Теорема (свойства бесконечно малых последовательностей)

1.

Множество-совокупность элементов одной природы, объединенных во множество по какому-либо признаку

Пример множества: А,В,С или Х,У

х Х

Элементы множества- то, что составляет множество

Пример элементов множества: а в с или х у

2.

Конечное множество (если оно не пусто) есть такое множество, элементы которого можно "пересчитать", т. е. перенумеровать так: a₁, a₂,..., a_n, причем все элементы будут занумерованы, все числа от 1 до n будут использованы и различные элементы получат различные номера. Бесконечное же множество такое, элементы которого так "пересчитать" нельзя.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Например, множество всех действительных корней уравнения

 

есть пустое множество. Пустое множество обозначается через .

3.

Свойства операции объединения.
Справедливы следующие равенства:
1. A∪B = B∪A (коммутативность);
2. (А∪B) ∪C = А (B∪C) (ассоциативность);
3. Если A⊇B, то А∪В= А;
4. Объединение А и пустого множества равно А.

Свойства операции пересечения множеств.
Справедливы следующие равенства:
1. A∩B = B∩A (коммутативность);
2. (A∩В)∩С = А∩(В∩С) (ассоциативность);
3. Если A⊇B, то А∩B = В;
4. А∩Ø=Ø.

4.

Прямым произведением ¹⁾, или декартовым произведением ²⁾ множеств и называется множество всех упорядоченных пар таких, что и . При этом используют следующее обозначение:

 

5.

Пусть даны два множества X и Y, и пусть - подмножество их декартова произведения. Тогда тройка (X,Y,R) называется бинарным отношением между X и Y. Утверждение обычно записывается в виде xRy и читается "x соотносится с y." Если то пишут или

 

6.

Любое подмножество прямого произведения 2 множеств называется функцией.

 

7.

Элементарные функции, класс функций, состоящий из многочленов,рациональных функций, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, а также функций, получающихся из перечисленных выше с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций (образованиесложной функции), примененных конечное число раз; например

y = xa = ea ln x;

 

8.

Пусть имеются две функции: z = h (y) и y = g (x), причем область значений функции g принадлежит области определения функции h. Тогда функция z = h (g (x)) называется композицией функций h и g, или сложной функцией, или суперпозицией функций.

 

9.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f (x), x О N,где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n)или y 1, y 2,…, y_n,…. Значения y 1, y 2, y 3,…называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

 

 

10.

Бесконечно малая последовательность — последовательность, предел которой равен 0. То есть lim_n ® ¥ x_n = 0

11.

" e>0 $ N: " n>N |x_n| < e Þ x_n.

(для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству )

Пример: Последовательность x_n = 1/n

 

12.

Теорема (свойства бесконечно малых последовательностей)

1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
2. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Следствие Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

 

13.

x_n – бесконечно большая последовательность, если " c>0 $ N: " n>N |x_n|>c.

Пример: Последовательности n, 2ⁿ являются бесконечно большими.

 

14.?

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

 

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

15.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x_n, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|а_n - a| < ε.

16.

Число называется пределом последовательности , если:

)

 

17.

Последовательность называется финально постоянной, если$ AÎ R и $ N, что для всех n>N x_n = A.

Теорема (свойства предела последовательности)

1. Финально постоянная последовательность сходится.
2. Если последовательность сходится, то предел единственен.
3. Сходящаяся последовательность ограничена.

18.

Выясним геометрический смысл понятия предела последовательности. Расположим члены последовательности x₁,x₂,..., x_n,... на числовой прямой. Неравенство |x_n-A|<e равносильно следующему A- e < x_n < A + e, которое говорит о том, что члены последовательности x_n попадают в e - окрестность точки A (рис.13). Вне этой e -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.