Кристаллы. Элементы кристаллографии

· Молярный объем кристалла

V_m = M/ r,

где М — молярная масса вещества; r — плотность кристалла. Объем V элементарной ячейки в кристаллах:

а) при кубической сингонии V = a ³;

б) при гексагональной сингонии . Здесь а и с — па­раметры решетки.

Если для гексагональной решетки принять теоретическое значе­ние

, то .

· Число Z_m элементарных ячеек в одном моле кристалла

Z_m = V_m/v, или Z_m = kN_A / n,

где k — число одинаковых атомов в химической формуле соедине­ния (например, в кристалле AgBr число одинаковых атомов Ag или Вг в химической формуле соедине­ния равно единице); N_A — постоян­ная Авогадро; п— число одинаковых атомов, приходящихся на элементар­ную ячейку. Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла

Z = Z_m/V_m

или в общем случае

для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k = l),

· Параметр а кубической решетки

Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке:

а) в гранецентрированной ,

б) в объемно центрированной .

 

 

Электроны в металле (по квантовой статистике)

 

Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле:

при Т¹0 ;

при Т¹0 при (e<e_f),

где dn(e)-концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале, значений от e до e+de; m и e - масса и энергия электрона; e_ƒ- уровень (или энергия) Ферми.

Уровень Ферми в металле при Т=0

.

Температура Т_кр вырождения

.

Удельная проводимость собственных полупроводников

g = en(b_n + b_p),

где e - заряд электрона; n - концентрация носителей заряда (электронов и дырок); b_n и b_p - подвижности электронов и дырок.

Напряжение U_H на гранях образца при эффекте Холла

U_H = R_HBjℓ,

где R_H - Постоянная Холла; В - индукция магнитного поля;

ℓ - ширина пластины; j - плотность тока.

Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, кремния; германия и др., обладающих носителями заряда одного вида (n или р),

,

где n - концентрация носителей заряда.

 

Примеры решения задач

 

Пример 1. В баллоне вместимостью V=6,9 л находится азот массой m=2,3 г. При нагревании часть молекул диссоциировали на атомы. Коэффициент диссоциации a=0,2. Определить: 1) об­щее число N ₁ молекул и концентрацию n ₁ молекул азота до нагрева­ния; 2) концентрацию n ₂ молекул и n ₃ атомов азота после нагрева­ния.

Решение. По определению, концентрация частиц газа есть отношение числа частиц к вместимости сосуда, занимаемого газом:

n=N /V. (1)

1. Число N ₁ молекул газа до нагревания найдем из соотношения

. (2)

где v — количество вещества азота; n _a — постоянная Авогадро; М — молярная масса азота; M _r — относительная молекулярная масса азота; k=10^-3 кг/моль. Подставив значения величин в (2), получим

.

Концентрацию n ₁ найдем, подставив значения величин в (1):

.

2. Концентрацию после нагревания найдем из соотношения

, (3)

где N — число молекул, не распавшихся на атомы.

После подстановки значений величин в (3) получим

.

Концентрация атомов после нагревания азота

. (4)

Число 2 в формуле (4) выражает тот факт, что каждая молекула после распада дает два атома.

Подставим в (4) значения величин и произведем вычисления:

.

Пример 2. В колбе вместимостью V=0,5 л находится кислород при нормальных условиях. Определить среднюю энергию поступательного движения всех молекул, содержащихся в колбе.

Решение. Средняя энергия поступательного движе­ния всех молекул может быть выражена соотношением

, (1)

где <e_п>— средняя энергия поступательного движения одной моле­кулы; N — число всех молекул, содержащихся в колбе.

Как известно,

, (2)

где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая темпера­тура.

Число молекул, содержащихся в колбе, найдем по формуле

N = vN _A, (3)

где v — количество вещества кислорода; N _A — постоянная Авогадро.

Количество вещества v найдем из таких соображений: известно, что при нормальных условиях молярный объем Vm равен 22,4×10-3 м3/моль. Так как, по условию задачи, кислород в колбе находится при нормальных условиях, то количество вещества кис­лорода в колбе выражается соотношением

v =V/V_m. (4)

Подставив выражение v по (4) в (3), получим

N =V N _A/V_m. (5)

С учетом (2) и (5) выражение (1) энергии поступательного движе­ния молекул примет вид

Проверим, дает ли правая часть расчетной формулы единицу энергии (джоуль). Для этого вместо символов величин подставим единицы, в которых эти величины выражаются:

.

Подставив значения величин в (6) и произведя вычисления, най­дем

.

Пример 3. Средняя длина свободного пробега < l > молекулы угле­кислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <J> молекул и число z соударе­ний, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул опре­деляется по формуле

,

где М — молярная масса вещества.

Подставив числовые значения, получим

<υ>=362 м/с.

Среднее число <z> соударений молекулы в 1 с определяется отно­шением средней скорости <υ> молекулы к средней длине ее свобод­ного пробега < l >:

<z>=<υ>/< l >.

Подставив в эту формулу значения <υ>=362 м/с, < l >=40 нм=4×10^{-8 м, получим}

<z>= 9,05×10⁹ с^-1.

 

Пример 4. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной l= 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси z. Радиус Rбольшого цилиндра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером d=2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормаль­ных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с посто­янной частотой n ₁=20 с^-1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через какой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения n ₂ = 1c^-1. При расчетах изменением относительной скорости цилиндров пре­небречь. Масса m внешнего цилиндра равна 100 г.

Решение. При вращении внутреннего цилиндра слой воз­духа увлекается им и начинает участвовать во вращательном движе­нии. Вблизи поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем практически такую же линейную скорость, как и ско­рость точек на поверхности цилиндра, т. е. υ=2p n ₁(R – d). Так как d «R, то приближенно можно считать

υ»2p n ₁R (1)

Вследствие внутреннего трения момент импульса передается соседним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За интервал времени Dt внешний цилиндр Приобретает момент импуль­са L= p R, где р — импульс, полученный за Dt внешним цилинд­ром. Отсюда

p =L/R. (2)

С другой стороны,

, (3)

где h — динамическая вязкость; —градиент скорости; S —площадь поверхности цилиндра (S=2pR l).

Приравняв правые части выражений (2) и (3) и выразив из полу­ченного равенства искомый интервал Dt, получим

.

Найдем входящие в эту формулу величины L, и S. Момент импульса L= J w₂, где J — момент инерции цилиндра (J =mR²); m — его масса; w₂ — угловая скорость внешнего цилиндра (w₂=2p n ₂). С учетом этого запишем

L=mR²×2p n ₂=2pmR² n ₂

Градиент скорости .Площадь цилиндра равна S=2pR l.

Подставив в (4) выражения L, , S, получим

.

Заменив здесь υ по (1), найдем

. (5)

Динамическая вязкость воздуха h== 17,2 мкПа×с= 1,72∙10^-5 Па∙с.

Подставив в (5) значения входящих в нее величин и произведя вычисления, получим

.

 

Пример 5. Найти среднюю кинетическую энергию одной моле­кулы аммиака NH₃ при температуре t=27 °С и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.

Решение. Средняя полная энергия молекулы определяется по формуле

(1)

где i — число степеней свободы молекулы; k — постоянная Больцмана; Т— термодинамическая температура газа: T =t+ Т ₀, где Т ₀=273 К.

Число степеней свободы i четырехатомной молекулы, какой явля­ется молекула аммиака, равно 6.

Подставим значения величин в (l):

.

Средняя энергия вращательного движения молекулы определя­ется по формуле

, (2)

где число 3 означает число степеней свободы поступательного дви­жения.

Подставим в (2) значения величин и вычислим:

.

Заметим, что энергию вращательного движения молекул ам­миака можно было получить иначе, разделив полную энергию (e) на две равные части. Дело в том, что у трех (и более) атомных молекул число степеней свободы, приходящихся на поступательное и враща­тельное движение, одинаково (по 3), поэтому энергии поступатель­ного и вращательного движений одинаковы. В данном случае

Пример 6. Пылинки массой m=10^{-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра­ция пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.}

Решение. При равновесном распределении пылинок кон­центрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно при­менить формулу Больцмана

n=n ₀e^{-U/(k T)}. (1)

Так как в однородном поле силы тяжести U=mgz, то

n=n ₀e^{-mgz/(k T)} (2)

По условию задачи, изменение D n концентрации с высотой мало по сравнению с n (D n / n =0,01), поэтому без существенной погреш­ности изменение концентрации D n можно заменить дифференциа­лом d n.

Дифференцируя выражение (2) по z, получим

d п = —п ₀ e^{-mgz/(k T )}dz.

Так как п ₀e^{-mgz/(k T )}= n, то

d n = - n dz.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

dz= -

Знак минус показывает, что положительным изменениям координа­ты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (d n <0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и d n конечными приращениями D z и D n:

D z = .

Подставим в эту формулу значения величин D n / n =0,01, k=1,38×10^-23 Дж/К, T =300 К, m= 10^{-21 кг,} g=9,81 м/с² и, произведя вычисления, найдем

D z =4,23 мм.

Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (m== 10^{-18 г) очень быстро изменяется с высотой.}

 

Пример 7. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число D N молекул, скорости υ которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости υ_в.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться рас­пределением молекул по относительным скоростям u (u =υ/υ_в). Число d N (u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от u до d u, определяется формулой

, (1)

где N — полное число молекул.

По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас молекул υ_max=0,001υ_в, откуда u _max=υ_max/υ_в=0,001. Для таких значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом деле, для u «1 имеем е^-2»1- u ². Пренебрегая значением u ² = (0,001)²=10^-6 по сравнению с единицей, выражение (1) запишем в виде

. (2)

Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до u _max, получим

, или . (3)

Выразив в (3) число молекул N через количество вещества и постоянную Авогадро, найдем расчетную формулу:

. (4)

Подставим в (4) значения величин v, n _a и произведем вычисле­ния:

.

 

Пример 8. Зная функцию f (р) распределения молекул по импуль­сам, определить среднее значение квадрата импульса < p ²>.

Решение. Среднее значение квадрата импульса < p ²> можно определить по общему правилу вычисления среднего:

. (1)

Функция распределения молекул по импульсам имеет вид

(2)

Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т. е.

.

С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе:

(3)

Подставим выражение f(p) по уравнению (2) в формулу (3) и выне­сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла:

Этот интеграл можно свести к табличному.

, положив .

 

В нашем случае это даст

После упрощений и сокращений найдем

< p ²>=3mk T.

 

Пример 9. Определить количество теплоты DQ, необходимое для нагревания кристалла NaCI массой m=20г на DТ=2К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) T1=q_В; 2) Т₂=2К. Характеристическую температуру Дебая q_D для NaCI принять равной 320 К.

Решение. Количество теплоты DQ, подводимое для нагревания тела от температуры t₁ до t₂, Может быть вычислено по формуле

, (1)

где С - теплоемкость тела (системы)

Теплоемкость тела связана с молярной теплоёмкостью C_m соотношением С=(m/М) C_m, где m-масса тела; М-молярная масса. Подставив это выражение С в формулу (1), получим

. (2)

В общем случае C_m есть функция температуры, поэтому за знак Интеграла ее выносить нельзя. Однако в первом случае изменением теплоемкости по сравнению с ее значением при температуре Т, можно пренебречь и считать ее на всем интервале температур DT постоянной и равной C_m(Т₁). Ввиду этого формула (2) примет вид

DQ=(m/M)C_m(Т₁)DT. (3)

Молярная теплоёмкость C_m(Т₁) в теории Дебая выражается формулой

.

В первом случае при Т₁=q интеграл

и, следовательно,

C_m =2,87R.

Подставляя это значение C_m в формулу (3),получим

DQ=2,87(m/M)RDT. (4)

Произведя вычисление по формуле (4), найдём

DQ=16,3Дж.

Во втором случае (Т<<q_D) нахождение DQ облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной температуры. В этом случае теплоемкость сильно изменяется в пределах заданного интервала температур и ее нельзя выносить за знак интеграла в формуле (2)

Используя выражение предельного закона Дебая

,

получим

Выполним интегрирование:

. (5)

С учетом того, что Т₂+DТ=2Т₂, выражение (5) примет вид

,

или

.

Подставив в последнюю формулу значения величин p, m, M, R, Т и q_В произведя вычисления, найдём DQ=1,22мДж.

 

Пример 10. Молярная изохорная теплоемкость аргона при температуре 4 К равна 0,174 Дж/(моль∙К). Определить значение молярной изохорной теплоемкости аргона при температуре 2 К.

Решение. Согласно теории Дебая, теплоемкость кристаллической решетки при низких температурах Т, когда Т<<θ_D, где θ_D – характеристическая температура Дебая, пропорциональна кубу термодинамической температуры,

. (1)

При высоких температурах, когда Т>>θ_D, теплоемкость кристаллической решетки описывается законом Дюлонга и Пти

С=3R = 25 Дж/(моль∙К). (2)

Так как при Т₁=4 К теплоемкость аргона С₁=0,174 Дж/(моль∙К) много меньше, чем 3R = 25 Дж/(моль∙К), выполняется закон Т³ Дебая, согласно которому

, , (3)

или

. (4)

Подставляя числовые данные в (4), получим

С₂=0,022 Дж/(моль∙К).

 

Пример 11. Дебаевская температура кристалла равна 150 К. Определить максимальную частоту колебаний кристаллической решетки. Сколько фотонов такой же частоты возбуждается в среднем в кристалле при температуре 300 К.

Решение. Дебаевская температура

, (1)

где ν_max – максимальная частота колебаний кристаллической решетки, h=6,625∙10^-34 Дж∙с, k=1,38∙10^-23Дж/К – постоянная Больцмана.

Из (1) найдем

. (2)

Подставляя в (2) числовые значения, получаем

.

Среднее число фотонов с энергией ε_i:

. (3)

Энергия фотона, соответствующая частоте колебаний ν_max,

ε_i=h∙ν=k∙θ_D. (4)

Подставляя (4) в (3),

,

.

 

Пример 12. Определить число п узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.

Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической ре­шетке (рис. 1) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (нахо­дящиеся на гранях куба в точке пересечения диагона­лей).

Узел А принадлежит одно­временно восьми элементар­ным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А вхо­дит с долей 1/8. Узел В вхо­дит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов

типа А в ячейке равно восьми, Рис. 1

а число узлов типа В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячей­ку в гранецентрированной решетке,

n = (1/8)×8 + (1/2)×6 = 1 + 3 = 4 узла.

Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.

 

Пример 13. Определить параметр а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция (решет­ка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность r кри­сталла кальция равна 1,55×10³ кг/м³.

Решение. Параметр а кубической решетки связан с объемом элементарной ячейки соотношением V = а ³. С другой стороны, объем элементарной ячейки равен отношению молярного объема к числу элементарных ячеек в одном моле кристалла: V = V_m/Z_m. Приравняв правые части приведенных выражений для V найдем

a³ = V_m / Z _m (1)

Молярный объем кальция V_m = M/ r, где r — плотность кальция; М — его молярная масса. Число элементарных ячеек в одном моле

Z_m =N_A/n,

где п — число атомов, приходящихся на одну ячейку. Подставив в формулу (1) приведенные выражения для V _m и Z _m, получим

a ³= nM /(r N_A)

 

Отсюда

(2)

Подставим значения величин п, М, r и N_A в формулу (2), учи­тывая, что п = 4. Произведя вычисления, найдем

а =556 пм.

Расстояние d между ближайши­ми соседними атомами находится из простых геометрических сооб­ражений, ясных из рис. 2:

.

Подставив в это выражение най­денное ранее значение а, получим d =393 пм.

 

Пример 14. Кусок металла объёма V=20 см³ находится при температуре Т=0. Определить число ΔN свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса рmax не более чем на 0,1 р_max. Энергия Ферми e_ƒ=5эВ.

Решение. Для того чтобы установить распределение свободных электронов в металле по импульсам, воспользуемся распределением Ферми для свободных электронов при T=0:

(1)

Так как dn(e) есть число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале значений от e до e+de (e<e_ƒ), то оно должно быть равно числу электронов dn(p) в единице объема, заключённых в интервале значений импульса от р до p+dp, т. е.

dn(р)=dn(e). (2)

При этом должно соблюдаться следующее условие. Данной энергии e соответствует определенный импульс р(e_ƒ=p²(2m)) и интервалу энергий de отвечает соответствующий ему интервал импульсов

 

.

Заметив, что e^1/2=p/(2m)^1/2, подставим в правую часть равенства (2) вместо dn(e) выражение (1) с заменой e на р и

de на dp в соответствии с полученными соотношениями, т. е.

.

После сокращений получим искомое распределение свободных электронов в металле по импульсам при Т=0:

.

Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в интервале от р_max –0,1 р_max до р_max, найдем интегрированием в соответствующих пределах:

, или .

Учитывая, что максимальный импульс рmax и максимальная энергия e электронов и металле (при Т=0) связаны соотношением р²_max=2me_ƒ, найдём искомое число ΔN свободных электронов в металле:

, или ,

Подставив значения величин p, m, e_ƒ, ћ и V и произведя вычисления (5эВ=8·10^-19Дж), получим ΔN=2,9·10²³ электронов.

Таблица вариантов

Контрольная работа № 6

Вариант	Номера задач

 

Задачи.

1. В баллоне, объем которого 0,25 м³ находится газ, состоящий из смеси углекислого газа и паров воды. Температура газа 327 ^°С. Число молекул углекислого газа N₁ = 6,6∙10²¹, число молекул паров воды N₁ = 0,9∙10²¹. Вычислить давление р и молекулярную массу μ газовой смеси.

2. Плотность газа, состоящего из смеси гелия и аргона при давлении 1,5 атм и температуре 27 ^°С, равна ρ =2 г/л. Сколько атомов гелия содержится в 1 см³ газовой смеси?

3. Найти отношение средней квадратичной скорости молекул газа к скорости распространения звука в идеальном газе при той же температуре. Газ состоит из одноатомных молекул.

4. Найти энергию Е теплового движения молекул NH₃, находящихся в баллоне объемом 10 л, при давлении 18,4 мм рт.ст. Какую часть этой энергии составляет энергия поступательного движения молекул Е? Молекулы считать жесткими.

5. Теплоизолированный сосуд с азотом движется со скоростью υ =86 м/с. Температура газа 0 ^°С. Какова будет средняя энергия поступательного движения молекул газа, если сосуд остановить?

6. В баллоне, объем которого 2,55 л находится m =1,5∙10^{-2 г} водорода при температуре 2500 ^°С. При этой температуре молекулы водорода оказываются упругими, причем часть молекул диссоциирует на атомы. Степень диссоциации молекул а =0,25. Вычислить давление р и количество тепла ΔQ, необходимое для нагревания водорода на 1 ^°С при указанных условиях.

7. Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит один грамм этого газа?

8. В сосуде вместимостью V =0,3 л при температуре Т =290 К находится некоторый газ. Насколько понизится давление р в сосуде, если из него из-за утечки выйдет N =10¹⁹ молекул?

9. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа, находящегося под давлением 0,1 Па. Концентрация молекул газа равна 10¹³ см³.

10. В баллоне вместимостью V =1 л находится азот при нормальных условиях. Когда азот нагрели до температуры Т =1,8 кК, то молекулы азота оказались частично диссоциированными на атомы. Степень диссоциации а =0,3. Определить количество вещества ν и концентрацию n атомов атомарного азота после нагревания.

11. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре Т =600 К. Найти кинетическую энергию W поступательного движения всех молекул пара, содержащего количество вещества ν =1 кмоль.

12. При какой температуре Т молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как молекулы водорода при температуре Т₁ =100 К?

13. В баллоне V =0,25 м³ находится смесь кислорода и гелия. Число молекул кислорода N₁ =0,6∙10²¹, а число молекул гелия N₂ =0,9∙10²¹. Температура смеси Т =620 К. Найти давление смеси р.

14. При температуре t =17 ^°С давление газа р =11 кПа, эффективное сечение молекул газа σ =24∙10^{-20 м2} . Определить среднюю длину свободного пробега молекул l.

15. При температуре t =17 ^°С и давлении газа р =360 мм рт. ст. молекула газа испытывает в единицу времени z соударений с другими молекулами. Эффективный диаметр молекул d =0,29 нм, средняя длина свободного пробега l =150 нм. Определить температуру t.

16. Средняя длина свободного пробега атомов гелия при нормальных условиях <l> =180 нм. Определить коэффициент диффузии D гелия.

17. Коэффициент диффузии кислорода D =0,19 см²/с при температуре t =0 ^°С. Определить среднюю длину свободного пробега <l> молекул кислорода.

18. Определить, во сколько раз отличается коэффициент диффузии D₁ газообразного водорода от коэффициента диффузии D₂ газообразного кислорода, если оба газа находятся при одинаковых условиях.

19. Вычислить динамическую вязкость кислорода при нормальных условиях.

20. Найти среднюю длину свободного пробега <l> молекул азота при условии, что его динамическая вязкость равна 17 мкПа∙с.

21. Найти динамическую вязкость гелия при нормальных условиях, если коэффициент диффузии D =1,06∙10^-4 м²/с при тех же условиях.

22. При нормальных условиях динамическая вязкость воздуха η =17,2 мкПа∙с. Найти для тех же условий теплопроводность воздуха.

23. Определить коэффициент теплопроводности азота, находящегося в некотором объеме при температуре Т =280 К. Эффективный диаметр молекул азота принять равным σ= 0,38 нм.

24. Кислород находится при нормальных условиях. Определить коэффициент теплопроводности кислорода, если эффективный диаметр его молекул равен 0,36 нм.

25. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью S =150 см² каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 ^°С, другая – при температуре 27 ^°С. Определить количество теплоты, прошедшее за 5 минут посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным 0,35 нм.

26. Азот находится под давлением р=100 кПа при температуре Т =290 К. Определить коэффициенты диффузии D и внутреннего трения η. Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,35 нм.

27. Определить скорость, соответствующую максимуму функции распределения при t =100 ^°С для водорода, гелия и азота.

28. Какая часть молекул воздуха при t =17 ^°С обладает скоростями, отличающимися не больше, чем на 0,5 м/с от скорости, равной υ= 0,1 ∙υ_вер? Молекулярный вес воздуха 29.

29. Найти число молекул гелия в 1 см³, скорости которых лежат в интервале от 2,39∙10³ м/с до 2,61∙10³ м/с. Температура гелия t =690 ^°С, его плотность ρ =2,16∙10^-4 кг/м³.

30. При каком значении скорости υ пересекаются кривые распределения Максвелла для температур Т₁ и Т₂ =2∙ Т₁.

31. Найти давление воздуха в шахте на глубине 10 км. На поверхности земли давление 760 мм рт. ст., молекулярный вес воздуха 29. Считать, что температура воздуха не зависит от высоты и равна 0 ^°С.

32. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с?

33. Вычислить массу азота и массу кислорода в 1 м³ воздуха на уровне моря и на высоте 5532 м. Температура воздуха и его давление на уровне моря равны соответственно 0 ^°С и 1,01∙10⁵ Н/м².

34. На какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха уменьшается в два раза? Считать, что температура воздуха t =0 ^°С и ускорение g не зависят не зависят от h. Молекулярный вес 29.

35. На какой высоте h над уровнем моря плотность кислорода уменьшается на 1%? Температура кислорода t =27 ^°С.

36. На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления на уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 ^°С.

37. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m =10^{-18 г} . Во сколько раз уменьшится их концентрация n при увеличении высоты Δh на 10 м? Температура воздуха Т =300 К.

38. Насколько уменьшится атмосферное давление р =100 кПа при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h =100 м? Считать, что температура воздуха Т =200 К и не изменяется с высотой.

39. Найти изменение высоты Δh, соответствующее изменению давления на Δр =100 Па вблизи поверхности Земли, где температура Т =290 К, давление р =100 кПа.

40. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление р =80 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха изменилась на ΔТ= 1 К. Какую ошибку Δh в определении высоты допустил летчик? Считать, что температура не зависит от высоты и что у поверхности Земли давление р₀ =100 кПа.

41. Вычислить по классической теории теплоемкости теплоемкость С кристалла бромида алюминия объемом 1 м³ и плотностью 3010 кг/м³.

42. Определить изменение внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от t₁ =0 ^°С до t₂ =200 ^°С. Масса кристалла m =20 г. Теплоемкость вычислить.

43. Определить среднюю энергию линейного одномерного квантового осциллятора при температуре Т =200 К.

44. Найти частоту колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура серебра равна 165 К.

45. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить изменение ΔU молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на ΔТ =2 К от температуры Т = θ_Е/ 2.

46. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение ΔU молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до температуры Т =0,1∙ θ_Е. Характеристическая температура Эйнштейна для данного кристалла равна 300 К.

47. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычислении теплоемкости С вместо значения, даваемого теорией Эйнштейна (при Т = θ_Е), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.

48. Определить максимальную частоту собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура равна 180 К.

49. Вычислить максимальную частоту Дебая, если известно, что молярная теплоемкость серебра с =1,7 Дж/(моль∙К) при Т =20 К. Считать условие Т<< θ_D выполненным.

50. Найти отношение изменения внутренней энергии кристалла ΔU при его нагревании от нуля до Т= 0,1 ∙θ_D к нулевой энергии U₀. Считать, что условие Т<< θ_D выполненным.

51. Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вычислить изменение ΔU молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на ΔТ =2 К от температуры Т = θ_D/ 2.

52. При нагревании серебра m =10 г от Т₁ =10 К до Т₂ =20 К было подведено ΔQ =0,71 Дж теплоты. Определить характеристическую температуру Дебая серебра. Считать условие Т<< θ_D выполненным.

53. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычислении теплоемкости С кристалла вместо значения, даваемого теорией Дебая (при Т = θ_D), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.

54. Найти отношение характеристических температур Эйнштейна и Дебая.

55. Определить плотность кальция (решетка гранецентрированная кубическая), если расстояние между ближайшими атомами d =0,393 нм.

56. Стронций имеет гранецентрированную кубическую решетку. Определить расстояние d между ближайшими соседними атомами, если параметр решетки а =0,605 нм.

57. Барий имеет объемно-центрированную кубическую решетку. Плотность кристалла бария считать ρ =3,5∙10³ кг/м³. Определить параметр а решетки.

58. Алюминий имеет гранецентрированную кубическую решетку. Параметр решетки а =0,404 нм. Определить плотность алюминия.

59. Ванадий имеет объемно-центрированную кубическую решетку. Определить расстояние d между ближайшими соседними атомами и параметр а решетки. Плотность ванадия считать известной.

60. Расстояние между ближайшими соседними атомами кристаллической решетки золота d =0,288 нм. Определить параметр а решетки, если решетка гранецентрированная кубическая.

61. Никель имеет гранецентрированную кубическую решетку. Определить расстояние d между ближайшими соседними атомами и параметр а решетки. Плотность никеля считать известной.

62.Найти плотность кристалла неона (при Т =20 К), если известно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии. Постоянная решетки при той температуре а =0,452 нм.

63. Найти плотность кристалла стронция, если известно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии, расстояние между ближайшими соседними атомами d =0,43 нм.

64. Определить относительную атомную массу А кристалла, если известно, что расстояние между ближайшими соседними атомами d =0,304 нм. Решетка объемно-центрированная кубической сингонии. Плотность кристалла ρ =543 кг/м³.

65. Найти постоянную а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла алюминия (решетка гранецентрированная кубической сингонии).

66. Найти постоянную а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла вольфрама (решетка гранецентрированная кубической сингонии).

67. Определить концентрацию n свободных электронов при температуре Т =0 К. Энергию Ферми принять Е_F =1 эВ.

68. Определить отношение концентраций n₁/n₂ свободных электронов при Т =0 К в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны 4,72 эВ и 1,53 эВ.

69. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т =0 К. Уровень Ферми для натрия равен 3,12 эВ. Плотность натрия ρ =970 кг/м³.

70. Вычислить среднюю кинетическую энергию электронов в металле при температуре Т =0 К, если уровень Ферми Е_F =7 эВ.

71. Металл находится при температуре Т =0 К. Определить во сколько раз число электронов с кинетической энергией от υ_max /2 до υ_max больше числа электронов с энергией от 0 до υ_max /2.

72. Оценить температуру Т вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия ρ =860 кг/м³.

73. По функции распределения электронов в металле по импульсам dN(p), установить распределение по скоростям dN(υ) при любой температуре.

74. Определить максимальную скорость электронов в металле при температуре Т =0 К, если уровень Ферми Е_F =5 эВ.

75. Определить уровень Ферми в собственном полупроводнике, если энергия активации равна 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергии принять низший уровень зоны проводимости.

76. Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление ρ =0,48 Ом∙м. Определить концентрацию n носителей заряда, если подвижность электронов и дырок соответственно равны 0,36 м²/(В∙с) и 0,16 м²/(В∙с).

77. Определить долю свободных электронов в металле при абсолютном нуле, энергии которых заключены в интервале значений от ε_max /2 до ε_max.

78. Найти среднее значение кинетической энергии электронов в металле при температуре Т =0 К, если уровень Ферми Е_F =6 эВ.

79. Удельное сопротивление кремния с примесями ρ =0,01 Ом∙м. Определить концентрацию дырок и их подвижность. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью, и постоянная Холла R =4∙10^-4 м³/Кл.

80. Выразить среднюю квадратичную скорость через максимальную скорость электронов при абсолютном нуле.

 

Библиографический список

1. Савельев, И.В. Курс физики: В 3-х т./ И.В Савельев - М.: Наука, 1989 -Т.1. - 416 с.; Т.2. - 496 с.; Т.3. - 302 с.

2. Детлаф, А.А., Яворский, Б.М. Курс физики: учеб. пособие для вузов/ А.А Детлаф, Б.М Яворский. - М.: Высшая школа, 1989. - 608 с.

3. Калашников, Н.П. Основы физики: учеб. для вузов: В 2 т./ Н.П. Калашников, М.А. Смондырев. – 2-е изд., перераб. – М.: Дрофа, 2003. –

Т.1. – 400 с.; Т.2. – 432 с.

4. Трофимова, Т.И. Курс физики/ Т.И. Трофимова. - М.: Высшая школа, 1999. - 542 с.

5. Чертов, А.Г. Задачник по физике: учеб. пособие для втузов/ А.Г. Чертов. - М.: Наука, 1988. - 527с.