Інтерполяційна формула Лагранжа для рівновіддалених вузлів

ЛЕКЦІЯ № 7

ЧИСЛОВЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Особливість задачі числового диференціювання

При розв’язанні багатьох задач часто доводиться розраховувати похідну, проте в багатьох практичних застосуваннях функції задаються у вигляді таблиць, тому методи диференціального числення до дослідження таких функцій виявляються непридатними. В таких випадках застосовують методи наближення або числового диференціювання. Числове диференціювання також застосовують навіть тоді, коли похідну у зв’язку із складністю заданої функції, а отже складністю знаходження похідної від цієї функції шукати недоцільно. Це також робити недоцільно, коли вираз для похідної набуває занадто незручну для застосування форму.

При обчисленні похідної за її визначенням знаходять відношення

в деякій точці х при зменшенні величини Δ х до тих пір, поки різниця цих відношень за абсолютною величиною між двома послідовними кроками обчислень не стане менше деякого числа ε. Тоді останній результат приймають за похідну функції, розрахованій в точці х з заданою точністю ε.

Отже, якщо існує ліміт відношення при , то цей ліміт називають похідною функції в точці х ₀ і позначають , тобто

Одним із способів розв’язання задачі диференціювання є застосування інтерполяційних поліномів.

Нехай функція – це функція для якої необхідно знайти похідну в заданій точці відрізку , а – інтерполяційний поліном для , побудований на відрізку . Заміняючи інтерполяційним поліномом , отримаємо значення похідної на відрізку як значення похідної інтерполяційного полінома, тобто приймаємо наближено

Аналогічним чином можна знаходити значення похідних вищих порядків функції .

Зазначимо, що похибка інтерполювання визначається формулою

.

Це надає можливість оцінити похибку визначення похідної

Тобто похибка похідної інтерполювальної функції дорівнює похідній від похибки цієї функції.

Зазначимо також, що задача числового диференціювання є некоректною. Справа в тому, що похибка похідної інтерполяційного полінома може суттєво перевищувати похибку самої інтерполяції.

Із розгляду рис. 7.1 випливає, що навіть незначна відмінність (у тому числі і збіг) значень і ніяк не гарантує близькості значень їх похідних і . На рис. 1 відрізки прямих, позначені як і – це дотичні до кривих і , відповідно.

Розглянемо методи числового диференціювання на основі інтерполяційних поліномів Лагранжа і Ньютона.

Інтерполяційна формула Лагранжа для рівновіддалених вузлів

Застосовуючи інтерполяційний поліном для диференціювання на відрізку , доцільно будувати на цьому відрізку систему рівновіддалених вузлів , якими відрізок ділиться на n рівних частин: . У цьому випадку крок інтерполювання має значення , а інтерполяційний поліном Лагранжа (як і інтерполяційні поліноми Ньютона) будується на рівновіддалених вузлах и має більш зручний вигляд. Застосуємо підстановку

(7.1)

тоді отримаємо наступне подання формули Лагранжа

.

Враховуючи, що

і застосовуючи (7.1), послідовно знаходимо

тобто в загальному випадку

(7.2)

Застосовуючи (7.2), отримаємо

З метою скорочення записів введемо позначення

тоді вираз набуде вигляду

(7.3)

Враховуючи те, що при постійному кроці має місце

послідовно знаходимо

(7.4)

Зауважимо, що в (7.4) дорівнює n рядків (i -й рядок відсутній, причому значення різниць з перших і рядків додатна, а інших – від'ємна. Застосовуючи (7.4), отримуємо

тобто

(7.5)

З урахуванням (7.3) і (7.5) формула Лагранжа для рівновіддалених вузлів приймає вигляд:

(7.6)

Приклад. Скласти інтерполяційний поліном Лагранжа для функції, заданої своїми значеннями на рівновіддалених вузлах (n = 2, h = 1):

Таблиця 1

x
f (x)		–2

Застосовуючи формулу (7.6), матимемо:

Вузлові табличні значення функції (4; –2; 6) виходять з отриманої формули відповідно при t = 0; 1; 2.