Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
Даны три точки
,
не лежащие на одной прямой. Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку 
, то ее уравнение имеет вид
, (9)
где 
, 
, 
одновременно не равны нулю. Так как она проходит еще через точки 
, 
, то должны выполняться условия:
(10)
Составим однородную линейную систему уравнений относительно неизвестных 
, 
, 
:
(11)
Здесь 
есть произвольная точка, удовлетворяющая уравнению плоскости (9). В силу (9) и (10) системе (11) удовлетворяет нетривиальный вектор 
, поэтому определитель этой системы равен нулю
.
Мы получили уравнение вида (9), т. е. уравнение плоскости, в чем легко убедиться, разложив полученный определитель по элементам первой строки. При этом эта плоскость проходит через точки , , , что вытекает из свойств определителя. Наша задача решена.
Уравнение (12) можно еще написать и в следующем виде:
. (13)
Если из первой, третьей и четвертой строк определителя в (13) вычесть вторую строку, то он не изменится. Разлагая результат по элементам четвертого столбца, получим уравнение (12).
17. уравнение плоскости «в отрезках на осях»
Вектор 
=(A;B;C) называется нормальным вектором (или просто нормалью) для плоскости, заданной общим уравнением (1).
Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из самого вывода уравнения плоскости.
Рассмотрим плоскость 3 x + 2 y + z – 6 = 0. Пусть A – точка пересечения этой плоскости с осью Ox, то есть A (2; 0; 0). Точка B (0; 3; 0) – это точка пересечения данной плоскости с осью Oy, точка C (0; 0; 6) – с осью Oz (чертеж 9.7.1). Уравнение 
называется уравнением плоскости в отрезках на осях
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением ax+by+cz+d=0, то расстояние 
от точки M (
до этой плоскости можно вычислить по формуле
= 
*
Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве L проходит через точку M (
, и || 
– текущей точке прямой, тогда 
= (x- 
|| 
=> канонические уравнения 
Параметрическое уравнение 
.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами 
и 
. Так как 
, то по формуле для косинуса угла между векторами получим
.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов 
и :
