Нахождение экстремальных точек ф-ии

 

25) Наибольшее и наименьшее значение ф-ии на отрезки

 

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

 

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

 

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

· Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.

· Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.

· Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

 

 

26) Выпуклость и вогнутость ф-ии в точке перегиба

Если производная f ' (x) функции f (x) дифференцируема в точке (x₀), то её производная называется второй производной функции f (x) в точке (x₀), и обозначается f '' (x₀).

Функция f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x₀, f (x₀)), x₀ (a, b).

Функция f (x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x₀, f (x₀)), x₀ (a, b).

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x₀ существует вторая производная f '' (x₀), то f '' (x₀) = 0.

 

27) Схемы исследования ф-ий с помощью производной

Точки, в которых производная становится равной нулю, являются критическими точками.

 

Если ƒ(х₀) = 0 и нашлось такое число k, что все точки интервала (х₀ – k; х₀ + k) принадлежат области определения функции и для каждого х ≠ х₀ из этого интервала ƒ(х) > ƒ(х₀), то точка х₀ называется точкой минимума функции ƒ(х). Если же для каждого х ≠ х₀ из интервала (х₀ – k; х₀ + k) выполняется неравенство ƒ(х) < ƒ(х₀), то точка х₀ называется точкой максимума функции ƒ(х). Точки минимума и максимума называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках — минимум и максимумом.

 

Если ƒ(х) > 0 во всех точках некоторого интервала, то функция возрастает на этом интервале. Если ƒ(х) < 0 во всех точках некоторого интервала, то функция убывает на этом интервале.

 

Если ƒ(х) — некоторая функция, ƒ(х) производная этой функции и ƒ(х0) = 0, то это ещё не означает, что в точке х₀, функция имеет максимум и минимум.

 

 

28) Неопределенный интеграл

 

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом

 

Свойства неопределённого интеграла:

·

· или

Таблица неопределённых интегралов.