Перспективное соответствие между плоскостью и связкой.
О – ц. связки, S(O) – связка, пл. p пр-ва, OÏp, М – произвольная т.пл. p. Какую бы т. мы не взяли, всегда найдется луч связки, прох.ч/з нее. Кажд.т. пл. соотв. луч связки.
mÎp, след.пр. m соотв. пл.связки. Кажд.пр.пл-ти p соотв. пл.связки m=[0,m];
Буд.гов.,что т.М и пр. m инцендентны пл p, если MÎm;
Буд.гов.,что луч m’ и пл. m инцендентны пл., если луч лежит в данной пл.связки.При перспективном соотв. между пл. и связкой инцидентность сохраняется. 
M 
m
m’ 
m
m1 – таких лучей бескон.мн-во.
Кажд.ли пл. связки имеет соотв.прямую на пл. p? (Нет,т.к сущ.лучи паралл.пл-ти.) Все лучи паралл.пл-ти p - особые лучи, этих ос.лучей бесчислл.мн-во для кажд.из них нет соотв.т-ки пл-ти p
Особых пл-ей – одна, в ней нет особ.лучей пл-ти p. Кажд.пл.связки содержит одну единств. Особый луч. Теор. две пл-ти m=[0,m], m’=[0,m’] тогда и только тогда пересекаются по особому лучу, когда прямые m и m’ параллельны.
Определение расширенных прямой, плоскости, пространства.
Если множество точек прямой дополнить несобственной точкой, то получим множество называемое расширенной прямой. Плоскость p, дополненная несобственной прямой m ¥ называется расширенная плоскость. Пространство, дополненное плоскостью называется расширенным Евклидовым пространством.
Модели проективной плоскости.
1)1 модель: Евкл.пр-во, оно модерниз. дополняется новыми фигурами,след.получ.новое пр-во. Если имеется связка S(O) и пл-ть p.
Перспективное соответствие (взаимнооднозначн. не явл.,т.к.например, m||p то лучу m нет соотв-щей T на пл. p. А пл-ть, содержащ. M, не имеет соотв.прямой на пл p)
Затем пытаемся эту проблему исключить. Вводят несобственную точку, мн-во несоб.т.образуют прямую, и она явл.соотв.пл-ти, проход.ч/з особую прям, паралл.пл p
2) ч/з аксиоматич.опред.: 
, 
Рассм.отображени p: ()®Е
Если оно обладает св-ми:
1. p- сюрьекция, 2. 
Е-проект.пр-во, а 1 и 2 – аксиомы проект.пр-ва.
3) 
/∆=Р(
) классы коллин.между собой вект-в - элементы Р(
)
Рассмотр.отобр. 
Р(
) соотв.взаимооднозн.
Принципы двойственности.
Малый пр-п двойственности: из всякого предл. F, отн. точек и пр-х проект. пл-ти, сформулир-го в терминах инцендентности м. пол-ть 2-ое предл-е, путем замены в 1-ом предлож.слова «точка» словом «прямая» и наоборот. Большой пр-п двойственности (для пр-ва 3х измерений, формулир. проект.пр-ва):Из всякого проективного предложения относительно точек прям. и пл-ей, проект.пр-во, сформулир.в терминах инцендентности можно получить 2-ое предл-е, справедл. вместе с 1-первым путем замены слова «точка»® «пл-ть», «пл-ть»®»точка»
Теорема Дезарга.
Если на пл-ти даны 2 треуг-ка.Если 2 тр-ка имеют центр перспективы,то они имеют и ось перспективы.
Существует и обратная теорема.
Проективное преобразование — это преобразование проективной плоскости, переводящее прямые в прямые.
Мн.проективн.преобразований образуют группу
