Основные характеристики ф-ий

Четность и нечетность

Функция называется четной, если

· область определения функции симметрична относительно нуля

· для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если

· область определения функции симметрична относительно нуля

· для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁)< f(x₂).

Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁) > f(x₂).

Экстремумы

Точка Х_max называется точкой максимума функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности Х_max, выполнено неравенство f(х) f(X_max)

Значение Y_max=f(X_max) называется максимумом этой функции.

Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х₁,Х₂,Х₃ – нули функции y = f(x).

15) Последовательность и ее св-ва

Последовательность — это набор элементов некоторого множества:

· для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;

· это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;

· для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Свойства

· Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

· Для всякой подпоследовательности верно, что

· Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

· Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

· Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

· Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

· Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

16) Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

· Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

· Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

· Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

17) Предел ф-ии. Св-ва пределов

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции обозначается как f(x) ->a, при x->a или через символ предела