Обчислення додаткового загального прибутку при допомозі визначеного інтеграла. Приклад.

Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла. Приклад.

Визначений інтеграл від неперервної функції f(x) на відрізку [a,b] дорівнює приросту її первісної функції F(x) на цьому відрізку, тобто

де F'(x)=f(x).

Схема обчислення:

1. Знаходимо будь-яку первісну функцію F(x) для підінтегральної функції f(x).

2. Обчислюємо приріст функції F(x) на проміжку [a,b].

Приклад

 

Метод підстановки обчислення визначеного інтеграла. Приклад.

При обчисленні визначених інтегралів користуються методом заміни змінної (або методом підстановки).

Нехай виконуються умови:

1) функція f(x) неперервна на відрізку [а;b];

2) функція x = (t) і її похідна х' = (t)' неперервні на відрізку [ ; ];

3) (а)=а, ()=b I t (; ):a< (t)<b.

Тоді справджується рівність

Формула називається формулою заміни змінної(або підстановки) у визначеному інтегралі.

Приклад

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Приклад.

Приклад

 

44. Обчислення площ криволінійних фігур за допомогою визначеного інтеграла. Приклад.

Якщо функція f(x) – невідємна на відрізку [а;b], то згідно з геометричним змістом визначеного інтеграла площа S криволінійної трапеції дорівнює визначеному інтегралу від функції f(x) на відрізку [а;b], тобто

Якщо функція f(x)≤0 на відрізку [а;b], то площа криволінійної трапеції виражається формулою:

Якщо криволінійна трапеція з основою [c;d] на осі Оу обмежена прямими у=с, у=d і графіком функції x=g(y)≥0 на відрізку [c;d], то чисельне значення її площі S виражається формулою:

Якщо криволінійна трапеція обмежена функцією x=g(y)≤0 на відрізку [c;d], то чисельне значення її площі S виражається формулою:

y

Приклад

y= , OX

x=0, x=3

x

 

Обчислення об’ємів тіл обертання за допомогою визначеного інтеграла. Приклад.

Якщо криволінійну трапецію з основою [a,b] на осі Ох, обмежену прямими х=а, х=b і графіком функції y=f(x), повертати навколо осі Ох, то одержимо тіло обертання, чисельне значення обєму якого обчислюється за формулою:

Якщо криволінійну трапецію з основою [c,d] на осі Оy, обмежену прямими y=c, y=d і графіком функції x=g(y), повертати навколо осі Оy, то одержимо тіло обертання, чисельне значення обєму якого обчислюється за формулою:

Приклад

Рівняння задає параболу з вершиною в точці , віссю симетрії якої є вісь .

Щоб знайти межі інтегрування, шукаємо ординати точок перетину ліній: , тоді , звідки , .

Зважаючи на симетрію тіла відносно осі , за формулою (3.13) маємо:

куб. од.

 

Обчислення обсягу продукції при допомозі визначеного інтеграла. Приклад.

Обсяг продукції U, виробленої за час від t до t , виражається визначеним інтегралом w(t) – продуктивність праці.

Приклад

f(t)=t перші дві години роботи.

 

Обчислення додаткового загального прибутку при допомозі визначеного інтеграла. Приклад.

Приклад

TC(Q)=

TR(Q)=