Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла. Приклад.
Визначений інтеграл від неперервної функції f(x) на відрізку [a,b] дорівнює приросту її первісної функції F(x) на цьому відрізку, тобто
де F'(x)=f(x).
Схема обчислення:
1. Знаходимо будь-яку первісну функцію F(x) для підінтегральної функції f(x).
2. Обчислюємо приріст функції F(x) на проміжку [a,b].
Приклад
Метод підстановки обчислення визначеного інтеграла. Приклад.
При обчисленні визначених інтегралів користуються методом заміни змінної (або методом підстановки).
Нехай виконуються умови:
1) функція f(x) неперервна на відрізку [а;b];
2) функція x = 
(t) і її похідна х' = (t)' неперервні на відрізку [ 
; 
];
3) (а)=а, ()=b I t 
(; ):a< (t)<b.
Тоді справджується рівність
Формула називається формулою заміни змінної(або підстановки) у визначеному інтегралі.
Приклад
Інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Приклад.
Приклад
44. Обчислення площ криволінійних фігур за допомогою визначеного інтеграла. Приклад.
Якщо функція f(x) – невідємна на відрізку [а;b], то згідно з геометричним змістом визначеного інтеграла площа S криволінійної трапеції дорівнює визначеному інтегралу від функції f(x) на відрізку [а;b], тобто
Якщо функція f(x)≤0 на відрізку [а;b], то площа криволінійної трапеції виражається формулою:
Якщо криволінійна трапеція з основою [c;d] на осі Оу обмежена прямими у=с, у=d і графіком функції x=g(y)≥0 на відрізку [c;d], то чисельне значення її площі S виражається формулою:
Якщо криволінійна трапеція обмежена функцією x=g(y)≤0 на відрізку [c;d], то чисельне значення її площі S виражається формулою:
|
Приклад
y= 
, OX
x=0, x=3
|
Обчислення об’ємів тіл обертання за допомогою визначеного інтеграла. Приклад.
Якщо криволінійну трапецію з основою [a,b] на осі Ох, обмежену прямими х=а, х=b і графіком функції y=f(x), повертати навколо осі Ох, то одержимо тіло обертання, чисельне значення обєму 
якого обчислюється за формулою:
Якщо криволінійну трапецію з основою [c,d] на осі Оy, обмежену прямими y=c, y=d і графіком функції x=g(y), повертати навколо осі Оy, то одержимо тіло обертання, чисельне значення обєму 
якого обчислюється за формулою:
Приклад
|
задає параболу з вершиною в точці 
, віссю симетрії якої є вісь 
.
Щоб знайти межі інтегрування, шукаємо ординати точок перетину ліній: 
, тоді 
, звідки 
, 
.
Зважаючи на симетрію тіла відносно осі 
, за формулою (3.13) маємо:
куб. од.
Обчислення обсягу продукції при допомозі визначеного інтеграла. Приклад.
Обсяг продукції 
U, виробленої за час від t 
до t 
, виражається визначеним інтегралом 
w(t) – продуктивність праці.
Приклад
f(t)=t 
перші дві години роботи.
Обчислення додаткового загального прибутку при допомозі визначеного інтеграла. Приклад.
Приклад
TC(Q)= 
TR(Q)= 
