Обратная пропорциональность

Если в формуле xz = y у - постоянная величина и равна k, то xz= k.

Нам привычны переменные x, y, поэтому введём их х × у = k Þ у = – обратная пропорциональность. Величины х и у называются обратно пропорциональными величинами.

Определение. Обратной пропорциональностью называется числовая функция, которая может быть задана при помощи формулы у = , где k – любое, отличное от 0 действительное число.

Прямая пропорциональность имеет следующие свойства:

1. D (y) = (– ∞; 0) È (0; + ∞;) = R \ {0} (x взнаменателе не равен нулю)

2. E (y) =(– ∞; 0) È (0; + ∞;) R \ {0} (т.к. k ¹ 0)

3. Так как f (- x) = = –f (x), то функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

4. если k >0, тофункция убывающая;

если k < 0, тофункция возрастающая.

5. График функции – гипербола.

k > 0 k < 0

 

 

Формулировка 1. Если х и у обратно пропорциональные величины, то произведение х у для всех пар соответственных значение (х, у) принимает одно и тоже значение к.

Формулировка 2. Если функция – обратная пропорциональность, то отношение двух значений аргумента х равно обратному отношению соответственных значений функции у, т.е.

.

Если значениями переменных х и у являются положительные числа, то это свойство можно сформулировать так:

С увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз (при постоянной третьей величине).

 

Квадратичная функция

Определение. Квадратичной функцией называют функцию, заданную формулой у = ах ² + bх + с, где а, b, с – действительные числа и а ¹ 0.

Областью определения D квадратичной функции является множество R, так как выражение ах ² + bх + с имеет значение при любых значениях х.

Рассмотрим вначале случай, когда (а, b, с) = (1, 0, 0), т.е. функцию у = х ².

Функция у = х ² имеет следующие свойства:

1. D (y) = R = (– ∞; + ∞).

2. E (y) = [0; +¥) = R ₊.

3. Так как f (- x) = (– x)² = x² = f (x), то функция является чётной функцией, график симметричен относительно оси Оу.

4. Выясним, при каких значениях функция возрастает, а при каких – убывает.

Возьмём x ₁ > x ₂ 0 и рассмотрим разность f (x ₁) – f (x ₂).

f (x ₁) - f (x ₂) = . Так как x ₁ > x ₂, то > 0и f (x ₁) > f (x ₂) и функция возрастающая.

Возьмём x ₁ < x ₂ 0 и рассмотрим разность f (x ₁) – f (x ₂).

f (x ₁) - f (x ₂) = . Так как x ₁ < x ₂, то > 0и f (x ₁) > f (x ₂) и функция возрастающая.

5. В точке х = 0 функция принимет наименьшее значение.

Её графиком является кривая, которая называется параболой.

 

Рассмотрим функцию у = ах ².

При а > 0 она имеет те же свойства,что и функция у = х ².

Ее график получается из графика функции у = х ² сжатием

к оси Оу, если а > 1 и растяжением от оси Оу, если

0 < а < 1. Графиком является порабола. Коэффициент а

характеризует крутость пораболы. График функции

у = ах ² при а < 0 получается из графика функции у = ах ² симметричным отображением в отношении оси Ох.

Исследуем свойства функции у = ах ² + bх + с. Для этого выделим в квадратном трехчлене полный квадрат.

у = ах ² + bх + с = а (х ² + х) + с = а – + + с = а + .

График функции у = а можно получить из графика функции у = ах ². Для этого абсциссу каждой точки графика у = ах ² нужно уменьшить на , если > 0 и увеличить на , если < 0. Это значит, график функции у = ах ² нужно параллельно сдвинуть в направлении оси Ох на расстояние – .