Операции над матрицами
Сложение
Суммой двух матриц называется матрица такая, что
Свойства операции сложения матриц
· А + В = В + А (коммутативность)
· (А + В)+С = А + (В + С)(ассоциативность)
Умножение на число
Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что
Свойства операции умножения матрицы на число
· (дистрибутивность относительно сложения матриц)
· (дистрибутивность относительно сложения чисел)
· (ассоциативность)
Произведение матриц
умножение двух матриц возможно только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Свойства операции умножения матриц
· (ассоциативность)
· (дистрибутивность)
· (дистрибутивность)
2) Определитель матрицы
Определителем квадратной матрицы А= 
называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
det A = 
3) Обратные матрицы
Обратная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: 
4) Алгоритм нахождения матрицы
НЕТУ (((
5) Системы линейных алгебраических уравнений
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида:
Совместная система вида называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
6) Основные понятия систем линейных уравнений
Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1, k2,..., kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2,..., xn дает верное числовое равенство.
7) Метод Крамера. Решение систем линейных уравнений
Метод Крамера (формулы Крамера) — способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю.
Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)
с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
8) Метод Гауса. Решение систем линейных уравнений
Метод Гаусса представляет собой обобщение способа подстановки и состоит в последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным.
Приведение матрицы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход начинается с решения последнего уравнения и заканчивается определением первого неизвестного.
Совокупность проведенных действий называется прямым ходом метода Гаусса.
9) Понятие вектора. Операции над векторами
Вектор — это элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нём, которые подчиняются восьми аксиомам)
Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c - его диагональю
Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и |a| = |b|
Разностью векторов a и b называется сумма a+(-b)
Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием:
· |b|=|a|*|a|;
· вектор b коллинеарен вектору a;
· векторы b и a направлены одинаково, если a>0, и противоположно, если a<0;
10) Вектора в прямоугольной декартовой системе координат
Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.
Координаты вектора - коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
11) Уравнение прямой на плоскости
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 = 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору 
(3, -1)
Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.
Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
12) Линии второго порядка
Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени
a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*)
Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно, нераспадающиеся линии:
— эллипсы,
— гиперболы,
y2 = 2px — параболы,
— мнимые эллипсы распадающиеся линии:
— пары пересекающихся прямых,
— пары мнимых пересекающихся прямых,
x2 - а2 = 0 — пары параллельных прямых,
x2 + а2 = 0 — пары мнимых параллельных прямых,
x2 = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.
13) Ф-ия. Способы задание ф-ии. Область определения и область значения
Функция — закон зависимости одной величины от другой
Наиболее употребительны три методы:
· табличный,
· графический,
· аналитический.
Табличный способ - общеизвестен (таблицы логарифмов, квадратных корней и т. д.). Он сразу дает числовое значение функции. В этом его преимущество перед другими способами. Недостатки: таблица трудно обозрима в целом; она часто не содержит всех нужных значений аргумента
Графический способ состоит в построении линии (графика) в разных системах координат, например в Декартовой – абсциссы (по горизонтали) изображают значения аргумента, а ординаты (по вертикали) - соответствующие значения функции. Часто бывает, что функция быстро стремится вверх или вниз, поэтом тогда удобнее масштабы на осях брать разными.
Преимущества графического способа — легкость обозрения в целом и непрерывность изменения аргумента; недостатки: ограниченная степень точности и утомительность прочитывания значений функции с максимально возможной точностью.
Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами, например,
y=f(x)
Если зависимость между х и у выражена уравнением, разрешенным относительно у, то величина у называется явной функцией аргумента х, в противном случае — неявной. Преимущество здесь в том, что всегда можно вычислить точно значение для любого аргумента. Недостатки, что по самой формуле сложно понять общее поведение функции.
