Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми в пространстве.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Даны три точки

,

не лежащие на одной прямой. Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку , то ее уравнение имеет вид

, (9)

где , , одновременно не равны нулю. Так как она проходит еще через точки , , то должны выполняться условия:

(10)

Составим однородную линейную систему уравнений относительно неизвестных , , :

(11)

Здесь есть произвольная точка, удовлетворяющая уравнению плоскости (9). В силу (9) и (10) системе (11) удовлетворяет нетривиальный вектор , поэтому определитель этой системы равен нулю

.

Мы получили уравнение вида (9), т. е. уравнение плоскости, в чем легко убедиться, разложив полученный определитель по элементам первой строки. При этом эта плоскость проходит через точки , , , что вытекает из свойств определителя. Наша задача решена.

Уравнение (12) можно еще написать и в следующем виде:

. (13)

Если из первой, третьей и четвертой строк определителя в (13) вычесть вторую строку, то он не изменится. Разлагая результат по элементам четвертого столбца, получим уравнение (12).

17. уравнение плоскости «в отрезках на осях»

Вектор =(A;B;C) называется нормальным вектором (или просто нормалью) для плоскости, заданной общим уравнением (1).

Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из самого вывода уравнения плоскости.

Рассмотрим плоскость 3 x + 2 y + z – 6 = 0. Пусть A – точка пересечения этой плоскости с осью Ox, то есть A (2; 0; 0). Точка B (0; 3; 0) – это точка пересечения данной плоскости с осью Oy, точка C (0; 0; 6) – с осью Oz (чертеж 9.7.1). Уравнение называется уравнением плоскости в отрезках на осях

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением ax+by+cz+d=0, то расстояние от точки M ( до этой плоскости можно вычислить по формуле
= *

 

Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве L проходит через точку M (, и || – текущей точке прямой, тогда = (x- || => канонические уравнения

Параметрическое уравнение .

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и :