Интерполяция таблиц смертности для дробных возрастов. Линейный подход.

Основные отличия страхования жизни и страхования иного, чем страхование жизни (не-жизни).

Отличия:

1. По страхованию жизни компания выплачивает обычно раз (за исключением текущих видов договоров), в рисковых видах страхования выплаты обычно могут осуществляется неоднократно.

2. В страховании жизни размер выплат определяется условиями договора, и страховщик заранее знает величину потерь в случае наступление страхового случая. В рисковых видах страхования размер ущерба является случайной величиной.

3. Статистическая оценка задач гораздо сложнее в страховании ином, чем страхование жизни.

4. Риски договора страхования нежизни в отличие от страхование жизни, имеющие как правило долгосрочный характер, заключаются обычно на 1 год.

5. Страхователь заключает договор рискового страхования, значительно сложнее разделить на априорные однородные, чем в договоре страхование жизни, где классификация осуществляется по полу, возрасту и составу договора страхования.

6. Премии в страховании жизни можно разделить на рисковую и накопительную компоненту, создающую возможность инвестирования средств, в то время как рисковые виды страхования имеют доходность в гораздо меньшем масштабе и только за счет разрыва по времени сбора премий и выплат по наступившим убыткам.

2. Страхование жизни – что такое, особенности, цели.

Страхование жизни – предоставление страховщиком в обмен на уплату страховых премий гарантий выплатить определенную сумму денег (страх-ю сумму) страхователю или указанным им третьим лицом в случае наступления определенных событий в жизни застрахованного: болезни, инвалидности, смерти или его дожития до определенного возраста.

Бенефициар (ий) –выгодоприобретатель – лицо, которому предназначен денежный платеж; лицо не являющиеся страхователем, но обладающее правом на получение страховых выплат в случае смерти держателя страхового полюса.

Особенности:

- объект страховой защиты – жизнь человека – не имеет стоимости.

- меняет свое содержание признак чрезвычайности, отличающий категорию страхования. Если такое событие, как наступление смерти, сохраняет чрезвычайный характер, то факт дожития застрахованного до окончания строка страхования или оговоренного события нельзя отнести к чрезвычайному событию.

- договор страхования жизни является долгосрочным (не менее 1 года), поэтому сочетает в себе не только рисковую, но и сберегающую функцию.

 

Цели:

 

Имущественного характера

 

1) Защита семьи при потере кормильца

2) Обеспечение в случае потери трудоспособности

3) Обеспечение пенсии в старости

4) Накопление средств детям при достижению совершеннолетия

5) Оплата ритуальных услуг

Финансового характера

 

1) Накоплетельные, связанные с инвестированием

2) Защита частного капитала на случай смерти партнера по бизнесу или руководства

3) Защита наследства

 

 

Построение таблиц смертности. Основные понятия и показатели.

 

Таблица смертности (продолжительности смерти) –систематизированный набор статистических данных о продолжительности жизни населения данной страны или выделенной группы.

Выделяют группы по:

- полу

- региону

- профессии

Т. Д.

В полных табл-ах смертности показатели даны по возрастам с интервалом в 1 год. В кратких с интервалом 5-10 лет.

 

l_x – число доживших до возраста х лет

d_x – число умерших в возрасте х лет.

q_x – вероятность умереть в возрасте х лет.

l_x – l_x+1 = d_x

l_x – l_x+n = d_x+ d_x+1+ d_x+2+…+ d_x+n-1

 

_n d_x – число лиц возраста х лет умерших в течении последних n лет.

p_x – вероятность лица в возрасте х лет прожить еще 1 год.

_np_x - вероятность лица в возрасте х лет прожить еще n лет

_nq_x - вероятность лица в возрасте х лет умереть в течение n лет

 

 

_n/mq_x – вероятность для лица в возрасте х лет умереть в промежутки мужду (x+m) и (x+m+n) годами.

4. Функция дожития – безусловная и условная. Её связь с другими демографическими функциями.

Функция дожития – непрерывная функция возраста S(x), означающая долю лиц доживших до возраста Х.

 

S(x) – вероятность для наугад выбранного лица из данной совокупности родившихся дожить до возраста x.

T – Продолжительность жизни для такого лица.

Безусловная вероятность:

S(x)=Pr [T≥x]

 

Если через T_x обозначить остаточную продолжительность жизни для наугад выбранного лица возраста х, т.е. время, котороые это лицо еще проживет, достигнув возраста х, то число

S_х (t) =P(Т_х ≥ t)

Будет обозначать условную вероятность

_t p_x =Pr(Т ≥ х+t/ Т ≥ х)

достижения возраста x+t для лица, достигшего до х лет. Откуда следует, что

 

 

 

 

5. Функция распределения продолжительности предстоящей жизни и её связь с функцией дожития.

 

 

Функция дожития – непрерывная функция возраста S(x), означающая долю лиц доживших до возраста Х.

 

S(x) – вероятность для наугад выбранного лица из данной совокупности родившихся дожить до возраста x.

T – Продолжительность жизни для такого лица.

 

Дополнение функции дожития до 1, то есть функция

F(x) =P(Т < х)=1-S(x)

Называется функцией распределения продолжительности жизни, то есть вероятность того, что данное родившееся лицо не доживет до возраста х.

 

 

6. Интенсивность смертности и её связь с функцией дожития.

 

Доля лиц, умирающих в ед. времени в промежутке [ x,x+1] – средняя скорость вымирания лиц, достигших возраста х

 

Интенсивность (сила) смертности (force of mortality)

 

Функция дожития через интенсивность смертности:

 

Условная функция дожития через интенсивность смерти:

т.к.

 

 

Интерполяция таблиц смертности для дробных возрастов. Линейный подход.

 

X=k+u; k=[x]; u={x}; 0≤u≤1

S(x)=S(k+u)

 

l_x и S(x) линейны на [k;k+1]

 

 

l_x=l_k+u= l_k+u(l_k+1- l_k)= l_k-u*d_k

 

S(x)=S(k+u)= S(k)+u*[ S(k+1)- S(k)]= S(k)*[1- u*q_k ]

 

 

S’(k+u)= -S(k)*q_k => μ_k+u= q_k /(1-u*q_k)

 

_up_k=1-u*q_k