Если в формуле xz = y у - постоянная величина и равна k, то xz= k.
Нам привычны переменные x, y, поэтому введём их х × у = k Þ у = 
– обратная пропорциональность. Величины х и у называются обратно пропорциональными величинами.
Определение. Обратной пропорциональностью называется числовая функция, которая может быть задана при помощи формулы у = , где k – любое, отличное от 0 действительное число.
Прямая пропорциональность имеет следующие свойства:
1. D (y) = (– ∞; 0) È (0; + ∞;) = R \ {0} (x взнаменателе не равен нулю)
2. E (y) =(– ∞; 0) È (0; + ∞;) R \ {0} (т.к. k ¹ 0)
3. Так как f (- x) = 
= –f (x), то функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
4. если k >0, тофункция убывающая;
если k < 0, тофункция возрастающая.
5. График функции – гипербола.
k > 0 k < 0
 | |||||||
 | | ||||||
 | |||||||
 | |||||||
Формулировка 1. Если х и у обратно пропорциональные величины, то произведение х у для всех пар соответственных значение (х, у) принимает одно и тоже значение к.
Формулировка 2. Если функция – обратная пропорциональность, то отношение двух значений аргумента х равно обратному отношению соответственных значений функции у, т.е.
.
Если значениями переменных х и у являются положительные числа, то это свойство можно сформулировать так:
С увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз (при постоянной третьей величине).
Квадратичная функция
Определение. Квадратичной функцией называют функцию, заданную формулой у = ах 2 + bх + с, где а, b, с – действительные числа и а ¹ 0.
Областью определения D квадратичной функции является множество R, так как выражение ах 2 + bх + с имеет значение при любых значениях х.
Рассмотрим вначале случай, когда (а, b, с) = (1, 0, 0), т.е. функцию у = х 2.
Функция у = х 2 имеет следующие свойства:
1. D (y) = R = (– ∞; + ∞).
2. E (y) = [0; +¥) = R +.
3. Так как f (- x) = (– x)2 = x2 = f (x), то функция является чётной функцией, график симметричен относительно оси Оу.
4. Выясним, при каких значениях функция возрастает, а при каких – убывает.
Возьмём x 1 > x 2 
0 и рассмотрим разность f (x 1) – f (x 2).
f (x 1) - f (x 2) = 
. Так как x 1 > x 2, то > 0и f (x 1) > f (x 2) и функция возрастающая.
Возьмём x 1 < x 2 
0 и рассмотрим разность f (x 1) – f (x 2).
f (x 1) - f (x 2) = . Так как x 1 < x 2, то > 0и f (x 1) > f (x 2) и функция возрастающая.
5. В точке х = 0 функция принимет наименьшее значение.
Её графиком является кривая, которая называется параболой.
Рассмотрим функцию у = ах 2.
|
При а > 0 она имеет те же свойства,что и функция у = х 2.
Ее график получается из графика функции у = х 2 сжатием
к оси Оу, если а > 1 и растяжением от оси Оу, если
0 < а < 1. Графиком является порабола. Коэффициент а
характеризует крутость пораболы. График функции
у = ах 2 при а < 0 получается из графика функции у = ах 2 симметричным отображением в отношении оси Ох.
Исследуем свойства функции у = ах 2 + bх + с. Для этого выделим в квадратном трехчлене полный квадрат.
у = ах 2 + bх + с = а (х 2 + 
х) + с = а 
– 
+ + с = а 
+ 
.
График функции у = а можно получить из графика функции у = ах 2. Для этого абсциссу каждой точки графика у = ах 2 нужно уменьшить на 
, если > 0 и увеличить на , если < 0. Это значит, график функции у = ах 2 нужно параллельно сдвинуть в направлении оси Ох на расстояние – .
