Рассмотрим числовые функции, т.е. функции, область определения и область значения которых – числовые множества.
Определение. Пусть X и Y – некоторые числовые множества (X Í R, Y Í R). Числовой функцией называется такое соответствие между элементами множеств X и Y, при котором каждому числу х из множества X соответствует не более одного числа у из множества Y.
Функции принято обозначать буквами: f,q,h,j и др. В общем случае, элемент y Î Y, соответствующий элементу x Î A, называется значением функции f и записывается так: y = f (x).
Сложилась традиция переменную x называть аргументом функции.
Например, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = {5, 6, 8, 9, 10, 11, 12}. Соответствие f: «х меньше y на 4». Каждому x Î X соответствует не более одного y Î Y (y =4 + x): 1 ® 5; 2 ® 6; 4 ® 8, 5 ® 9; 6 ® 10, поэтому это соответствие функция.
Из множества X выделим подмножество тех элементов х, для которых есть соответствующий элемент во множестве У. Это множество называют областью (или множеством) определения функции. Его обозначают D(f). В нашем примере D(f) = {1, 2, 4, 5, 6}. Множество всех элементов y Î Y, которые являются значениями функции f, называются множеством (областью) значений функции (E (f)).
В нашем примере E (f) = {5, 6, 8, 9, 10}.
С учетом этого можно дать другое определение функции.
Определение. Пусть X и Y – некоторые числовые множества (X Í R, Y Í R). Числовой функцией, определенной на X и принимающей значения из Y, называется такое соответствие f, при котором каждому числу x Î X соответствует единственное число y Î Y.
Например, A = { a ç a Î N Ù 1 £ a £ 8}, B = {3, 5}, соответствие j: «а делится на b».
|
Так как каждому a Î A соответствует не более одного b Î B, то это соответствие – функция.
Так как числовая функция – частный случай соответствия, то все способы задания соответствия являются и способами задания функции.
Вспомним их:
1) задание числовой функции путём перечисления всех пар элементов, которые находятся в данном соответствии. Если область определения функции – конечное множество, число элементов которого не очень велико, то такую функцию можно задать путем перечисления всех пар соответственных элементов.
Отношение q, заданное перечислением пар, является функцией, если оно не содержит двух разных пар с одинаковыми первыми элементами.
б) задание числовой функции графом.
Соответствие j в примере 2 задано графом.
Соответствие, заданное графом, является функцией, если граф не содержит двух разных стрелок с общим началом.
в) графический способ задания числовой функции.
Если функция задана перечислением пар, то в декартовой системе координат каждую пару можно изобразить точкой. Множество построенных точек и называют графиком функции. Построим график функции q.
График соответствия, которое является функцией, не содержит двух разных точек с одинаковой абсциссой.
г) задание числовой функции указанием характеристического свойства.
Примерами являются примеры 1, 2.
Частный случай: задание числовой функции формулой.
Если область определения функции, заданной формулой, явно не указана и нет каких-либо дополнительных ограничений, то считают, что функция определена на множестве всех тех значений аргумента, при которых все указанные в формуле операции выполнимы.
Например, х арактеристическое свойство в примере 1 можно записать в виде уравнения с двумя переменными:
у = 4 + х, т.е. в виде формулы.
От одного способа задания функции можно переходить к другому.
