Экономический смысл производной.
Предельные и средние показатели.
При изучении экономических процессов выполняется расчет средних и предельных значений функций, выражающих зависимости между различными экономическими факторами.
Средняя величина показателя вычисляется как отношение значения определяющей его функции к соответствующему значению аргумента. Например, пусть функция 
выражает зависимость издержек производства y от объема выпускаемой продукции x. Тогда функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле:
.
(Для обозначения средних величин к обычному обозначению величин добавляется буква А).
Под предельным (маржинальным) значением показателя в экономическом анализе принято понимать производную функции этого показателя (если эта функция непрерывна). Так, в нашем примере предельные издержки производства:
.
(Для обозначения предельных величин к обычному обозначению добавляется буква М). Если функция показателя дискретна, то под предельной (маржинальной) величиной понимают отношение изменения функции к вызвавшему это изменение приращению независимой переменной.
Предельные величины характеризуют процесс изменения экономического объекта по времени или относительно некоторого фактора. Они выражают прирост соответствующего показателя в расчете на единицу прироста определяющего его фактора. Так, предельные издержки характеризуют приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.
Аналогично могут быть определены другие предельные показатели: предельная выручка, предельная себестоимость, предельная производительность, предельный доход, предельный спрос и др.
Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических процессов и объектов на основе анализа предельных величин называется предельным анализом.
Пример. Зависимость между издержками С и объемом выпуска продукции q определяется функцией: 
. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 300 ед.
Решение. Функция средних издержек на единицу продукции имеет вид:
.
Предельные издержки определяются по формуле:
.
Таким образом, при заданном объеме производства продукции q =300 ед. средние издержки составляют 7500 ден.ед., а предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции составляют 15000 ден.ед.
Задача о производительности труда.
Пусть функция 
выражает количество произведенной продукции u за время t. Тогда производительность труда 
можно определить как предельное значение средней производительности труда при 
, т.е. как производную функции 
:
. (1)
Пример. Объем продукции, произведенной цехом может быть описан уравнением 
, где 
- рабочее время (ч). Вычислить производительность труда и скорость ее изменения при t =2 и t =5
Решение. Производительность труда найдем по формуле (1):
(ед/ч).
Скорость изменения производительности труда вычислим как ее производную: 
(
).
Тогда в заданные моменты времени имеем:
(ед/ч), 
().
(ед/ч), 
().
Таким образом, производительность труда к концу рабочего дня снижается. При этом изменение знака 
свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.
Эластичность функции.
Эластичностью непрерывной функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:
.
Эластичность может быть выражена в виде отношения предельной и средней величин: 
.
Эластичность функции – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины x и y. Она показывает приближенно на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на 1%.
Свойства эластичности:
1. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:
,
.
2. Эластичности взаимнообратных функций – взаимно обратные величины:
.
3. если с – постоянная, то 
; 
.
Эластичность спроса.
Рассмотрим функцию спроса: зависимость количества покупаемого товара q от его цены p: q=q(p). Эластичность спроса по цене определяется по формуле: 
. (2)
Если 
>1, спрос называют эластичным. Небольшое изменение цены товара вызывает значительное изменение величины спроса на него.
Если 0< <1, спрос называют неэластичным. Изменение цены ведет к сравнительно небольшому изменению величины спроса.
Если =1, спрос называют нейтральным.
Исследуем динамику выручки при различных видах спроса.
Выручка от продажи товара по цене p составляет 
. Предельная выручка равна:
.
Заметим, что поскольку функция спроса является убывающей, ее производная 
<0. Поэтому и 
<0.
Следовательно:
- если спрос эластичен, то с повышением цены выручка от продажи снижается (для повышения выручки продавцам выгодно понижать цену);
- при нейтральном спросе выручка практически не зависит от цены;
- при неэластичном спросе повышение цены приводит к росту выручки (продавцам выгодно повышать цену).
Пример 1. Зависимость спроса q от цены единицы продукции p задается соотношением: 
. Найти эластичность спроса. При каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным, неэластичным.
Решение. По формуле (2) найдем эластичность спроса:
.
Учитывая, что p и q должны быть положительными,
>0,
p <576.
Спрос нейтрален, если 
. Найдем решение этого уравнения: p =256.
При 0< p <256 спрос неэластичен. При увеличении цены выручка будет расти.
При 256< p <576 спрос эластичен. Повышение цены для этих значений p не целесообразно. Если же цену снизить, то выручка от реализации будет расти за счет увеличения спроса.
Пример 2. Пусть функция спроса имеет вид: 
.
а) Найти эластичность спроса при цене, равной 10 ед.
б) Определить, как изменится выручка от реализации, если цену увеличить на 3%.
Решение. а) По формуле (2) эластичность спроса:
.
При 
показатель эластичности 
. Таким образом, при цене 10 ед. увеличение ее на 1% приведет к снижению спроса на 0,97%.
Спрос неэластичен, следовательно, увеличение цены приведет к росту выручки.
б) При цена увеличилась на 3%, т.е. стала равной 
.
Тогда спрос изменится на 
%, т.е. станет равным 
.
Выручка составит 
. Это означает, что выручка возросла приблизительно на 0,0027%.
