Правила и формулы дифференцирования

¢	¢	¢

 

Интегрирование. Основные формулы и свойства

	, a>0, a≠1

 

Числовые и степенные ряды

Определение. Пусть дана бесконечная числовая последовательность {a_n}, сумма вида а₁ + а₂ + а₃ + …+ а_n +… называется числовым рядом и обозначается

а_n, (1)

a_n называется n–м или общим членом ряда.

Определение. Сумма S_n= а₁ + а₂ + а₃ + …+ а_n n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.

Определение. Если существует конечный предел , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой ряда. В этом случае пишут = S.

Определение. Ряд называется расходящимся, если S_n не существует (в частности, если S_n = ¥).

Справедливы следующие теоремы.

1. Отбрасывание от ряда или присоединение к нему любого конечного числа начальных членов не изменит его сходимости или расходимости.

2. Если все члены сходящегося ряда (1) умножить на число a, то получится сходящийся ряд а_n, а его суммой будет число aS.

3. (Необходимый признак сходимости ряда.)Если ряд (1) сходится, то

а_n = 0. (Значит, если а_n ≠ 0, то ряд(1) расходится.)

Сходимость рядов с положительными членами

Пусть дан ряд с положительными членами а_n > 0

а_n (2)

Следующие достаточные признаки позволяют судить о сходимости или расходимости ряда (2).

1. Признак сравнения. Пусть даны ряды (2) и

b_n (3)

с положительными членами, причем при всех достаточно больших n а_n ≤ b_n, тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).

Сравнение обычно производится с табличными рядами:

(геометрическая прогрессия, сходится при , расходится при );

(сходится при a > 1, расходится при a ≤ 1).

2. Предельная форма признака сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды (2) и (3) сходятся либо расходятся одновременно. (В частности, если при n®¥ a_n ~ b_n, то ряды (2) и (3) сходятся либо расходятся одновременно.)

3. Признак Даламбера. Если существует предел , то ряд (2) сходится. Если предел , то ряд (2) расходится. Если предел , то вопрос о сходимости ряда (2) остается открытым.

4. Радикальный признак Коши. Если существует предел , то ряд (2) сходится. Если предел , то ряд (2) расходится. Если предел , то вопрос о сходимости ряда (2) остается открытым.

5. Интегральный признак Коши. Пусть общий член ряда

а_n (а_n > 0, m ³ 1) (4)

представляется в виде , т. е. в виде функции натурального аргумента n. Если заменить аргумент n на непрерывно изменяющийся аргумент x, то ряд (4) и интеграл сходятся и расходятся одновременно при условии, что f(x) –

непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция при x ³ m.