Относительное равновесие жидкости

Относительным равновесием жидкости называется такое состояние, при котором каждая ее частица сохраняет свое положение относительно твердой стенки движущегося сосуда. При этом можно рассматривать две задачи – определение формы поверхности уровня и распределение давления, которые решаются с помощью ранее выведенных уравнений (2.15) и (2.24). Разумеется, что кроме массовых сил следует учитывать и силы инерции.

Вертикальное движение сосуда с жидкостью с постоянным ускорением

Пусть сосуд, заполненный жидкостью, движется вертикально с постоянным ускорение а (рис. 2.9). Для определения формы поверхности равного давления воспользуемся уравнением (2.24).

Проекции единичных сил на координатные оси будут:

(знак – соответствует подъему, а знак + спуску резервуара с постоянным ускорением).

Составим уравнение поверхности уровня:

(2.46)

Рис.2.9. Вертикальное перемещение сосуда

Если , то dz = 0, и, следовательно, z=const, т.е. при равноускоренном движении сосуда с жидкостью по вертикали, поверхности равного давления представляют собой горизонтальные плоскости.

Характер распределения давления получим, используя уравнение (2.15).

.

Рис.2.14. Вертикальное движение сосуда

Подставив значения проекций единичных массовых сил, получим:

(2.47)

Проинтегрировав это уравнение при граничных условиях , получим закон распределения давления вдоль любой вертикали:

(2.48)

Это уравнение показывает, что при движении сосуда с жидкостью по вертикали с постоянным ускорением a распределение давления подчиняется линейному закону.

Горизонтальное движение сосуда с постоянным ускорением

Рассмотрим горизонтальное перемещение сосуда с жидкостью с постоянным ускорением а (рис. 2.10). В этом случае проекции массовых сил равны:

.

Поверхность равного давления при этом определяется уравнением:

(2.49).

После интегрирования получим:

(2.50)

 

Из уравнения (2.50) следует, что поверхностями равного давления будут наклонные плоскости. Угол их наклона к горизонту равен:

Закон распределения давления получим, проинтегрировав уравнение (2.15) с учетом того, что , а граничные условия имеют вид: .

(2.51)

Уравнение (2.51)показывает, что при горизонтальном движении сосуда с жидкостью с постоянным ускорением а распределение давления также подчиняется линейному закону для любой вертикали.

 

Вращение цилиндрического сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью ω

Пусть цилиндрический сосуд, заполненный жидкостью, вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси z (рис.2.11.). Определим форму свободной поверхности и найдем распределение давления. Выберем вблизи свободной поверхности час­тицу жидкости массой dт; на эту частицу действует мас­совая сила dF, направленная по нормали к свободной поверхности. Разложим эту силу на две составляющие: горизонтальную (центробежную) силу

и вертикальную, определяемую полем силы тяжести,

. Проекции единичных массовых сил получим, разделив действующие силы на dm:

 

Дифференциальное уравнение поверхности уровня в нашем случае примет следующий вид:

или

Интегрируя это уравнение, получим для поверхно­сти равного давления:

(2.52)

Таким образом, при вращении сосуда с жидкостью с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси по­верхностями равного давления будет семейство парабо­лоидов вращения, осью симметрии которых является ось z..

Закон распределения давления по вертикальной координате и радиусу найдем из дифферен­циального уравнения (2.15), которое в рассматриваемом случае примет следующий вид:

или

(2.53)

После интегрирования с учетом граничных условий (r=0, z=z₀, p=p₀) получим закон распределения дав­ления:

(2.54)

Уравнение (2.54) показывает, что в рассматриваемом случае распределение давления по вертикальной координате подчиняется линейному закону для любой фиксированной круглоцилиндрической поверхности.

 

ЛЕКЦИЯ 4

4. СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ

Одной из практически важных задач в гидростатике является определение сил, действующих со стороны жидкости на различные поверхности, задачи о теории плавания и остойчивости судов и многие другие задачи.

3.1. Сила давления жидкости на плоскую горизонтальную поверхность.

. Действие сил гидростатического давления, распределенного по поверхности, которая это давление воспринимает, может быть заменено действием одной сосредоточенной силы — их равнодействующей.

При определении силового воздействия жидкости на твердую поверхность решают обычно две задачи: определяют величину равнодействующей сил гидростатического давления и находят точку ее приложения (центр давления).

Рассмотрим сначала простейший случай — давление жидкости на плоское дно цилиндрического сосуда (рис. 3.1). Выделим в пределах площади дна элементарную площадку ; очевидно, что давление в каждой ее очке будет постоянным. Сила давления dР на эту площадку равна: ,

где — полное гидростатическое давление в любой точке площади дна.

Равнодействующая сила давления, определится интегралом от элементарной силы, взятым по всей площади дна:

(3.1)

 

Рис.3.1. Сила давления жидкости на дно сосуда

 

Уравнение (3.1) показывает, что независимо от формы сосуда, заполненного жидкостью, и формы его дна (рис.3.1,б,в) сила гидростатического давления будет одинаковой, если давления на свободной поверхности и высоты жидкости в сосудах будут одинаковы, т.е.:

и

Таким образом, сила давления на дно сосуда не зависит от его формы, а зависит только от глубины жидкости в сосуде и площади дна. Это положение, открытое в 17 веке Паскалем, носит в гидравлике название «гидростатического парадокса». Это явление находит применение тогда, когда необходимо создать большие давления с помощью малых количеств воды. Например, для опробования цистерн на прочность к ним подводят напорные трубки. Налив воду в цистерну и добавив в трубки незначительное количество жидкости, можно значительно повысить давление на стенки и дно цистерны, доводя его при определенных значения уровня жидкости в трубках до расчетных.

В случае равномерно распределенной нагрузки на дно сосуда точка приложения равнодействующей и центр тяжести площадки совпадают.

 

3.2. Сила давления жидкости на наклонную плоскую поверхность.

 

Пусть жидкость находится в сосуде с плоской боковой стенкой, расположенную в общем случае под произвольным углом α к горизонту (рис.3.2). Найдем силу гидростатического давления на площадку ω, лежащую в плоскости стенки. Ось координат 0z располо­жена вдоль рассматриваемой стенки; ось Ох совпадает с линией пересечения плоскости свободной поверхности с плоскостью стенки и располагается перпендикулярно пло­скости чертежа. Для наглядности развернем плоскость стенки вместе с расположенной на ней площадкой ω на 90⁰ до совпадения ее с плоскостью чертежа, в этом случае ось 0x будет направлена слева направо под прямым углом к оси Оz.

В пределах площадки ω выберем бесконечно малую площадку dω, находящуюся на произвольной глубине h от свободной поверхности и на произвольном расстоянии x от оси Ог. Введем обозначения: h_с и h_д — глубина по­гружения центра тяжести площадки и точки приложения равнодействующей силы гидростатического давления на площадку ω; х_с и х_д — расстояния от точек С' и D' до оси Ог; z_С и z_д — расстояния от точек С и D вдоль рас­сматриваемой плоскости до свободной поверхности.

Определим силу полного гидростатического давления на элементарную площадку dω:

Равнодействующая силы давления будет равна:

или

(3.2)

Так как давление на свободной поверхности р₀ величина постоянная, первый интеграл в уравнении (3.2)

Рассмотрим второй интеграл уравнения (3.2). Из рис. 3.2 видно, что

h = z sin α, поэтому .

Интеграл представляет собой статический момент площадки ω относительно оси Ох, т.е. поэтому:

или

Подставив значения интегралов в формулу (3.2) для определения равнодействующей силы давления, получим:

 

или окончательно (3.3)

Таким образом, сила давления на плоскую произвольно ориентированную поверхность равна произведению полного (избыточного) давления в центре тяжести рассматриваемой площадки на площадь самой площадки.

Определим теперь координаты точки приложения си­лы гидростатического давления (эта точка называется центром давления). Ранее указывалось, что в жидкости возможны лишь распределенные силы, поэтому центры давления нужно рассматривать лишь условно.

Представим силу гидростатического давления в виде суммы двух величин: силы внешнего давления (или давления на поверхности жид­кости) Р₀ = р₀ ω и силы давления от веса жидкости Р_ж = . Очевидно, центром давления будет точка при­ложения равнодействующих этих сил, определяемая в со­ответствии с общими законами механики как центр дей­ствия параллельных сил.

Так как давление р₀ равномерно распределено по всей площадке со и его величина остается постоянной, точка приложения силы Р₀ совпадает с центром тяжести рас­сматриваемой площадки. Определим координаты точки приложения силы Р_ж.

Для нахождения точки приложения силы давления от веса жидкости Р_ж (точка D) применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси 0x равен сумме моментов составляющих сил, т.е.

где z_д – координата точки приложения силы

Интеграл

Где -момент инерции площадки относительно оси 0x

Учитывая, что , получим:

(3.4)

где J_x0 - момент инерции площадки относительно центральной оси, параллельной 0x.

Таким образом, точка приложения сила Р_ж расположена ниже центра тяжести стенки и расстояние меду точками С и D равно:

Если давление на свободной поверхности р₀ равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. При р₀ выше атмосферного центр давления находят по правилам механики как точку приложения равнодействующей двух сил: Р₀ и Р_ж; чем больше первая сила по сравнению со второй, тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести.

 

3.3. Сила давления жидкости на криволинейную поверхность

 

Выберем внутри покоящейся жидкости произвольный объем W ограниченный поверхностью S (рис. 3.3). Оче­видно, поверхностные силы (в данном случае только си­лы гидростатического давления) будут направлены по внутренним

нормалям к граничной поверхности. Выде­лим в пределах поверхности S криволинейную площадку ω. Так как площадка ω находится в равновесии, система распределенных по ее поверхности сил dР может быть заменена одной равнодействующей Р с составляющими Р_х, Р_у, Р_z, параллельными соответствующим

координат­ным осям Ох, Оу, Оz.

Сила dР, действующая на площадку

dω (рис. 3.3), определится по формуле

(3.5)

где h — глубина погружения центра тяжести площадки ω относи­тельно свободной поверхности.

Так же как и равнодействующая Р, элементарная си­ла давления может быть представлена в виде:

где dР_х и dР_y — горизонтальные составляющие силы dР, действую­щие вдоль осей, параллельных осям Ох и Оу, dР_г — вертикальная составляющая силы dР.

Определим каждую составляющую отдельно.

Рассмотрим сначала горизонтальную состав­ляющую dР_Х. Очевидно,

где — косинус угла между направлением вектора силы dР и осью Ох.

После подстановки в последнее уравнение значения силы dР получим:

(3.6)

Произведение представляет собой про­екцию выделенной площадки dω на плоскость, перпенди­кулярную направлению Ох (рис. 3.3). В нашем слу­чае, это площадка . Таким образом

Горизонтальная составляющая силы Р_х равна сумме всех элементарных сил dР_x, т. е.

(3.7)

Рассмотрим как сумму двух интегралов:

и

Первый интеграл при постоянном давлении на свобод­ной поверхности

где — проекция площадки на плоскость уОг.

Второй интеграл, как это видно из рис. 3.3, представ­ляет собой статический момент площадки относитель­но оси Оу, который как известно, равен произведению пло­щади и расстояния от ее центра тяжести до оси Оу. Тогда

Для равновесия жидкости в поле силы тяжести по­верхностями уровня являются горизонтальные плоскости, поэтому h'_с=h._с. Окончательно для горизонтальной со­ставляющей можно записать:

(3.8)

Уравнение для горизонтальной составляющей, дейст­вующей вдоль оси Оу, легко записать по аналогии с выражением (3.8):

где ω" — проекция площадки ю на координатную плоскость хОг

Таким образом, горизонтальная составляющая силы полного гидростатического давления на криволинейную поверхность равна силе давления на проекцию этой по­верхности на плоскость, нормальную направлению дейст­вия рассматриваемой составляющей.

Определим вертикальную составляющую силы полно­го давления Р_z. Очевидно, Р_z равна сумме всех элемен­тарных вертикальных составляющих силы давления, т. е.

где — вертикальная составляющая силы полного давления на элементарную площадку ;

— косинус угла между направлением вектора dР и осью Ог

Так как — проекция выделенной элементарной площадки dω на горизонтальную плоскость, Р_г по аналогии с предыдущим может быть представлена в виде:

(3.9)

Рассмотрим второй интеграл уравнения (3.9). Из рис.3.3. следует, что представляет собой объем, образованный рассматриваемой площадкой ω, ее проек­цией на горизонтальную плоскость, совпадающую со сво­бодной поверхностью или с ее продолжением, и верти­кальными образующими, проходящими через крайние точки рассматриваемой поверхности. Этот объем иногда называют телом давления (Wт. д.).

Окончательно для вертикальной составляющей можно записать:

(3.10)

Следовательно, вертикальная составляющая силы пол­ного гидростатического давления на криволинейную по­верхность равна сумме силы внешнего давления р₀ на проекцию рассматриваемой площадки на свободную по­верхность или на ее продолжение и силы, определяемой весом тела давления.

Давление на свободной поверхности р₀ можно заменить столбом жидкости, высота которого от свободной поверхности жидкости до пьезометрической плоскости равна:

Тогда и вертикальная составляющая силы давления определится как:

(3.11)

 

3.4. Закон Архимеда. Плавание тел.

Рассмотрим полученные в предыдущем разделе соотношения для вывода одного из самых известных и основных законов – закона Архимеда. Рассмотрим тело АВСD произвольной формы объемом W, плотностью ρ₁, погруженное в покоящуюся жидкость, плотностью ρ (рис. 3.4). На это тело будут действовать силы гидростатического давления, направленные по нормали к поверхности, ограничивающей тело. Найдем составляю­щие силы давления по координат­ным осям (оси х и у расположим в горизонтальной плоскости, ось г - направим по вертикали. Распределенные по поверхности силы для тела, находящегося в равновесии, могут быть заменены одной равнодействующей Р с составляющими Р_х, Р_у и Р_г. При этом (см. рис. 3.4) , , . В соответствии с определением горизонтальной состав­ляющей силы гидростатического давления легко показать, что составляющие Р_х и Р_у равны нулю.

В качестве примера рассмотрим горизонтальную со­ставляющую, действующую вдоль оси Ох. Силы Р'_х и Р"_х, определяющие ее величину, равны, поскольку поверхно­сти, на которые они действуют, имеют одну и ту же про­екцию BFDE на вертикальную плоскость. Поэтому их раз­ность равна нулю. По той же причине и Р_у =0. Таким об­разом, на погруженное твердое тело действуют только две силы: Р'_г — сила давления на поверхность AECFBи Р" — сила давления на поверхность AECFD. Эти силы соот­ветственно будут:

;

Разность этих сил и является равнодействующей сил гидростатического давления на погруженное тело:

(3.12)

Уравнение (3.12) выражает закон, установленный за 250 лет до нашей эры Архимедом и известный под названием закона Архимеда: на твер­дое тело, погруженное в покоящуюся жидкость, действу­ет сила гидростатического давления, равная весу жидко­сти в объеме тела, направленная вертикально вверх и про­ходящая через центр тяжести тела. Знак «-» показывает, что сила направлена вверх. Силу P_z часто называют выталкивающей или архимедовай силой.

Приведем здесь некоторые формулировки этого закона:

1. Всякое тело, погруженное в жидкость, теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость.

2. На тіло, занурене у рідину, діє виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі рідини, витісненої тілом.

Из закона Архимеда следует, что на тело, погруженное в жидкость, в конечном счете действуют две силы: сила тяжести (вес тела) G и архимедова выталкивающая сила P_a. При этом могут иметь место три основных случая:

1. Плотность тела ρ₁ и жидкости ρ одинаковы (ρ₁= ρ).

Тогда: . Равнодействующая этих сил равна 0. Следовательно, тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия.

2. Плотность тела больше плотности жидкости (ρ₁>ρ)

Следовательно, вес тела больше силы Архимеда, G>P_a и их равнодействующая направлена вниз. Тело будет тонуть.

3. Плотность тела меньше плотности жидкости (ρ₁<ρ)

Вес тела меньше силы Архимеда, G<P_a и их равнодействующая направлена вверх. Погруженное в жидкость тело будет всплывать до тех пор, пока вследствие выхода части его над поверхностью подъемная сила не уменьшиться настолько, что станет равной весу тела. После этого тело будет плавать по поверхности жидкости. Подъемная сила в этом случае называется поддерживающей.

Наибольший практический интерес представляют условия равновесия при плавании тел (т.е. равновесия тел, погруженных в жидкость частично).

Плавучестью тела называется способность тела плавать в полупогруженном состоянии.

в)

а))

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние, называется остойчивостью. В теории кораблей различают два вида остойчивости – поперечную (при крене судна), когда один борт превышает другой (рис.3.5а), и продольную, когда один конец судна (нос или корма)

б)

находится выше другого (рис.3.5б). Практически более важны исследования поперечной остойчивости, так как продольная остойчивость весьма значительна.

Силу тяжести (вес) жидкости, взятой в объеме погруженной части судна, называют водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) - центром водоизмещения. При нормальном положе6нии судна центр тяжести его (точка с) и центр водоизмещения (точка d) лежат на одной вертикальной прямой , представляющей собой ось симметрии и называемой осью плавания (рис.3.5.в).

Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол α, часть судна KLM вышла из жидкости, а часть K’L’M’ погрузилась в нее. При таком повороте положение центра тяжести с в теле судна останется неизменным. Не изменится и водоизмещение, но положение центра водоизмещения d станет иным. Пусть оно теперь будет . Приложим в точке подъемную силу R и линию ее действия продолжим до пересечения с осью симметрии судна . Полученная точка m называется метацентром, а расстояние между метацентром и центром тяжести по оси плавания – метацентрической высотой. Обозначим это расстояние h и будем считать его положительным, если точка m лежит выше точке с, и отрицательным – в противном случае.

Таким образом, плавающее судно имеет три характерные точки:

- центр тяжести, не меняющий своего положения по отношению к судну при любом его положении;

^- центр водоизмещения, перемещающийся при крене судна;

^- метацентр, также изменяющий свое положение (при крене <15⁰ положение метацентра можно считать постоянным).

Метацентрическим радиусом называется радиус, описываемой из метацентра дуги круга, по которой происходит перемещение центра водоизмещения при крене судна (линия ). Остойчивость судна может также характеризоваться и величиной этого радиуса, тогда для обеспечения остойчивости не обходимо соблюдение следующего условия:

ρ-е>0

Величину метацентрического радиуса можно найти (для крена <15⁰) по формуле:

(3.14)

Тогда метацентрическая высота:

(3.15)

Рассмотрим условия равновесия судна в зависимости от относительного расположения метацентра и центра тяжести.

1. Остойчивое равновесие – метацентр лежит выше центр тяжести (h>0); пара сил поворачивая судно, возвращает его в первоначальное положение;

2. Безразличное равновесие – метацентр и центр тяжести совпадают между собой (h=0);

3. Неостойчивое равновесие – метацентр лежит ниже центра тяжести (h<0); пара сил вызывает дальнейшее опрокидывание судна.

Значит, чем ниже центр тяжести и чем больше метацентрическая высота, тем больше остойчивость судна. Поэтому метацентрическая высота может быть принята за меру остойчивости. Практически ее нормальное значение для большинства торговых судов находится в пределах 0,3…..0,8 м.

 

[v1]

[v2]