Пр-во Е3. Скалярное, векторное и смешанное произв-я вектров. Прилож-я к реш-ю задач.
Склярное про-е в-ов: Опр: Скаляр. про-ие 
и 
наз числом = про-ию длин эт. в-ов на cos угла м/у ними. 
С-ва: 1) коммутативности 
(
,то 
- скалярный квадрат в-ра)
2) 
3) 
4)Дистрибутивности 
5) Если 
Пусть задан ортонормир-й базис 
Все в-ры единичной длины и попарно ^. 
; 
; 
; 
Скаляр-ое про-ие в ортого-ом базисе- сумме произ-ий соотв. корд. 
Векторный метод решения задач шк. кур. м-ки
1)Линейные опер-и над в-ми
З.1 Дан ∆АВС т.М-сер. ВС,
З.2 Дан ∆АВС т.М-т. пересеч медиан
З.3 Дан ∆АВС т.М-т. пересеч медиан
1) Точка отраж. послед. относит. вершин паралл-мма. Д-ть, что после 4-го отраж. она займет исходное полож. ∆МРМ1: 
; ∆М1РМ2: 
; ∆М2РМ3: 
; ∆М3РМ4: 
; 
;
Ответ: 
Векторное про-ие в-ов
О: Векто-ым про-ем а на b 
наз в-р удовл. св-ам:
1) 
, 2) 
3) 
-правая тройка 
С-ва век-ого про-ия:1) Век-ое про-ие 2-х в-ов= 0,т.к эти в-ры коллинеарны
2) Если 
// 
, то 
численно =S параллеог-мма,построенного на этих в-ах
3) 
. 4) Таблица в-ых произвед. для базисных в-ов
| i | j | k | |
| i | k | -j | |
| j | -k | i | |
| k | j | -i |
5) 
, 
Д-во: λ=0 равенство очнвидно. Если 
// 
, то р-во очевидно
1.λ>0 
, длины в-ов a,b равны
Þ 
в-ры равны
2.l<0 
т.к 
и 
противоположны
6) С-во дистрибутивности: 
; 
7)Выражение векторного произ-ия через коородинты
Площадь тре-ка: A1,A2,A3 A1(x1,y1,z1)
S A1,A2,A3= 
Смешанное произ-ие в-ов
Способы произ-ия:
1) 
-скалярно 2) 
-двойное век-ое приз-ие 3) 
-смешанное произ-ие 3-х в-ов(число)
-скалярное произ-ие вектор-ого произ-ия 1-х 2-х в-в на 3-й
С-ва: 1) Теорема: Для того чтобы 3 в-ра a,b,c были комплонарны(л.з.)Ûчтобы их смеш-ое произ-ие было=0
2) Теорема: Смешан-ое приз-ие 3-х некомплонарных в-ов численно=объему параллепипеда,построенного на этих в-ах
3) 
4) Дистрибутивность: 
5) 
, 
, 
i=1,2,3
,
,
(
, 
)= 
Объем тетраэдра: 
, A1,A2,A3,A4 Ai(xi,yi,zi),i=1,2,3,4
Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
Рассм. в пр-ве некот. пл. s. Мн. L всех вект-в, парал-х пл-ть s, явл-ся двумерным вект-м подпр-вом трёхмерного ВП V. Подпр-во L назовём направляющим подпр-вом пл-ти s. Пусть 
и 
- к.-либо пара лин. независ. вект. из L. Векторы 
и 
обр-т базис подпр. L, т.е. L явл.подпр, натянутым на векторы 
и : L = L (
; ). Т. о., направляющее подпр. 
= L (; 
) пл. s м. считать известным, если даны к.-либо 2 неколлинеарных в-ра и 
, парал-ые этой пл-ти. На пл. s с направляющим подпр. L (; ) возьмём некот.точку M0. Точка М лежит на пл. s т.и т.т.,к. в-ры 
, , компланарны и, след-но, когда их смешан-е произвед. =0: 
(1*). Запишем ур-е пл. s заданной разл-ми способами. Ур-е пл-ти, заданной точкой и направляющим подпр-вом:
Задача 1: В аффинной СК заданы своими коорд-ми точки M0(x0,y0,z0) и 2 неколлинеарных в-ра: (a1,a2,a3) и (b1,b2,b3). Написать ур-е пл. s, проходящей ч.з. точку 
и имеющей направляющее подпр. L (
; 
). │ 
│=0 (2*). Если т.М принадл. пл. s, то имеет место рав-во (1*) и значит корд-ты x,y,z точки M удовл. ур-ю (2*). Если же т. М не лежит в пл. s, то векторы 
, , не компланарны, поэт. не вып. рав-во (1*) и след-но корд-ты x,y,z точки M не удовлетв. ур-ю (2*). Т. о., ур-е (2*) есть ур-е пл-ти s… Уравнение пл-ти, заданной тремя точками:
Задача 2: Написать ур-е пл-ти, проходящей ч.з. три не лежащие на одной прямой точки: M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) заданные своими коорд-ми в некот.аффинной сист.коорд.
│=0.(3*)
Ур-е пл-ти, заданной точкой и перпендикулярным вектором.
Говорят, что вектор 
перпендикулярен пл-т s, если 
перпендикулярен любому вектору из напр-го подпр-ва пл-ти s.
Задача 3: В прямоуг.сист.коорд.заданы своими корд-ми т. M0(x0,y0,z0) и нулевой вектор 
(A,B,C). Написать ур-е пл-т s, проходящей ч.з.т.М0 перпендик-но вектору 
.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (4*) – это и есть ур-е пл-ти, проходящей ч.з. данную точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору 
(A,B,C).
Параметрические уравнения плоскости:
Зададим в пр-ве аффинную сист.коорд. Пусть пл-ть s проходит ч.з.данную т. M0(x0,y0,z0) и имеет направляющее подпр-во L (; ) с базисом 
, 
. Точка M(x,y,z) принадлежит пл-ти s т. и т.т,к. имеет место рав-во (*) (векторы , 
, 
компланарны), т.е. когда найдутся такие числа u, v, что 
= 
+v (5*) Следовательно, точка М принадлежит пл-ти s т. и т.т,к. выполняется рав-во (5*). Вектор 
имеет корд. 
(x-x0,y-y0,z-z0), поэтому усл-е (5*) запишется в виде системы равенств:
x-x0=ua1+vb1, y-y0= ua2+vb2, z-z0= ua3+vb3 (6*). Эти рав-ва называются параметрическими ур-ми пл-т s, а u и v – параметрами.
Общее ур-е пл-ти:
Любую плоскость в пр-ве можно задать принадл.ей точкой и направляющим подпр-вом. Тогда в заданной аффинной сист.коорд. получим ур-е этой пл-ти в виде ур-я │ 
│=0 (2*). Раскрывая по элементам первого столбца определитель, находящийся в левой части ур-я, получим ур-е пл-ти в виде: Ax+By+Cz+D=0 (1), где А= 
, B=- 
, C= 
, D=-(Ax0+By0+Cz0). Т.к. векторы и 
не коллинеарны, то в ур-и (1) коэф-ты А, В и С не равны нулю одноврем-но, и, значит, ур-е (2*) – ур-е первой степени. Это утв.можно выразить словами: любая плоскость есть поверхность первого порядка.
Теорема: Пов-ть в пр-ве, заданная в аффинной СК ур-ем 1й ст.(1), есть пл-ть. При эт. в-ры 
(0, -С, В), (-О, 0, А), 
(-В,А,0) принадлежат направляющему подпр. эт. пл. и к.-либо 2 из них обр-ют базис этого подпр.. Ур-е Ax+By+Cz+D=0 (1), наз. общим уравнением плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей:
Пусть в некот. аффинной СК даны пл. 
своими ур-ми: 
: А1x+В1y+C1z+D1=0 (3), 
= А2x+В2y+C2z+D2=0(4).
Т.к. координаты кажд. общ. точки пл-ей явл.я реш-ем сист. уравн.(3) и (4) и обратно, то вопрос о взаимном распол-и 2х плоскостей 
сводится к исслед-ю СЛУ (3) и (4).
Обозначим r и r’ соотв-но ранги матриц: (
) и (добавл D1 D2), ясно, что r≤r’, причём по теореме Кронекера-Капелли система уравнений (3) и (4) совместна т.и т.т, к. r=r’. Таким образом пл. имеют хотя бы 1 общ. точку т. и т.т.,к. r=r’.
Возможны случаи: 1)r’=1. Это означает, что коэф-ты A1, B1, C1, D1 уравнения (3) пропорциональны коэф-там A2, B2, C3, D4 уравнения (4) (поэтому r=1) и уравнения (3) и (4) равносильны. Отсюда заключаем, что каждая точка одной из плоскостей 
и 
принадлежит другой плоскости, и поэтому плоскости и 
совпадают. Это надо понимать так: 2 уравн-я (3) и (4) опр-ют 1 и ту же плоскость. 2)r’=2, r=2. Тогда пл.и 
и 
различны (они не могут совпасть, т.к. r’>1) и имеют хотя бы одну общ. точку, поэтому они пересекаются по прямой. 3) r’=2, r=1. Сист. ур-й (3) и (4) несовместна, поэт. плоск. 
и 
не имеют общ. точек, т.е. параллельны.
Уравнение прямой в пр-ве: Пусть d – прямая в пр-ве. Люб. ненулевой вектор, параллельный эт. прямой, наз. её направляющим вектором. Ясно, что пр. имеет бесконечное мн. направляющих вект-в, любые 2 из кот. коллинеарны. Все эти векторы, вместе с нулевым вект-м, обр. одномерное векторное подпр., кот. наз. направляющим подпр-вом прямой d. Полож-е прямой d в пр-ве опр-ся полностью, если даны: а) направл.вектор пр. d и некот.её точка; б) 2 точки прямой; в) 2 пл-ти, пересек-ся по пр. d.
Канонические ур-я прямой: Пусть в пр-ве выбрана аффинная СК и в этой сист.известны коорд-ты некот.т. M0(x0,y0,z0) и корд.напр-го вектора 
прям. d. Напишем ур-я этой прямой. Сначала рассмотрим тот случай, когда ни 1 из коорд.вектора 
не =0. Очевидно т. M(x,y,z) лежит на прям. d т.и т.т,к.векторы 
и 
коллинеарны. Вект. 
им. корд-ты (x-x0,y-y0,z-z0), поэтому усл-е коллинеарности векторов 
и 
запишется так: 
(1^). Эти рав-ва явл. ур-ми прямой d.
Если одна из корд.вектора =0, например: p3=0, p1≠0, p2≠0, то усл-е коллин-сти векторов 
и 
запишется так: 
, 
(2^). Анал-но, если =0 две коорд-ты вектора , например: p2= p3=0, p1≠0, то получаем: 
, 
(3^).
В этом случае прямая d паралл.оси Ox (если хоть одно из чисе y0, z0отлично от нуля) или совпадает с осью Ox (если y0=z0=0). Ур-я (1^), (2^), (3^) – канонические уравнения прямой.
Ур-я прямой, заданной двумя точками:
Пусть в пр-ве выбрана аффинная сист.коорд. и в этой сист.известны коорд-ты двух точек M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) прямой d. Тогда вектор 
явл. направляющим вект. эт. прямой. Т.к.вектор 
им. коорд-ты (x2-x1, y2-y1, z2-z1), то канонические ур-я пр. d при x2-x1≠0, y2-y1≠0, z2-z1≠0 согласно ф-ле (1^) имеют вид: 
(4^). Если 1 из коорд-т вектора 
или 2 его коорд-ты =0, то для получения канонических ур-ий прямой следует восп-ся формулами (2^) и (3^).
Ур-е прямой, заданной двумя плоскостями: Пусть пр.d явл. линией пересечения пл-й s1 и s2, кот. в аффинной СК заданы ур-ми: A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0 (5^). Точка M(x,y,z) лежит на пр. d т. и т.т,к. её коорд-ты явл.реш-м сист.ур. (5^), поэт. эта сист. и явл. ур-ми прямой d.
Лемма: Если в аффинной сист.коорд.прямая задана ур-ми (5^), то вектор 
(
) является напр-щим вектором этой прямой.
Параметрические уравнения прямой:
Выберем какую-нибудь аффинную СК и зададим пр. d направляющим вектором 
и т. M0(x0,y0,z0). Т. M(x,y,z) пр-ва лежит на пр. d т.и т.т,к. векторы и 
коллинеарны, т.е. когда сущ. такое число t, что 
= 
. Это соотн. в коорд-ах запишется так: x-x0=tp1, y-y0=tp2, z-z0=tp3 или x=x0+tp1, y=y0+tp2, z=z0+tp3 (7^)– эти рав. наз.параметрическими ур. прямой, а t – параметром. Их смысл закл. в след-м: для любого действит. числа t точка с корд. (x,y,z), удовлетв. усл-ям (7^), лежит на пр. d. Обратно, если (x,y,z) – точка пр. d, то всегда найдётся такое t, что x, y и z выр-ся ч/з x0, y0, z0, p1, p2, p3 при пом. равенств (7^). Взаимное расположение прямых:
Пусть в пр-ве даны: прямая d1 – точкой М1 и направляющим в-ом 
и пр. d2 – т-й М2 и направляющим вект. 
. По векторам 
, 
, 
м. опр-ть взаимное расп-е прямых. Прямые d1, d2 лежат в 1ой пл-оскости тогда и только тогда, когда векторы 
, , 
компланарны и, значит, им. место рав-во 
(*)
1) Прямые скрещиваются. 2 прямые наз. скрещивающимися, если они лежат в 1ой пл-ти (т.е. не сущ-ет плоскости, содержащей каждую из этих прямых). След-но, для того, чтобы дан-е пр. d1 и d2 были скрещ-ся, необх.и дост, чтобы для них имело место рав-во 
.
2) Прямые пересекаются. Прямые d1 и d2 перес-ся т.и т.т.,к. 
и векторы 
и 
не коллинеарны.
3) Прямые параллельны. Пр-е d1 и d2 параллельны т.и т.т,к. в-ры и 
коллинеарны, но векторы 
и не коллинеарны.;4) Прямые совпадают. Пр-е d1 и d2 совпадают т.и т.т,к. вект. , 
и 
попарно коллинеарны. Взаимное расположение прямой и плоскости:
Пусть в пр. дана пр. d точкой M0(x0, y0, z0) и напрвляющим вект. 
, а пл. s- общим ур. Ax+By+Cz+D=0, в аффинной СК. Возможны след.случаи их взаимного расположения:
1) Прямая и пл-ть пересекаются, т.е. имеют одну общую точку. Прямая d пересекает плоскость s тогда и только тогда, когда направляющий вектор 
пр. d не параллелен пл. s, т.е. когда Аp1+Bp2+Cp3≠0. Чтобы найти коорд. точки пересеч. пр. и пл-ти, н. решить сист, состоящую из ур-й прямой и ур-й пл-ти. 2) Прямая параллельна плоскости. Прямая d параллельна плоскости sт.и т.т.,к. вектор 
параллелен плоскости sи точка М0 не лежит в этой пл-ти. Итак, соотношения 
выражают необходимое и достаточное условие того, что прямая d параллельна плоскост s. 3) Прямая лежит в плоскости. Анал-но, пр. d лежит в пл. s тогда и только тогда, когда вып. рав-а: 
.
