Основные свойства определенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,
а, k, C - постоянные величины.

·

·

·

·

51. Интегрирование по частям

 

Если функции и дифференцируемы на множестве и, кроме того, на этом

множестве существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем . Действительно, если проинтегрировать формулу нахождения дифференциала произведения двух функций:

 

,

 

то можно получить следующее соотношение между первообразными от этих функций:

 

.

 

Такой способ нахождения интеграла называется интегрированием по частям. Этот способ целесообразно применять, если интеграл, стоящий в правой части проще исходного. При использовании метода интегрирования по частям задана левая часть равенства, т.е. функция и дифференциал . Таким образом, выбор функций и неоднозначен, причем не каждый способ выбора этих функций ведет к упрощению первоначального интеграла.

Замена переменных

Для упрощения подынтегральной функции и, тем самым, для нахождения интеграла часто применяется так называемая подстановка или замена переменных.

Если обозначить и сделать соответствующие преобразования в заданном подынтегральном выражении, полученный интеграл при удачном выборе функции может оказаться более простым или даже табличным.

Для некоторых типов подынтегральных функций известны такие подстановки, которые приводят к цели. Ниже будут рассматриваться многие из них.

Например:

. Если применить замену ; , то получим:

 

.

 

. Применим замену ; . В результате получим:

 

.

 

Как и в предыдущем случае, применим замену ; . В результате получим:

 

.

52. Для интегрирования рациональной функции , где P (x) и Q (x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

Если дробь неправильная (т.е. степень P (x) больше степени Q (x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

 

Разложить знаменатель Q (x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

 

Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

 

Вычислить интегралы от простейших дробей.

Пример 1
	Вычислить интеграл . Решение. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями: Следовательно, Тогда Теперь легко вычислить исходный интеграл

53 Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (8)

- (8)

 

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τ_n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ_k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

 

 

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.

Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 1), называется криволинейной трапецией.

 

 

Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения τ_n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ξ_k.

Чем меньше , k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при λ→0:

 

 

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

 

Основные свойства определенного интеграла

 

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

 

 

Это свойство следует из определения интеграла.

 

Если f(x)=1, то

Действительно, так как f(x)=1, то

 

 

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

 

 

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

 

R.

 

Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

 

 

6. (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c;

 

7. Если f(x) ≥ 0 [a; b], то

a < b.

 

8. (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) [a; b], то

 

a >b.

 

9.(об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

 

a < b.

 

10.(теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

 

 

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

Теорема о среднем

 

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

 

 

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

54. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница

 

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:

 

x є [a; b],

 

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.

Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

 

Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

 

- (9)

55 Пусть функция y = f (x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [ а, t ], т.е. функция

определена для произвольного значения t ≥ a. Несобственным интегралом (интегралом первого рода) от функции f (x) на полуинтервале [ а, +∞) называется предел

(9.1)

Если предел, стоящий в правой части равенства (9.1), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае — расходящимся.
Выделяют следующие две задачи:
а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
б) вычисление значения интеграла в случае, если несобственный интеграл сходится.
В некоторых случаях решения этих двух задач удается объединить.
По аналогии с (9.1) определяется несобственный интеграл на полуинтервале (-∞, b ]:

(9.2)

Определение сходимости интеграла аналогично приведенному выше.
Несобственный интеграл на интервале (-∞, +∞) определяется следующим образом

(9.3)

56. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:

 

 

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x)[f₁(x) ≤ f₂(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:

 

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:

где t₁ и t₂ определяются из уравнений a=x(t₁), b=x(t₂) [y(t) ≥ 0 при t₁ ≤ t ≤ t₂].

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:

 

57. Если кривая y=f(x) на отрезке [a; b] - гладкая (т. е. производная y’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

 

 

При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t₁ до t₂, вычисляется по формуле:

 

Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ), α ≤ θ ≤ β, то длина дуги равна:

 

 

Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:

 

 

59. Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Действий

Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B.

Пример 8. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w ₁, w ₂, w ₃, w ₄, w ₅, w ₆}, где элементарное событие w _i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w ₂,w ₄,w ₆}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w ₅, w ₆}.

Событие A + B = {w ₂,w ₄, w ₅, w ₆} состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A, либо событие B. Очевидно, что A + B W.

Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB.

Пример 9. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w ₁, w ₂, w ₃,w ₄, w ₅,w ₆}, где элементарное событие w _i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w ₂,w ₄,w ₆}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w ₅, w ₆}.

Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A и событие B, A B = {w ₆} A B W.

Разностью событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих A, но не принадлежащих B. Обозначается A\B.

Пример 10. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w ₂,w ₄,w ₆}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w ₅, w ₆}. Событие A\ B = {w ₂,w ₄} состоит в том, что выпало четное число очков, не превышающее четырех, т.е. произошло событие A и не произошло событие B, A\B W.

Очевидно, что

A + A = A, AA = A, .

Нетрудно доказать равенства:

, (A+B) C= AC + BC.

Определения суммы и произведения событий переносятся на бесконечные последовательности событий:

, событие, состоящее из элементарных событий, каждое из которых принадлежит хотя бы одному из ;

, событие, состоящее из элементарных событий, каждое из которых принадлежит одновременно всем .