Простейшие свойства числовой функции

Числовое множество называется симметричным, если вместе с числом х ему принадлежит число – х.

Определение. Функция называется четной, если её область определения симметрична и для любого х из области определения выполняется равенство

f(–х) = f(х).

Функция называется нечетной, если её область определения симметрична и для любого х из области определения выполняется равенство

f(–х) = –f(х).

Например, четными являются функции: у = х ²; у = cos х;

нечетными являются функции: у = х ³; у = sin х.

Функцыя у = х ³ – 3 х ² ни четная, ни нечетная. Действительно,

f (– х) = (– х)³ – 3(– х)² = – х ³ – 3 х ² ¹ f (х)

f (– х) = – х ³ – 3 х ² = –(х ³ + 3 х ²) ¹ – f (х).

Каждая функция или четная, или нечетная, или ни четная ни нечетная.

Определение. Функция у = f(х) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х₁ и х₂ из Х выполняется условие х₁ < х₂ É f(х₁) < f(х₂).

Функция у = f(х) называется убывающей на промежутке Х, если для любых х₁ и х₂ из Х выполняется условие х₁ < х₂ É f(х₁) > f(х₂).

Функция, возрастающая на Х или убывающая на Х, называется функцией, монотонной на Х.

Например, функция у = х² на промежутке (–¥; 0] – убывающая, на промежутке [0; +¥) возрастающая. Значит, она монотонная на каждом из этих промежутков, но на промежутке (–¥; +¥) функция у = х ² не монотонная.

Определение. Функция у = f(х), определенная на множестве D называется периодической, если существует такое число Т, Т ¹ 0, что выполняются условия:

1) если х Î D, то и х + Т Î D и х – Т Î D;

2) для любого х Î D f(х ± Т) = f(х).

Число Т называется периодом функции.

Периодическая функция имеет бесконечно много периодов: если Т – период функции, то любое число пТ, п Î Z также период функции. Найменьший положительный период функции называется основным периодом.

Периодическими являются тригонометрические функции.

Линейная функция

Определение. Линейной функцией называется числовая функция, которая может быть задана с помощью формулы у = k х + b, где k и b – любые действительные числа.

Линейная функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения D (y) = (– ∞; + ∞) = R или его подмножества.

2. Область значений E (y) = (– ∞; + ∞) = R или его подмножества.

3. Так как f (- x) = k (– x) + b = – k x + b, – f (x) = – (k x + b) = – k x – b и

f (- x) ¹ – f (x), f (- x) ¹ f (x), то в общем случае линейная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. если k >0, то функция возрастающая;

если k < 0, то функция убывающая;

если k = 0, то функция постоянная.

Графиком линейной функции является прямая, расположение которой на координатной прямой зависит от k и b.

Геометрический смысл b: b – это ордината точки пересечения прямой (графика линейной функции) с осью О у.

Определение. Угловым коэффициентом k называется тангенс угла наклона данной прямой к оси Ох.Углом наклона прямой называется угол между данной прямой и положительным направлением оси Ох, который отсчитывается против часовой стрелки.

у k = tqa

 

 

a a

х

Прямая пропорциональность

Часто рассматриваются три величины, одна из которых равна произведению двух других.

Например, путь при равномерном движении равен произведению скорости на время движения, стоимость товара равна произведению цены на количество товара и т.д.

Математическая зависимость этих величин выражается равенством y = x × z. Если одна из величин x и z постоянна, например, z = k, то получим равенство y = kx. В этом случае говорят, что величина y прямо пропорциональна x; k называется коэффициентом прямой пропорциональности.

Так как каждому значению x соответствует точно одно значение y, то формула

y = kx задает функцию.

Прямая пропорциональность – частный случай линейной функции при b = 0.

Определение. Функция, которую можно задать формулой y = kx, где k – любое, отличное от 0, действительное число, называется прямой пропорциональностью.

Прямая пропорциональность имеет следующие свойства:

1. D (y) = R = (– ∞; + ∞) или подмножества R.

2. E (y) = R = (– ∞; + ∞) или подмножества R.

3. Так как f (- x) = k (– x) = – kx = – f (x), то прямая пропорциональность является нечётной функцией, график симметричен относительно начала координат.

4. Если k > 0, то функция возрастает.

Если k < 0, то функция убывает.

Свойства 1-5 – те же, что и у линейной функции. У прямой пропорциональности есть и собственное свойство.

Формулировка 1. Если y прямо пропорционально x, то частное для всех пар соответствующих значений (x,y), кроме пары (0,0), принимает одно и то же значение k.

Формулировка 2. Если функция – прямая пропорциональность, то отношение двух значений переменной x равно отношению соответствующих значений функции y, т.е.

.

Если значениями переменных x и y являются положительные числа, то это свойство можно сформулировать так:

С увеличением (уменьшением) значения переменной x в несколько раз соответствующее значение переменной y увеличивается (уменьшается) во столько же раз (при постоянной третьей величине).

Графиком прямой пропорциональности является прямая.

у у

k > 0 k < 0

 

0 х 0 х