Свойства напряжений поверхностных сил

 

Выделим в покоящейся жидкости элементарный объем D W в виде тетраэдра, грани которого лежат в координатных плоскостях, а четвертая нормальна направлению (рис. 2.2). Обратим внимание на то, что грани являются отрицательными площадками, поскольку нормалями к ним служат векторы .

Пусть - напряжения, действующие на соответствующих гранях тетраэдра; - вектор ускорения его центра масс. Тогда векторное уравнение движения жидкого тетраэдра, выражающего второй закон Ньютона, будет иметь вид

 

.

 

Учтем, что

,

а

Тогда, разделив все члены последнего уравнения на , в пределе получим

 

. (2.4)

 

Следовательно, напряжение на любой площадке можно выразить через напряжения на трех взаимно ортогональных площадках, которыми могут быть и координатные площадки. Соотношение (2.4) в проекциях на оси координат имеет вид

(2.5)

 

Здесь, как можно видеть, для каждой из проекций употребляется два индекса, первый из которых указывает ориентацию площадки (ее нормаль), а второй ось, на которую проектируется вектор. Так, например, величина есть проекция на ось (второй индекс) напряжения , действующего на площадке, нормальной к оси (первый индекс). Поэтому представляют собой нормальные к соответствующим площадкам напряжения. Разноименные индексы определяют касательныенапряжения. Например, есть проекция на ось напряжения , приложенного к площадке, нормальной к оси .

В дальнейшем для краткости проекции напряжений будем называть просто напряжениями.

Между касательными напряжениями существует связь вида

,

которая называется законом парности касательных напряжений.

Следовательно, напряженное состояние жидкости в точке определяется шестью независимыми скалярными величинами, три из которых являются нормальными напряжениями, а три – касательными (знаки и численные значения проекций векторов зависят от выбора осей координат, тогда как скалярные величины не зависят от него; поэтому проекции векторов, а также другие аналогичные по свойствам величины, иногда называют псевдоскалярами). Совокупность девяти величин типа , связанных соотношениями (2.5), образуют тензор напряжений.

Из вышеизложенного следует, что напряженное состояние в точке движущейся среды определяется тензорной величиной.

В реальных жидкостях и газах нормальные напряжения могут создаваться как давлением одних частиц на другие, так и действием сил вязкости. Касательные напряжения являются результатом действия сил вязкости и зависят от давления лишь постольку, поскольку от него зависит коэффициент вязкости. Для модели идеальной жидкости, которая лишена вязкости и в которой все касательные напряжения равны нулю, полные напряжения направлены по нормали к соответствующим площадкам и согласно равенствам (3.16) выражаются формулами

 

(2.6)

 

При этом напряжения должны быть сжимающими, т.е. направленными по внутренним нормалям, так как по упомянутой выше гипотезу механики сплошных сред технические жидкости не выдерживают растягивающих усилий (из-за наличия растворенного воздуха). Поэтому величины можно вычислить из соотношения

(2.7)

Сопоставляя равенства (2.6) и (2.7), получаем

 

.

Эти равенства показывают, что при отсутствии касательных напряжений нормальные напряжения не зависят от ориентации площадок и представляют собой давление в точке сплошной среды, т.е.

. (2.8)

 

Очевидно, в силу выражения (2.8) вектор напряжения в данном случае можно представить в виде

.

 

Знак минус показывает, что напряжение направлено по внутренней нормали, т.е. является сжимающим.

Заметим, что касательные напряжения равны нулю также в любой вязкой жидкости, находящейся в покое, так как при существовании любых сколь угодно малых сдвиговых усилий из-за легкоподвижности среды произошло бы относительное перемещение слоев, т.е. жидкость была бы выведена из состояния покоя. Следовательно, полученный вывод о независимости нормальных напряжений от ориентаций площадок справедлив для любой покоящейся жидкости. Давление в этом случае называется гидростатическим.

2.3. Гидростатическое давление и его свойства

 

Как было указано выше, в покоящихся жидкости и газе касательные напряжения в любой точке равны нулю, присутствуют только нормальные напряжения сжатия (т.к. жидкости и газы не выдерживают растягивающих усилий), которые равны между собой. Величина, равная модулю нормального напряжения сжатия, называется гидростатическим давлением в точке или просто давлением р.

Гидростатическое давление в точке может быть также представлено следующим образом (рис. 2.1.). На элементарную площадку , характеризуемую единичным вектором нормали , действует нормальная составляющая поверхностной силы . Напряжение сжатия, возникающее от действия этой силы, определится как частное от деления силы на площадь :

(2.9)

Значение этого напряжения принято называть средним гидростатическим давлением. Предел отношения (2.9) при называется гидростатическим давлением в точке – р [Н/м²].

(2.10)

Хотя свойства гидростатического давления были указаны в п. 2.2, подчеркнем их еще раз:

1. Гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к площадке, на которое оно действует.

2. Величина гидростатического давления не зависит от ориентации (от угла наклона) площадки.

3. Давление на свободной поверхности жидкости передаются всем точкам жидкости одновременно и без искажений (закон Паскаля).

 

 

2.4 Равновесие несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.

Рис.2.5. Схема для вывода основного уравнения гидростатики.

Это уравнение можно получить и более простым путем, рассмотрев равновесие жидкости в сосуде (рис.2.5), на свободную поверхность которой действует давление . Найдем гидростатическое давление р в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h.

Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на

вертикаль:

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости в выделенном объеме. Сократив выражение на и сгруппировав члены, найдем:

Обозначив координату точки М через z, а координату свободной поверхности – через z₀ и заменив h на z₀ – z, получим:

.

Так как точка М была взята произвольно, можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема

, или

Координата z называется геометрической высотой. Величина имеет линейную размерность и называется пьезометрической высотой. Сумма называется гидростатическим напором.

Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.

В гидравлике величина p называется полным или абсолютным гидростатическим давлением, p₀ - внешним давленим или давленим на поверхности, а величина при постоянной плотности зависит только от глубины погружения точки и называется избыточным давлением (в аэродинамике избыточным давлением принято называть разность между абсолютным и атмосферным давлением

Из уравнения (2.34) следует, что распределение гидростатического давления по вертикали линейно зависит от глубины погружения рассматриваемой точки и может быть графически представлено в виде трапеции для абсолютного давления (рис.2.6,а) или прямоугольного треугольника для избыточного давления (рис.2.6,б).

Угол наклона линии давления зависит от плотности жидкости.

 

 

ЛЕКЦИЯ 3