы предыдущей задачи № 8), что он сходится для всех z: 
. Обозначив сумму нового ряда S(z), проинтегрируем равенство S(z) = 
на отрезке [0, z], используя таблицу разложений в ряд Тейлора, а затем продифференцируем получившееся равенство:
= 
; S(z) = 
Подставив z = x2–3 в последнее равенство, получаем
= 
.
Это разложение имеет силу, если 
, т. е. 2 < x2 < 4, а, значит, область сходимости исследуемого ряда является объединением двух интервалов:
–2 < x < 
и < x < 2.
Задача № 10. Используя табличные разложения, составить ряд Тейлора для функции 
по степеням x – 4.
Используя формулу 
, преобразуем функцию следующим образом: 
= 
=
= 
= 
.
Применяя таблицу разложений функций в ряд Тейлора, получаем
= 
=
= 
.
Задача № 11. Вычислить интеграл 
с точностью 0,0001.
Используя таблицу разложений в ряд Тейлора, получаем
e –x = 
= 1 – x + 
…
этот ряд является знакочередующимся и сходится для любого x. Отсюда после вычитания из обеих частей равенства по 1 – x следует, что
e –x – 1 + x = …
Разделим это равенство на x2: 
= 
…
Данный ряд также является знакочередующимся и сходится для любого x.
Отсюда следует, что его можно почленно проинтегрировать на отрезке [0; 0,1]:
= 
После почленного интегрирования вновь получился знакочередующийся сходящийся ряд. Для приближенного вычисления суммы S сходящегося ряда полагают, что S» Sn= , пренебрегая остатком Rn= 
.
Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница, справедлива следующая оценка: 
.
Третье слагаемое суммы 
меньше 0,0001, поэтому для нахождения приближенного значения интеграла с заданной точностью достаточно вычислить сумму первых двух слагаемых.
Задача № 12. Найти первые 4 – 5 отличных от нуля членов в разложении функции у(х) в ряд Тейлора по степеням (х – а), если 
.
Ряд Тейлора для функции f(x) в окрестности точки x = a (по степеням х – а) имеет вид f(x) = f(a) + + + + … +
+ 
+ … = 
.
Отсюда а = 1, у(1) = p, 
,
,
.
Таким образом, искомый ряд Тейлора для у(x) в окрестности точки x = 1 имеет вид у(x) = p + 
+ 
+ 
+ …
Задача № 13. Разложить функцию 
с периодом 2p в тригонометрический
ряд Фурье (рис. 1).
Данная функция у удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле и поэтому может быть разложена в ряд Фурье. Используя выражение (10), где l = p, получаем коэффициенты Фурье:
После подстановки этих коэффициентов в (9) получим искомый ряд:
Так как функция у удовлетворяет условиям Дирихле, сумма полученного ряда равна значению функции в любой точке ее непрерывности. В точках разрыва сумма равна p/2. На рисунке 2 показан график суммы ряда.
 |
Задача № 14. Разложить функцию 
заданную на интервале
]0; 2[, в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (рис. 3).
Доопределяя функцию y на интервале ]–2; 0[ четным образом (рис. 4), эту вспомогательную функцию продолжим периодически на всю числовую прямую с периодом Т = 4 (рис. 5), получим l = 2. Тогда, используя формулы (11), (12), находим
После подстановки этих коэффициентов в (10) получим искомый ряд:
.
На интервале ]0; 2[ сумма полученного ряда равна значению функции. На рисунке 6 показан график суммы ряда.
Задача № 15. Разложить функцию заданную на интервале ]0; 2[, в тригонометрический ряд Фурье по синусам (рис. 3).
Доопределим функцию у на интервале ]–2; 0[ нечетным образом (рис. 7), а затем продолжим периодически на всю числовую прямую с периодом Т = 4.
Найдем коэффициенты Фурье по формуле (14) при l = 2:
После подстановки этих коэффициентов в (13) получим искомый ряд:
.
На интервале ]0; 2[ сумма этого ряда равна значению функции. На рисунке 8 показан график суммы ряда.
Библиографический список
1. Шмелев П. А. Теория рядов в задачах и упражнениях. – М.: Высш. школа, 1982. – 178 с.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. – М.: Наука, 1978. – 563 с.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980. – 467 с.
4. Колобов А. М. Избранные главы высшей математики. Ч. 1. Ряд Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. – Минск: Высш. школа, 1985. – 220 с.
5. Ефимов А. В. Математический анализ (специальные разделы). Ч. 1. Общие функциональные ряды и их приложения. – М.: Высш. школа, 1980. – 279 с.
6. Ряды и их приложения: Метод. указания / сост.: Г. А. Кузик, Э. Г. Кучеренко. – Омск: Изд. ОмПИ, 1992. – 36 с.
Содержание
1. Типовой расчет. ……………………………………..………………...3
2. Справочный материал. ……………………………………………...12
3. Примеры решения задач РГР и КР………………………………….21
Библиографический список ………………………………………...30
Редактор Г. М. Кляут
Сводный темплан 2005 г.
ИД 06039 от 12.10.01
Подписано в печать 18.02.05. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная.
Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 2,0. Уч.–изд. л. 2,0.
Тираж 500 экз. Заказ
Издательство ОмГТУ. 644050, Омск, пр-т Мира, 11
Типография ОмГТУ
