Группа движений (перемещений) пл-ти. Классификация движ. Приложения движений к реш.задач.

О:Пусть Х,У-произв.мн-ва. Если указано правило f, где "xÎX ставится вполне определенное y Îто говорят, что задано отображение мн-ва Х во мн-во Y.

О: Любое взаимоодн-ное отображение мн. на себя наз. преобразованием этого мн. О: Преобр-е f пл-ти, сохраняющее расст. будем наз. дв-м или перемещением.

Клас-я дв-ний:1)дв-ния 1го рода: a)1 инв-ная точка:поворот, центр.симметрия,b)инв. точек нет:парал. перенос. Поворот и пар. перенос-тождественные преобр-я.

2)дв-ния 2го рода:a)инв-х точек бескон. мнY, -во:осевая симм.b) инв-х точек нет:скол.симметрия.

Св-ва:1)дв-е сохр-ет отн-е «лежать между»

;

2) дв-е сохр-ет отн-е «трех точек каждой прямой»

Лемма: если преобр-е f сохр-ет отн-е любых трех точеккаждой прямой, тоf переводит R(O, в такой R’(O’, , что координаты точки М’=f(M) в R’ равны соответствующим координатам в R.

Т: дв-е f переводит ортонормированный R в ортон-й R’ при этом координаты точки М’=f(M) в R’ равны соответствующим координатам в R.

Пар.перенос.

R(O,

M(x,y),M’(x’,y’),

cв-ва:1) преобр-е пл-ти 2)дв-е 3) если , то пар. пер. не имеет инв-х точек. 4)прямая переходит в парал. ей прямую.

Осевая симм.

M и M’сим=ны отн-но пр. d, если 1)MM’ ^ в 2)d проходит через середину ММ’.

O: отоб-е т.M- ос. cим-я с пр. d. d-ось сим-и.

Св-ва: 1) преобр-е пл-ти 2)дв-е 3)люб. точка инв-ная.ось-прямая.бесчис. мн-во инв-х пр-х(прямые перп-ные оси сим.)прямая и ее прообраз параллельны оси сим. или перес. на оси сим.

3.поворот пл-ти. Пусть на пл-ти заданы т.О и ориент. ÐАВС

O-центр поворота, a- угол пов.,

Анал.выр-е:

x=OM cos

Cв-ва: 1) преобр-е пл-ти 2)дв-е 3) любая прямая пер-ит в прямую 4) имеет инв-ную точку 5)если a¹0 других инв-х точек нетб a=0 -тожд.преобр-е любой точки инв.

цент. симм.- поворот на угол

cв-ва:св-ва поворота+любая пр. пер-т в пар-ную ей пр., пр. прох-щая ч-з центр сим-и преобр-ся в себя.

Скол-щая сим-я

Анал.выр-е.

cв-ва: 1) преобр-е пл-ти 2)дв-е 3)всякая пр. пер-т в прямую 4)инв-х точек нет, 1 инв-ная прямая-Ох.

Группы и подгруппы дв-я:

Каждое движение плоскости сохраняет расстояние по определению. Любой вид движений имеет свои инварианты можно рассматривать группу свойств движений.

 

Теорема: Множество движений плоскости с заданной композицией является группой, причем группой аддитивности.

Теорема 2: Множество параллельных переносов плоскости есть подгруппа движений причем группа Абелева.

Теорема 3: Множество поворотов с общим центром есть подгруппа группы движений причем группа Абелева.

Пусть F – функция, аргументами и значениями которой являются точки плоскости. Запись A’ = F (A) означает, что F переводит точку A в точку A’. Функция F называется движением на плоскости, если для любых точек A и B расстояние AB равно расстоянию A’B’, где A’ = F (A) и B’ = F (B). Иначе говоря, движение сохраняет расстояния между точками.

 

Теорема. Пусть F – движение на плоскости. Тогда F принадлежит к одному из следующих типов преобразований:

I. Параллельный перенос.

II. Поворот вокруг точки на плоскости.

III. Осевая симметрия.

IV. Осевая симметрия с последующим параллельным переносом.

 

Таким образом, существует всего 4 вида движений. Точнее, их три: осевая симметрия является лишь частным случаем IV типа преобразований. Но для удобства будем всё же различать III и IV типы.

Св-е дв-й к осевым сим-м.

Т: любое дв-е можно предст. в виде произв-я не более чем 3х осевых симм.

Т1:пр-е 2-х ос-х сим-й, оси кот. парал-ны явл. парал. переносом на осям сим-и и длина кот. в 2 раза больше рас-я м-у 2 осями.

Надо показ, что -вел-на пост.

Т2:любой пар-ный перенос модно предст в виде произ-я осей сим-и (вектору переноса),рас-е между кот. =половине длины вектора переноса.

 

Т3:Пр-е 2 ос-х сим-й, оси которых пер-ся в т.О есть поворот пл-ти вокруг точки О, на угол в 2 раза больше угла м-у олсями.

Т3’: любой поворот можно разложить на произв-я 2 осевых сим-й, оси которого пер-ся в т.О, угол м-у осями= половине угла поворота.

Т4:Скол.сим-ю всегда можно предст-ть виде пр-я 3 осей сим-й.

 

Задача № 2 Построить равносторонний треугольник АВС с вершинами на трех данных параллельных прямых.

 

Решение.

 

Допустим, что треугольник построен. Тогда, при повороте вокруг точки А против часовой стрелки на угол 60 градусов точка С переходит в точку В, а прямая m3 в прямую m.

Построение:

На прямой m1 взять точку А.

Повернуть прямую m3 вокруг точки А против часовой стрелке на угол 60 градусов. Прямая m3 переходит в прямую m. Точка пересечения этих прямых есть точка В.

Выполнить поворот вокруг точки А на угол 60 градусов по часовой стрелке точку В. Полученная точка и есть точка С.

Построить треугольник АВС.

Вопрос 4.Определение преобразования плоскости.

 

Если при преобразовании фигуры F в фигуру F` расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз, то такое преобразование называется преобразованием подобия. Т.е. произвольные точки AB фигуры F переходят в точки A`B` фигуры F`, так что A`B` =k*AB. Число k – это коэффициент подобия.

Движением называется отображение плоскости на себя при которром сохранаяются все расстояния между точками.

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не ислючается и возможность k<0.

Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через .

Свойства

-Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.

-Если коэффициент гомотетии равен -1, то гомотетия является центральной симметрией.

-Как и любое преобразование подобия, гомотетия преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.

-Как и любое преобразование подобия, гомотетия сохраняет величины углов между кривыми.

- Анал.выр-е гомотетии

x’=kx+(k-1) x0 y’=ky+(k-1) y0

Т.Всякое преобразование подобия с коэфф.k можно представить в виде произведения гомотетии с тем же коэфф на движение.

Группа преобразований подобия и ее подгруппа

Существует хотя бы одна инвариантная точка

Т: мн-во всех преобразований подобия образует группу, наз.группой подобия

Подобие 1 рода образует группы: подгруппа группы преор.подобия.2 рода не образует.

Т.к. движение-частный случай преобр-я подобия. Основной инвариант:величина угла.отн-е подобия-отн-е эквив-сти. Эквив-е отн-я подобия являются подобными фигурами

Свойства подобия:

1. гомотет. c коэфф k есть преобразование подобия с коэфф |k|.

2. Всякое преобразование подобия с коэфф.k можно представить в виде произведения гомотетии с тем же коэфф на движение

Все свойства движения есть свойства подобия: отр в отр,угол в угол, луч в луч, полуплоскость в полуплоскость. Доказанная теорема позволяет установить аналитический вид преобразования подобия

.Пусть начало координат точка О центр гомотетии. .

:

: -формула преобр подобия

И обратно: эти формулы задают преобразование подобия

Если k=1получаем формулы движения

Подобие 1р, 2р, в зависимости от того, движение какого рода определяет ее ориентацию. Т: всякое преобразование подобия отличное от движ-я им. 1 и только 1 инвариантную точку

Группы и подгр.

Пусть Н мно-во всех преобразований подобия.

Т1.Множество всех преобразований подобия образует группую

Основной инвариант величина угла.

Т2.мно-во подобий 1 рода образуют группу.Основ. инвариант ориентация угла.

Т3.Преобраз 2 рода группу не образуют.

Т4.Множество гомотетии с одним и тем же центром образует группу.

Т5.Всякая группа движений и ее подгр.явл.подгр.группы подобия.

Т6.Если гомотетия с разл. центрами присоединить совокупность параллельных переносов, то такая совокуп.образует группу.

Т: всякое преобразование подобия отличное от движ-я им. 1 и только 1 инвариантную точку

В некоторых задачах на построение данные бывают двух видов: одни определяют вид фигуры, которую нужно построить, другие – ее размеры. В этом случае удобно использовать метод подобия. Построение проводится поэтапно: сначала строят фигуру, подобную искомой, потом строят по заданным размерам саму искомую фигуру.

Рассмотрим применение метода на следующей задаче

Задача 2. В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании треугольника, а две других – на его боковых сторонах.

Решение. Пусть дан треугольник АВС. Нужно вписать в него квадрат.

Анализ. Предположим, что задача решена и искомый квадрат построен. Он подобен любому квадрату, у которого две вершины лежат на стороне АС, а третья – на стороне АВ. Построив такой квадрат и выполнив преобразование гомотетии, мы решим поставленную задачу.

1. Строим произвольный квадрат Н1М1К1Т1, у которого две вершины лежат на стороне АС, а третья – на стороне АВ (пока не обращаем внимания на требование к четвертой вершине).

Из точки М1 опускаем перпендикуляр на АС, получаем отрезок М1Н1 – сторону квадрата.

На АС от точки Н1 отложим отрезок Н1Т1, равный М1Н1, получим вторую сторону квадрата.

Из точек М1 и Т1 проведем окружности радиусом М1Н1. На пересечении получим точку К1. Соединим точки, получим Н1М1К1Т1 – квадрат, у которого одна вершина не лежит на стороне треугольника.

2. Проведем луч АК1 до пересечения со стороной ВС, получим точку К.

3. Из точки К проведем прямую параллельно АС до пересечения с АВ, получим точку М.

4. Из точки К проведем прямую параллельно М1Н1 до пересечения с АС, получим точку Т; из точки М проведем прямую параллельно М1Н1 до пересечения с АС, получим точку Н.

5. Получили квадрат МКТН. Докажем, что квадрат МКТН – искомый.Доказательство.

 

Афинные преобразования

Определение. Аффинная система координат (или аффинным репером) на плоскости называется упорядоченная тройка точек этой плоскости не лежащих на одной прямой: R={О, Е1, Е2}.

Аффинное преобразование меняет и форму и размер.

Пусть на плоскости даны два аф-ых репера .

Возьмем произвольную координату изобразим точку , у которой в репере координаты такие же,как у точки в репере .

 

Преобразование плоскости,при каждая точка с координатами относительно репера отображается в точку с координатами относительно ,называется аффинным преобразованием плоскости.

Задается парой аффинных реперов.

Св-ва:

1.Множество аффинных преобразований плоскости образует группу.

2.каждая прямая при аффинном преобразовании переходит в прямую.

3.параллел прямые переходят в параллельные прямые

4.при аф.преобраз. сохраняется инцидентность точки и линии,если точка принадлежит линии, то образ точки лежит на образе линии.

5.Аф.преобраз. сохраняет отнош. Трех точек прямой

 

Если при аф преобр вектор , то вектор

Формулы аф.преобр.

Тот же рис что и выше

Определим репер в репере R

-формула аффинного преобразования

Верно иобратное,если преобраз задается данным формулами, то это аффинное преобраз.

Инвариантные точки.

 

Получим уравнение двух прямых.,если пр.пересек, то одна инвар. Точка, если прямые параллел-нет инвар. Точек,если прям совпад-бесчисл множество точек.

Т.Аф.преобр. плоскости либо не имеет инварианных точек либо имеет одну,либо бесконечное множество инвар.точек.Если аф. Преоб. Имеет прямую инвар.точек,то такое преобр назся проективно аффинным.а саму прямую называют осью родства или осью аффинитета.

аффинные преобразования образуют аффинную группу. В частности подгруппой аффинной группы преобразований является группа подобия (содержащая преобразования сдвига, поворота и изменения масштаба). В то же время аффинная группа является подгруппой общей линейной (проективной) группы, а евклидова группа является частным случаем аффинной группы преобразований.

Задача:

Часто бывает удобно при решении задач на аффинные свойства перейти с помощью аффинных преобразований к более простым фигурам, например, к правильному треугольнику. А затем с помощью обратного аффинного преобразования перенести полученный результат на искомую фигуру.

Для начала можно решить всем известную задачу о точке пересечения медиан треугольника.

Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

 

Решение (по алгоритму).

 

Пусть дан треугольник ABC. 1) Проверим аффинные свойства фигуры. Треугольник (по замечанию 1) является аффинной фигурой, быть медианой - это тоже аффинное свойство и отношения длин отрезков также сохраняется при аффинном отображении.

2) Значит, можно перейти к более удобной фигуре - равностороннему треугольнику.

3) Возьмем равносторонний треугольник . У этого треугольника медианы , пересекаются в одной точке (как высоты или биссектрисы равностороннего треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Действительно, и . А отношение из прямоугольного треугольника . Значит, .

 

4) Зададим аффинное отображение, переводящее треугольник в треугольник АВС. При этом отображении медианы треугольника переходят в медианы треугольника АВС и их точка пересечения переходит в точку пересечения их образов и она делит медианы произвольного треугольника ABC в отношении 2:1, считая от вершины.

 

5) Утверждение для произвольного треугольника доказано.