Атом водорода в теории Бора

• Момент импульса электрона на стационарных орбитах

L=mvr = nħ (n=1,2,3,…),

где т — масса электрона; r — радиус орбиты; v — скорость электрона на орбите; п — главное квантовое число; ħ — постоянная Планка.

• Энергия электрона, находящегося на n-й орбите,

где ε₀ — электрическая постоянная.

• Сериальная формула, определяющая длину волны λ или частоту υ света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое,

, ,

где R' и R —постоянная Ридберга (R'=1,097∙10⁷ м^-1; R =c∙R' =3,29∙10¹⁵ с^-1); m и m — целые числа; n — номер серии спектральных линий (n=l — серия Лаймана, n=2 — серия Бальмера, n=3 — серия Пашена и т. д.). Для данной серии n=m+l, m+ 2, m+3 и т. д.

• Энергия фотона, испускаемого атомом водорода при переходе из одного

стационарного состояния в другое,

где E_i — энергия ионизации водорода: E_i=2πhħR=13,6 эВ.

Волновые свойства микрочастиц

· Формула де Бройля, выражающая связь длины волн с импульсом р движущейся частицы, для двух случаев:

а) в классическом приближении (n << c; p= m ₀ n)

l = 2 pħ / p

б) в релятивистском случае (скорость и частицы сравнима со скоростью с света в вакууме;

· Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Т частицы:

а) в классическом приближении

б) в релятивистском случае , где E ₀ — энергия покоя частицы.

· Фазовая скорость волн де Бройля

n = w/ k

где w — круговая частота; k — волновое число (k = 2p/l).

· Групповая скорость волн де Бройля

· Соотношения де Бройля:

E=ħw, p = ħ k,

где Е — энергия движущейся частицы; р — импульс частицы; k — волновой вектор;

ħ - постоянная Планка (ħ =h/ (2p) =1,05.10^-34 Дж.с).

· Соотношения неопределенностей:

а) для координаты и импульса частицы D p D x≥ħ где D p _x — неопределенность проекции импульса частицы на ось х; D x — неопределенность ее координаты;

б) для энергии и времени D E D t ≥ ħ, где D E — неопределенность энергии данного квантового состояния; D t — время пребывания системы в этом состоянии.

Радиоактивность

• Основной закон радиоактивного распада

N=N₀e^-^λt,

где N — число нераспавшихся атомов в момент времени t; N₀— число нераспавшихся атомов в момент, принятый за начальный (при t=0); е — основание натуральных логарифмов; λ — постоянная радиоактивного распада.

• Период полураспада T_1/2 — промежуток времени, за который число нераспавшихся атомов уменьшается в два раза. Период полураспада связан с постоянной распада соотношением

T_1/2 = ln2/λ = 0,693/λ.

• Число атомов, распавшихся за время t,

∆N = N₀- N = N₀, (1 - е^-^λt).

Если промежуток времени ∆t << T_1/2. то для определения числа распавшихся атомов можно применять приближенную формулу

∆N ≈ λN∆t

Среднее время жизни т радиоактивного ядра — промежуток времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз:

τ = 1/λ

• Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

N = (m/M)×N_A

где m — масса изотопа; М — его молярная масса; N_A — постоянная Авогадро.

• Активность А нуклида в радиоактивном источнике (активность изотопа) есть величина, равная отношению числа dN ядер, распавшихся в изотопе, к промежутку времени dt, за которое произошел распад. Активность определяется по формуле

A = -dN/dt = λN,

или после замены N по основному закону радиоактивного распада

A = λN₀e^-^λt

Активность изотопа в начальный момент времени (t=0)

A₀ = λN₀.

Активность изотопа изменяется со временем по тому же закону, что и число нераспавшихся ядер:

A = A₀e^-^λt

• Массовая активность а радиоактивного источника есть величина равная отношению его активности A к массе т этого источника, т. е.

a = A/m.

● Если имеется смесь ряда радиоактивных изотопов, образующихся один из другого, и если постоянная распада λ первого члена ряда много меньше постоянных всех остальных членов ряда, то в смеси устанавливается состояние радиоактивного равновесия, при котором активности всех членов ряда равны между собой:

λ₁N₁ = λ₂N₂ = … = λ_kN_k_..

Примеры решения задач

Пример 1. На толстую стеклянную пластинку, покрытую очень тонкой пленкой, показатель преломления n₂ вещества которой равен 1,4, падает нормально параллельный пучок монохроматического света (λ=0,6 мкм). Отраженный свет максимально ослаблен вследствие интерференции. Определить толщину d пленки.

Рис. 2

Решение. Из световой волны, падающей на пленку, выделим узкий пучок SA. Ход этого пучка в случае, когда угол падения ε₁ 0, показан на рис. 2. В точках A и В падающий пучок частично отражается и частично преломляется. Отраженные пучки света AS₁ и BCS₁ падают на собирающую линзу L, пересекаются в ее фокусе F и интерферируют между собой.

Так как показатель преломления воздуха (n₁= 1,00029) меньше показателя преломления вещества пленки (n₂ =1,4), который, в свою очередь, меньше показателя преломления стекла (n₃ =1,5), то в обоих случаях отражение происходит от среды оптически более плотной, чем та среда, в которой идет падающая волна. Поэтому фаза колебания пучка света AS₁ при отражении в точке A изменяется на π рад и точно так же на π рад изменяется фаза колебаний пучка света BCS₂ при отражении в точке В. Следовательно, результат интерференции этих пучков света при пересечении в фокусе F линзы будет такой же, как если бы никакого изменения фазы колебаний ни у того, ни у другого пучка не было.

Как известно, условие максимального ослабления света при интерференции в тонких пленках состоит в том, что оптическая разность хода Δ интерферирующих волн должна быть равна нечетному числу полуволн; Δ=(2 k +1)(λ /2).

Как видно из рис. 2, оптическая разность хода

Δ= l₂n₂— l₁n₁ =(| АВ | +| ВС |) п₂—|AD | n₁.

Следовательно, условие минимума интенсивность света примет вид

(| АВ | +| ВС |) п₂—|AD | n₁ =(2 k +1)(λ /2).

Если угол падения ε₁ будет уменьшаться, стремясь к нулю, то AD 0 и (| АВ|+|ВС| 2d, где d— толщина пленки. В пределе при ε₁=0 будем иметь

Δ=2 dn₂ =(2 k +1)(λ /2),

откуда искомая толщина пленки

Полагая k =0,1,2,3,…, получим ряд возможных значений толщины пленки:

и т.д.

Пример 2. На стеклянный клин нормально к его грани падает монохроматический свет с длиной волны λ =0,6 мкм. В возникшей при этом интерференционной картине на отрезке длиной l =1 см наблюдается 10 полос. Определить преломляющий угол θ клина.

Решение. Параллельный пучок света, падая нормально к грани клина, отражается как от верхней, так и от нижней грани. Эти пучки когерентны, и поэтому наблюдается устойчивая картина интерференции. Так как интерференционные полосы наблюдаются при малых углах клина, то отраженные пучки света 1 и 2 (рис. 3) будут практически параллельны.

Темные полосы видны на тех участках клина, для которых разность хода кратна нечетному числу половины длины волны;

Δ=(2k+1) (λ/2), где k =0,1,2,…. (1)

Разность хода Δ двух волн складывается из разности оптических длин путей этих волн (2dn cosε₂’) и половины длины волны (λ/2).

Рис. 3

Величина λ/2 представляет собой добавочную разность хода, возникающую при отражении волны от оптически более плотной среды. Подставляя в формулу (1) значение разности хода Δ, получим

2d_kn cos ε ₂’ + λ/2 = (2k + 1) (λ/2), (2)

где п — коэффициент преломления стекла (n =l,5); d_k— толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру k; ε₂’—угол преломления.

Согласно условию, угол падения равен нулю, следовательно, и угол преломления ε₂’ равен нулю, a cos ε₂’ =1. Раскрыв скобки в правой части равенства (2), после упрощения получим

2d_kn = kλ (3)

Пусть произвольной темной полосе номера k соответствует определенная толщина клина в этом месте d_k а темной полосе номера k+10 соответствует толщина клина d_k₊₁₀. Согласно условию задачи, 10 полос укладываются на отрезке длиной l =1 см. Тогда искомый угол (рис. 3) будет равен

θ=(d_k₊₁₀ – d_k)/ l, (4)

где из-за малости преломляющего угла sin θ = θ (угол θ выражен в радианах).

Вычислив d_k и d_k₊₁₀ из формулы (3), подставив их в формулу (4) и произведя преобразования, найдем

θ=5 λ/(nl).

После вычисления получим

θ=2∙10^-4paд.

Выразим θ в градусах. Для этого воспользуемся соотношением между радианом и секундой (см. табл. 6); 1 рад=2,06"∙10⁵, т. е.

θ=2∙10^-4∙2,06''∙10⁵=41,2'',

или в соответствии с общим правилом перевода из радиан в градусы

θ_град = θ_рад, θ = .

Искомый угол равен 41,2".

Пример 3. На диафрагму с круглым отверстием радиусом r =1 мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны λ=0,05 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние b_max от центра отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.

Решение. Расстояние, при котором будет видно темное пятно, определяется числом зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины будет темное пятно.

Число зон Френеля, помещающихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана от отверстия. Наименьшее четное число зон равно двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно Рис. 4 в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля.

Из рис. 4 следует, что расстояние от точки наблюдения O на экране до края отверстия на 2 ( λ /2) больше, чем расстояние b_max.

По теореме Пифагора получим

.

Учтя, что λ<< b_m_ах и что членом, содержащим λ², можно пренебречь, последнее равенство перепишем в виде

r² =2λ b_max. откуда b_max =r²/(2λ). Произведя вычисления по последней формуле, найдем

b_max=1 м.

Пример 4. На щель шириной а =0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ==0,6 мкм). Определить ширину l центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от линзы на расстоянии L =l м.

Решение. Центральный максимум интенсивности света занимает область между ближайшими от него справа и слева минимумами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис. 5).

Минимумы интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдаются под углами φ, определяемыми условием

a sin φ=± k λ, (1)

где k — порядок минимума; в нашем случае равен единице.

Расстояние между двумя минимумами на экране определим непосредственно по чертежу: l=2L tgφ. Заметив, что при малых углах tg φ sin φ, перепишем эту формулу в виде

Рис. 5

l =2L sin φ. (2)

Выразим sin φ из формулы (1) и подставим его в равенство (2):

l=2Lkλ/a. (3)

Произведя вычисления по формуле (3), получим l =1,2 см.

Пример 5. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок света с длиной волны λ=0,5мкм. Помещенная вблизи решетки линза проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы на L =l м. Расстояние l между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см (рис. 6). Определить: 1) постоянную d дифракционной решетки; 2) число n штрихов на 1 см; 3) число максимумов, которое при этом дает дифракционная решетка; 4) максимальный угол φ _m_ах отклонения лучей, соответствующих последнему дифракционному максимуму.

Решение 1. Постоянная d дифракционной решетки, длина волны λ и угол φ отклонения лучей, соответствующий k-му дифракционному максимуму, связаны соотношением

dsin φ= k λ, (1)

где k — порядок спектра, или в случае монохроматического света порядок максимума.

В данном случае k =1, sin φ=tg φ (ввиду того, что l /2<< L), tgφ=(l /2) L (следует из рис. 31.3). С учетом последних трех равенств соотношение (1) примет вид

Рис. 6 ,

откуда постоянная решетки

d =2 L λ/ l.

Подставляя данные, получим

d =4,95 мкм.

2. Число штрихов на 1 см найдем из формулы

п =1/ d.

После подстановки числовых значений получим n =2,02-10³ см^-1.

3. Для определения числа максимумов, даваемых дифракционной решеткой, вычислим сначала максимальное значение k_max исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90°.

Из формулы (1) запишем

. (2)

Подставляя сюда значения величин, получим

K_max =9,9.

Число k обязательно должно быть целым. В то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значении sin φ должен быть больше единицы, что невозможно. Следовательно, k_m_ах =9.

Определим общее число максимумов дифракционной картины, полученной посредством дифракционной решетки. Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному k_m_ах, т. е. всего 2 k_m_ах. Если учесть также центральный нулевой максимум, получим общее число максимумов

N =2 k_max +l.

Подставляя значение k_m_ах найдем

N =2∙9+1=19.

4. Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующего последнему дифракционному максимуму, выразим из соотношения (2) синус этого угла:

sinφ_max= k_max λ/ d.

Отсюда

φ_max=arcsin(k_max λ/ d).

Подставив сюда значения величин λ, d, k_m_ах и произведя вычисления, получим

φ _m_ах =65,4°.

Пример 6. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны λ=500 нм Принимая Солнце за черное тело, определить. 1) энергетическую светимость Me Солнца;

2) поток энергии Ф_е, излучаемый Солнцем; 3) массу т электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.

Решение: 1. Энергетическая светимость M_e черного тела выражается формулой Стефана — Больцмана

R_e=sT⁴ (1)

Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина. λ_m=b/T. Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в формулу (1), получим

R_e=s (bλ_m)⁴, (2)

Произведя вычисления по формуле (2), найдем

R_e =64 МВт/м².

2. Поток энергии Ф_е, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности.

Ф_е= 4πr²R_e, (3)

где r — радиус Солнца

Подставив в формулу (3) значения π, r и R_e и произведя вычисления, получим

Ф_е=3,9∙10²⁶ Вт.

3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t=1 с, определим, применив закон пропорциональности массы и энергии Е=тс². Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощности излучения) на время Е=Фt. Следовательно, Ф_е= тс², откуда т= Ф_е /с²

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

m = 4,3∙10⁹ кг.

Пример 7. Длина волны λ_m, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, равна 0,58 мкм. Определить максимальную спектральную плотность энергетической светимости (r_λ_,_T)_max, рассчитанную на интервал длин волн ∆λ=1нм, вблизи λ_m.

Решение. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости пропорциональна пятой степени температуры Кельвина и выражается формулой

(r_λ_,_T)_max = СТ⁵. (1)

Температуру Т выразим из закона смещения Вина λ_m =b/Т, откуда Т=b/λ_т

Подставив полученное выражение температуры в формулу (1), найдем

(r_λ,T)_max=C(b/λ_m)⁵,

В табл. 24 значение С дано в единицах СИ, в которых единичный интервал длин волн ∆λ=1 м. По условию же задачи требуется вычислить спектральную плотность энергетической светимости, рассчитанную на интервал длин волн 1 нм, поэтому выпишем значение С в единицах СИ и пересчитаем его на заданный интервал длин волн:

С=1,30∙10^-5 Вт/(м³К⁵)=1,30∙10^-5 Вт/(м²∙м∙K⁵) =

=1,30∙10^-14 Вт/(м²∙нм∙К⁵).

Вычисление по формуле (2) дает

(r_λ,T)_max=40,6 кВт/(м∙нм).

Пример 8. Определить максимальную скорость v_max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ₁ =0,155 мкм; 2) γ-излучением с длиной волны λ₂=2,47 пм.

Решение. Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

ε =A+T_max (1)

Энергия фотона вычисляется по формуле ε = hc/λ, работа выхода для серебра A =4,7 эВ.

Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена или по классической формуле

T= ½ m₀v² (2)

или по релятивистской

Т = (m—m₀)c² (3)

Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона ε много меньше энергии покоя электрона Е₀, то может быть применена формула (2); если же ε сравнима по размеру с Е₀, то вычисление по формуле (2) приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по формуле (3)

1. В формулу энергии фотона ε = hc/λ подставим значения величин h, с и λ и, произведя вычисления, для ультрафиолетового излучения получим

ε₁ = 8 эВ.

Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена

по классической формуле (2) ε₁=A+ ½ m₀v²_max, откуда

(4)

Выпишем величины, входящие в формулу (4): ε₁=1,28×10^-18 Дж (вычислено выше); A=4,7 эВ = 4,7×1,6∙10^-19 Дж = 0,75∙10^-18 Дж; m₀=9,11×10^{-31 кг}.

Подставив числовые значения в формулу (4), найдем максимальную скорость:

v_max =1,08 Мм/с.

2. Вычислим теперь энергию фотона γ-излучения:

ε₂=hc/λ₂ = 8,04 фДж = 0,502 МэВ.

Работа выхода электрона (A = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ-фотона, поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:

T_max = ε₂=0,502 МэВ.

Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии,

где E₀=m₀c².

Выполнив преобразования, найдем

Сделав вычисления, получим

β = 0,755.

Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых γ-излучением,

v_max=cβ=226 Mм/c.

Пример 9. Определить красную границу λ₀ фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ=400 нм максимальная скорость v_max фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с.

Решение. При облучении светом, длина волны λ₀ которого соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следовательно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна для фотоэффекта ε =A+T в случае красной границы запишется в виде

ε = A, или hc/ λ₀ =A.

Отсюда

λ₀ =hc/A. (1)

Работу выхода для цезия определим с помощью уравнения Эйнштейна:

(2)

Выпишем числовые значения величин, выразив их в СИ: h=6,62∙10^-34 Дж∙с; с = 3∙10⁸ м/с; λ=400 нм=4∙10^{-7 м;}m=9,11∙10^{-31 кг;}v = 6,5∙10⁵ м/с.

Подставив эти значения величин в формулу (2) и вычислив, получим

A=3,05×10^-19 Дж = 1,9 эВ.

Для определения красной границы фотоэффекта подставим значения A, h и с в формулу (1) и вычислим:

λ₀=651 нм.

Пример 10. Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность Поток энергии Ф_е=0,6 Вт. Определить силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число N фотонов, падающих на нее за время t=5 с

Решение Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности:

F=pS. (1)

Световое давление может быть найдено по формуле

P=E_e(ρ+l)/c. (2)

Подставляя выражение (2) дaвлeния света в формулу (1), получим

F= [(E_eS)/c]∙(ρ+1). (3)

Так как произведение облученности E_e на площадь S поверхности равно потоку Ф энергии излучения, падающего на поверхность, то соотношение (3) можно записать в виде

F = (Ф_е/с)∙(ρ+1).

После подстановки значений Ф_е и с с учетом, что ρ=1 (поверхность зеркальная), получим

F==4 нН.

Число N фотонов, падающих за время ∆t на поверхность, определяется по формуле

N=∆W/ε = Ф_е∆t/ε,

где ∆W — энергия излучения, получаемая поверхностью за время ∆t

Выразив в этой формуле энергию фотона через длину волны (ε =hc/λ), получим

N= Ф_еλ∆t/(hc).

Подставив в этой формуле числовые значения величин, найдем

N= 10¹⁹ фотонов.

Пример 11. Параллельный пучок света длиной волны λ=500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление p=10 мкПа. Определить: 1) концентрацию п фотонов в пучке, 2) число n₁ фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1 с.

Решение. 1. Концентрация п фотонов в пучке может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии w на энергию ε одного фотона:

n=w/ε (1)

Из формулы p=w(1+ρ), определяющей давление света, где ρ-коэффициент отражения, найдем

w = p/(ρ+1). (2)

Подставив выражение для w из уравнения (2) в формулу (1), получим

n = ρ/[(ρ+1)∙ε]. (3)

Энергия фотона зависит от частоты υ, а следовательно, и от длины световой волны λ:

ε = hυ = hc/λ (4)

Подставив выражение для энергии фотона в формулу (3), определим искомую концентрацию фотонов:

n = (ρλ)/[(ρ+1)∙ε]. (5)

Коэффициент отражения ρ для зачерненной поверхности принимаем равным нулю.

Подставив числовые значения в формулу (5), получим

n=2,52∙10¹³ м^-3.

2. Число n₁ фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м²за время 1 с, найдем из соотношения n₁=N/(St), где N — число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но N=ncSt, следовательно,

n₁=(ncSt)/(St)=nc

Подставив сюда значения п и с, получим

n₁=7,56∙10²¹ м^-2∙с^-1.

Пример 12. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ=90°. Энергия ε ' рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ε фотона до рассеяния.

Решение. Для определения первичного фотона воспользуемся формулой Комптона в виде

λ`-λ = 2×[(2πħ)/(mc)]×sin²(θ/2). (1)

Формулу (1) преобразуем следующим образом: 1) выразим длины волн λ' и λ через энергии ε' и ε соответствующих фотонов, воспользовавшись соотношением ε = 2πħc/λ; 2) умножим числитель и знаменатель правой части формулы на с. Тогда получим

Сократив на 2nħc, выразим из этой формулы искомую энергию:

ε = 1,85 МэВ.

Пример 13. Фотон с энергией ε =0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом θ=60°. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить: 1) энергию ε' рассеянного фотона; 2) кинетическую энергию Т электрона отдачи; 3) направление его движения.

Решение. 1. Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:

Выразив длины волн λ' и λ через энергии ε' и ε соответствующих фотонов, получим

(1)

Разделим обе части этого равенства на 2πħc:

Отсюда, обозначив для краткости энергию покоя электрона тc² через е_о, найдем

Подставив числовые значения величин, получим

ε'=0,43 МэВ.

2. Кинетическая энергия электрона отдачи, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией ε падающего фотона и энергией е' рассеянного фотона:

T = ε - ε` = 0,32 МэВ.

3. Направление движения электрона отдачи найдем, применив закон сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона р равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона р' и электрона отдачи mv:

p = p'+mv.

Векторная диаграмма импульсов изображена на рис.. Все векторы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол φ определяет направление движения электрона отдачи.

Из треугольника OCD находим

или

Так как р=ε/с и р'=е'/с, то

(2)

Рис. 7

Преобразуем формулу (2) так, чтобы угол φ выражался непосредственно через величины ε и θ, заданные в условии задачи. Отсюда

(3)

Заменим в формуле (2) соотношение ε/ε' по формуле (3):

Учитывая, что sin θ=2sin(θ/2)cos(θ/2) и 1—cosθ=2sin²(θ/2), после соответствующих преобразований получим

(4)

После вычисления по формуле (4) найдем tg φ =0,701, откуда φ=35°.

Пример 14. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (Боровский радиус) и скорость электрона на этой орбите.

Решение. Согласно теории Бора, радиус r электронной орбиты и скорость v электрона на ней связаны равенством тvr=пħ. Так как в задаче требуется определить величины, относящиеся к первой орбите, то главное квантовое число n=1 и указанное выше равенство примет вид

mvr=ħ. (1)

Для определения двух неизвестных величин r и v необходимо еще одно уравнение. В качестве второго уравнения воспользуемся уравнением движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона можем записать

(е и m — заряд и масса электрона), или

(2)

Совместное решение равенств (1) и (2) относительно r дает

r = 4πε₀ħ/(me²).

Подставив сюда значения ħ, е, т и произведя вычисления, найдем боровский радиус:

r = а = 5,29∙10^{-11 м.}

Из равенства (1) получим выражение скорости электрона на первой орбите:

υ= ħ /(mr).

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

υ = 2,18 Мм/с.

Пример 15. Определить энергию ε фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.

Решение. Энергия ε фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую,

Рис.8

где E_i — энергия ионизации атома водорода; m=1,2,3,...—номер орбиты, на которую переходит электрон (рис. 8); n=m+1;

m+2;... — номер орбиты, с которой переходит электрон. Для серии Пашена m=3; для второй линии этой серии n= 3+2=5.

Подставив числовые значения, найдем энергию фотона:

ε = 0,97 эВ.

Пример 16. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля l для двух случаев: 1) U ₁= = 51 кВ; 2) U ₂= 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля l частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

l = 2 pħ/p (1)

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией для нерелятивистского (когда T << E ₀) и для релятивистского (когда T» E ₀ ) случаев соответственно выражается формулами:

; (2)

(3)

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется соответственно в нерелятивистском и релятивистском случаях:

; (4)

(5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U ₁= 51 В и U ₂= 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, которую из формул (4) и (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

T = | e | U.

В первом случае T ₁= | e |(U ₁= 51 эВ = 0,51×10^-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона E ₀ = m ₀ c² = 0,51 МэВ. Следовательно, можно применить формулу (4).

Для упрощения расчетов заметим, что T₁ = 10^-4 m ⁰ c ². Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде

Учтя, что есть комптоновская длина волны l_C, получим .

Так как l_C = 2,43×10^{-12 м}, то

Во втором случае кинетическая энергия Т ₂= ½е½ U ₂= 510 кэВ = 0,51 МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. Следовательно, необходимо применить релятивистскую формулу (5).

Учтя, что Т₂ =0,51 МэВ=mc², по формуле (5) найдем

Подставив значение l_с в последнюю формулу и произведя вычисления, получим

l₂=1,4 пм.

Пример 17. На узкую щель шириной а = 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость = 3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L = 10 см от щели.

Решение. Согласно гипотезе де Бройля, длина волны l, соответствующая частице массой т, движущейся со скоростью, выражается формулой

l = 2pħ/(mu). (1)

Дифракционный максимум при дифракции на одной щели наблюдается при условии

a sin j = (2 k +1)(l/2), (2)

где k = 0, 1, 2, 3,...—порядковый номер максимумов; a — ширина щели.

Для максимумов первого порядка (k =1) угол j заведомо мал, поэтому sin j = j, и, следовательно, формула (2) примет вид

aj = ³/₂l, (3)

а искомая величина х, как следует из рис. 9,

x = 2L tg j = 2Lj, (4)

так как tg j = j.

Получим

Подстановка в последнее равенство длины волны де Бройля по формуле (1) дает

.

После вычисления по формуле (5) получим

x = 6 · 10-41=60 мкм.

Пример 18. На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения θ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость ν.

Решение. К расчету дифракции электронов от кристаллической решетки применяется то же уравнение Вульфа — Брэгга, которое используется в случае рентгеновского излучения:

2d sin θ = kλ

где d — расстояние между атомными плоскостями кристалла: θ — угол скольжения; k — порядковый номер дифракционного максимума; λ — длина волны де Бройля. Очевидно, что

λ = (2 d sin θ)/k.

Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим

λ =360 пм.

Из формулы длины волны де Бройля λ = 2πħ/(mν) выразим скорость электрона:

ν = 2πħ/(mλ)

Подставив в эту формулу значения π, ħ, m (масса электрона), и произведя вычисления, найдем

v=2 Мм/с.

Пример 19. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Неопределенность координаты и импульса электрона связаны соотношением

ΔxΔp ≥ ħ (1)

где Δ x — неопределенность координаты электрона; Δ р — неопределенность его импульса.

Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью: Δ x = l /2. Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде (l/2} Δ p ≥ ħ, откуда

l ≥ 2 ħ /(Δ р) (2)

Физически разумная неопределенность импульса Δ p, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса р, т. е.

Δ p ≤ p

Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением Заменим Δ p значением (такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства (2) к равенству, получим

l_min = 2ħ/

Подставив числовые значения и произведя вычисления, найдем l_min = 124 пм.

Пример 20. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину ∆λ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время τ жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10^-8 с, а длину волны λ излучения равной 600 нм.

Рис. 10

Решение. При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно апрель деленной, а имеет конечную ширину Г (рис. 10). Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина Г энергетического уровня возбужденного состояния связана со средним временем т жизни атомов в этом состоянии соотношением

Г_τ~ ħ

Тогда ширина энергетического уровня определяется выражением

Г = ħ / τ

Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состояния энергия фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня, т. е. ∆ε = Г.

Тогда

∆ε = ħ/ τ (1)

Поскольку энергия е фотона связана с длиной волны λ соотношением

ε = 2πħc/λ

то разбросу ∆ε (∆ε << ε) энергии соответствует разброс ∆λ длин волн (∆λ<<λ)

∆ε = (2)

(знак минус опущен).

Входящий в это выражение конечный интервал длин волн Д?.и есть естественная ширина спектральной линии. Выразив Д^ из формулы (2) и заменив Де согласно (1), получим

Произведем вычисления:

∆ λ = 2 · 10^-14м =20 фм

Пример 21. Определить начальную активность А₀ радиоактивного магния 27Mg массой m=0,2 мкг, а также активность А по истечении времени t=1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны.

Решение. Начальная активность изотопа

А₀ = λN₀ (1)

где λ — постоянная радиоактивного распада; N₀ — количество атомов изотопа в начальный момент (t=0).

Если учесть, что

то формула (1) примет вид

Выразим входящие в эту формулу величины в СИ и произведем вычисления:

A₀=5,15×10¹² Бк=5,15ТБк.

Активность изотопа уменьшается со временем по закону

A=A₀ e^-^λt (3)

Заменив в формуле (3) постоянную распада λ ее выражением, получим

A=A₀ e^-ln2*t/T1/2=A₀ (e^ln2)^-t/T1/2

Так как e^ln²= 2 окончательно будем иметь

A=A₀ /2^t/^T^1/2

Сделав подстановку числовых значений, получим A=8,05×10¹⁰ Бк= 80,5 ГБк.

Пример 22. При определении периода полураспада T_1/2 короткоживущего радиоактивного изотопа использован счетчик импульсов. За время ∆t = 1 мин в начале наблюдения (t=0) было насчитано ∆n₁=250 импульсов, а по истечении времени t=1 ч - ∆n₂=92 импульса. Определить постоянную радиоактивного распада λ и период полураспада T_1/2 изотопа.

Решение. Число импульсов ∆n, регистрируемых счетчиком за время ∆t, пропорционально числу распавшихся атомов ∆N.

Таким образом, при первом измерении

∆n₁=k∆N₁=kN₁(1-e^–^λ^∆^t), (1)

где N₁ — количество радиоактивных атомов к моменту начала отсчета; k — коэффициент пропорциональности (постоянный для данного прибора и данного расположения прибора относительно радиоактивного изотопа).

При повторном измерении (предполагается, что расположение приборов осталось прежним)

∆n₂=k∆N₂=kN₂(1-e^–^λ^∆^t), (2)

где N₂ — количество радиоактивных атомов к моменту начала второго измерения.

Разделив соотношение (1) на выражение (2) и приняв во внимание, что по условию задачи ∆t одинаково в обоих случаях, а также что N₁ и N₂. связаны между собой соотношением N₂ = N₁ e^-^λt, получим

∆n₁/∆n₂=e^λt (3)

где t — время, прошедшее от первого до второго измерения. Для вычисления l выражение (3) следует прологарифмировать: In(∆n₁/∆n₂)=λt, откуда

λ = (1/t)×ln(∆n₁/∆n₂).

Подставив числовые данные, получим постоянную радиоактивного распада, а затем и период полураcпада:

λ = (1/1)×ln(250/92)ч^-1 = 1ч^-1;

T_1/2 = ln2/λ = 0,693/1 = 0,693ч = 41,5 мин.

Таблица вариантов

Контрольная работа № 5

Вариант Номера задач

Задачи

1. На мыльную пленку (n =1,3), находящуюся в воздухе, падает нормально пучок лучей белого света. При какой наименьшей толщине d пленки отраженный свет с длиной волны λ =0,55 мкм окажется максимально усиленным в результате интерференции?

2. На тонкий стеклянный клин (n =1,55) падает нормально монохроматический свет. Двугранный угол между поверхностями клина составляет α =2^/. Определить длину световой волны, если расстояние между смежными интерференционными максимумами в отраженном свете b =0,3 мм.

3. Поверхности стеклянного клина образуют между собой угол 0,2^/. На клин нормально к его поверхности падает пучок лучей монохроматического света с длиной волны λ =0,55 мкм. Определить ширину интерференционной полосы.

4. Плосковыпуклая линза (n =1,6) выпуклой стороной прижата к стеклянной пластинке. Расстояние между первыми двумя кольцами Ньютона, наблюдаемыми в отраженном свете, равно 0,5 мм. Определить оптическую силу линзы, если освещение производится монохроматическим светом с λ =0,55 мкм, падающим нормально.

5. Две плосковыпуклые линзы с радиусами R₁ и R₂ сложены выпуклыми поверхностями. Радиус m -го светлого интерференционного кольца, наблюдаемого в отраженном свете, равен r_m для длины волны λ. Определить радиус r_m, если R₁ =1,4 м; R₂ =2,7 м; λ =0,59 мкм; m =11.

6. Кольца Ньютона в отраженном свете наблюдаются с помощью плосковыпуклой линзы с радиусом кривизны R₁, положенной на вогнутую сферическую поверхность с радиусом кривизны R₂. Длина волны света равна λ, радиус m -го темного кольца r_m. Определить радиус r_m, если R₁ =1,1 м; R₂ =3,2 м; λ =0,55 мкм; m =5.

7. Кольца Ньютона в отраженном свете наблюдаются с помощью плосковыпуклой линзы с радиусом кривизны R₁, положенной на вогнутую сферическую поверхность с радиусом кривизны R₂. Длина волны света равна λ, радиус m-го темного кольца r_m. Определить радиус r_m, если R₁ =1,4 м; R₂ =2,3 м; λ =0,59 мкм; m =12.

8. Плоская волна падает на круглый диск радиуса r. Точка наблюдения находится на расстоянии b от диска. Ширина зоны Френеля, непосредственно примыкающей к диску, равна x при длине волны λ. Определить радиус r, если b =2,4 м; x =0,95 мм; λ =0,63 мкм.

9. Плоская волна падает на круглый диск радиуса r. Точка наблюдения находится на расстоянии b от диска. Ширина зоны Френеля, непосредственно примыкающей к диску, равна x при длине волны λ. Определить ширину зоны x, если b =1,7 м; r =3,5 мм; λ =0,55 мкм.

10. Плоская волна падает на круглый диск радиуса r. Точка наблюдения находится на расстоянии b от диска. Ширина зоны Френеля, непосредственно примыкающей к диску, равна x при длине волны λ. Определить расстояние b, если x =1,3 мм; r =2,2 мм; λ =0,59 мкм.

11. На диафрагму с круглым отверстием радиусом r =1 мм падает нормально параллельный пучок света с длиной волны 0,5 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние b_max от центра отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.

12. Радиус четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 3 мм. Определить радиус шестой зоны Френеля.

13. Плоская световая волна (λ =0,5 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием диаметром d =1 см. На каком расстоянии b от отверстия должна находиться точка наблюдения, чтобы отверстие открывало: 1) одну зону Френеля? 2) Две зоны Френеля?

14. На щель шириной, а =0,05 мм падает нормально монохроматический свет (λ =0,6 мкм). Определить угол между первоначальным направлением пучка света и направлением на четвертую темную дифракционную полоску.

15. Вследствие изменения температуры абсолютно черного тела максимум спектральной плотности энергетической светимости сместился с 24000 Å на 8000 Å. Как и во сколько раз изменились энергетическая светимость тела и максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости?

16. Температура абсолютно черного тела равна 2000 К. Определить: 1) спектральную плотность энергетической светимости для длины волны λ =6000 Å; 2) энергетическую светимость в интервале длин волн от 5900 Å до 6100 Å. Принять, что среднее значение спектральной плотности энергетической светимости тела в этом интервале равно значению, найденному для длины волны 6000 Å.

17. Энергия, излучаемая через смотровое окошко печи за время t =5 с, равна W. Площадь окошка равна S =5,5 см², максимум в спектре излучения приходится на длину волны λ =1,6 мкм. Определить энергию W.

18. Модель абсолютно черного тела – полость с малым круглым отверстием диаметром d =1,5 см. Нагрев производится электрической спиралью, потребляющей ток I =35 мА при напряжении U =220 В, причем некоторая доля энергии р рассеивается стенками полости. Равновесная температура излучения, исходящего из отверстия, равна Т =870 К. Определить энергию р.

19. Какое количество энергии излучает в течении суток каменное оштукатуренное здание общей поверхностью 1000 м², если коэффициент поглощения (поглощательная способность) при этом 0,8 и температура излучающей поверхности 0 ^°С.

20. Стальная болванка, температура которой 727 ^°С, излучает за 1 с 4 Дж энергии с поверхности 1 см². Определить коэффициент поглощения (поглощательную способность) болванки при данной температуре, считая, что он одинаков для всех волн.

21. 1) Найти насколько уменьшится масса Солнца за год вследствие излучения? 2) Считая излучение Солнца постоянным, найти за какое время масса Солнца уменьшится вдвое. Температуру поверхности Солнца принять равной 5800 К.

22. Поверхность тела нагрета до температуры 1000 К. Затем одна половина этой поверхности нагревается на 100 К, а другая охлаждается на 100 К. Во сколько раз изменится энергетическая светимость поверхности этого тела?

23. Температура абсолютно черного тела изменилась при нагревании от 1000 К до 3000 К. 1) Во сколько раз увеличилась при этом его энергетическая светимость? 2) Насколько изменилась при этом длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости?

3) Во сколько раз увеличилась его максимальная спектральная плотность энергетической светимости?

24. Поток монохроматического излучения (λ =500 нм) падает нормально на плоскую зеркальную поверхность и давит на нее с силой 10^-8 Н. Определить число фотонов, ежесекундно падающих на эту поверхность.

25. Параллельный пучок монохроматических лучей (λ =662 нм) падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление Н/м². Определить концентрацию фотонов в световом пучке.

26. Длина волны λ фотона равна комптоновской длине волны электрона. Определить энергию Е и импульс фотона р.

27. Во сколько раз энергия фотона (λ =550 нм) больше средней кинетической энергии поступательного движения молекулы кислорода при комнатной температуре Т =20 ^°С?

28. Определить поверхностную плотность потока энергии излучения I, падающего на зеркальную поверхность, если световое давление при перпендикулярном падении лучей равно р =10 мкПа.

29. Поток энергии, излучаемый электрической лампой, равен Ф_е =600 Вт. На расстоянии r =1 м от лампы перпендикулярно падающим лучам расположено круглое плоское зеркальце диаметром d =2 см. Принимая, что излучение лампы одинаково во всех направле