Требования к оформлению контрольной работы 2 страница

Рис. 3

Решение: Результирующаяиндукция магнитного поля равна векторной сумме: B=B₁+B₂, где B₁ — индукция поля, создаваемого током 1 ₁; В₂ — индукция поля создаваемого током I ₂.

Если B₁ и В₂ направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

В=В₁+В₂. (1)

При этом слагаемые В₁ и В₂ должны быть взяты с соответствую­щими знаками. В данной задаче во всех трех случаях модули индукций В₁ и В₂ одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от про­водов, по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле

B=m₀I/(2pr). (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули В₁ и В₂:

В₁=В₂=80 мкТл.

1-й случай. Векторы B₁ и В₂ направлены по одной прямой (рис.3, а); следовательно, результирующая индукция В опреде­ляется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз — отрицательным, запишем: В ₁ = - 80 мкТл, В ₂=80 мкТл.

Подставив в формулу (1) эти значения В ₁и B ₂, получим

В=В ₁ +В₂=0.

2-й случай. Векторы В ₁ и В ₂ направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 3, б). Поэтому можем за­писать

В ₁ =В ₂ = – 80 мкТл.

Подставив в формулу (1) значения B ₁ и В ₂ получим

В=В ₁ +В ₂ = – 160 мкТл.

3-й случай. Векторы индукций магнит­ных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис. 3, в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю квадра­та, построенного на векторах В ₁ и В ₂. По теореме Пифагора найдем

(3)

Подставив в формулу (3) значения В ₁и В ₂, получим B =113 мкТл.

Пример 3. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемо­го отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равно­удаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r ₀ = 20 см от середины его (рис. 4). Сила тока I, текущего по про­воду, равна 30 А, длина l отрезка равна 60 см.

Решение. Для определения магнитной индукции поля, соз­даваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био -Савара-Лапласа: dB dl (1)

Прежде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу a. Выразим длину элемента dl проводника через da. Согласно рис. 4, запишем

. Рис. 4

 

Подставим это выражение dl в формулу (1):

dB

Но r — величина переменная, зависящая от a и равная . Подставив r в предыдущую формулу, найдем

(2)

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого от­резком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от a₁ до a₂:

(3)

Заметим, что при симметричном расположении точки A относитель­но отрезка провода cos a₂= – cos a₁. С учетом этого формула (3) примет вид

.

Из рис. 4 следует

Подставив выражение cos a₁ в формулу (4), получим

∙ .

Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вы­числения:

Пример 4. Длинный провод с током I =50 А изогнут под углом a=2p/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 5). Расстояние d=5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. В соответ­ствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная ин­дукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций B₁ и В₂ полей, создаваемых отрезками длинных проводов

1 и 2, т. е. В = В ₁ +В ₂. Магнитная индукция В ₂равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси проводника, d В = 0([ dl,r ]=0).

Магнитную индукцию В ₁ найдем, воспользовавшись формулой (3), полученной в примере 3:

,

где r₀ — кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А (рис. 6)

В нашем случае α₁→0 (проводник длинный), α₂=α==2π/3 (cos α₂= cos (2π/3))=–½. Расстояние r ₀ =d sin (π−α)= d sin(π/3)= . Тогда магнитная индукция

Так как В=В₁ (В₂= 0), то

Вектор В сонаправлен с вектором В ₁ и определяется правилом правого винта. На рис. 6 это направление отмечено значком X (перпендикулярно плоскости чертежа от нас).

 

Рис. 5 Рис. 6

Проверка единиц аналогична проверке выполненной в примере 1.

Произведем вычисления:

Пример 5. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I =80 А. Найти магнитную индукцию В в точке A, равно­удаленной от всех точек кольца на расстояние г=20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био — Савара — Лапласа:

dB [ dl,r ] ,

 

где dB —магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в точке, определяемой радиус-вектором r.

 

 

Рис. 7

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 7). Вектор d B направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукции В в точке А определяется интегралом

где интегрирование ведется по всем элементам dI кольца Разложим вектор d B на две составляющие: dB_┴ – перпендикулярную плоскости кольца и d B _║ — параллельную плоскости кольца, т. е.

d B= d B_^+ d B _½½. Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы d B_┴ от различных элементов d I сонаправлены, заменим векторное суммирование, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

где (поскольку d I перпендикулярен r и, следовательно, sina=1). Таким образом,

После сокращения на 2π и замены cos β на R/r (рис. 7)

Выразим все величины в единицах СИ, произведем вычисления:

или

Вектор В направлен на осикольца (пунктирная стрелка на рис. 7) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 6. бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 8. Радиус дуги окружности R =10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в токе О током I =80 A, текущим по этому проводнику.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей В=∑В_i. В на­шем случае проводник можно разбить на три части (рис. 9) два прямолинейных проводника (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

B = B ₁+ B ₂+ B ₃

где B ₁, В ₂ и В ₃ — магнитные индукции поля в точке О, создавае­мые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника.

 

 

Рис. 8 Рис. 9

 

Так как точка О лежит на оси проводника 1, то В ₁=0и тогда

B=B₂+B₃

Учитывая, что векторы В ₂ и В ₃ направлены в соответствии с пра­вилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, гео­метрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В=В₂+В₃.

Магнитную индукцию поля В ₂можно найти, используя выраже­ние для магнитной индукции в центре кругового проводника с то­ком I:

Так как магнитная индукция В ₂создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать

Магнитную индукцию В ₃найдем, используя формулу (3) при­мера 3:

В нашем случае

 

Тогда

Используя найденные выражения для В₂ и В₃ получим

или

Произведем вычисления:

Пример 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l =2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d =20 см друг от дру­га, текут одинаковые токи I =1 кА. Вычислить силу F взаимодей­ствия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток соз­дает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Пред­положим, что оба тока (обозначим их 1_г и I ₂) текут в одном направ­лении.

Вычислим силу F ₁,₂, с которой магнитное поле, созданное током I ₁, действует на проводник с током I ₂. Для этого проведем магнит­ную силовую линию так (штриховая линия на рис. 10), чтобы она касалась проводника с током I ₂. По касательной к силовой линии проведем вектор магнитной индукции В ₁. Модуль магнитной индук­ции B ₁ определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током I ₂ длиной dl₂ действует в магнитном поле сила

Так как отрезок dl перпендикулярен вектору B ₁, то

и тогда

(2)

 

Подставив в выражение (2) В ₁из (1), получим

 

Рис. 10

Силу F _1,2 взаимодействия проводников с током найдем интегрированием по всей длине второго проводника;

Заметив, что I ₁= I ₂= I и l₂=l, получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы

Произведем вычисления:

Сила F ₁,₂ сонаправлена с силой d F ₁,₂ (рис. 10) и определяется (в данном случае это проще) правилом левой руки.

Пример 8. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R= 10 см находится в однородном магнитном поле (B =50 мТл). По проводу течет ток I =10 А. Найти силу F, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводя­щие провода находятся вне поля.

Решение. Распо­ложим провод в плоско­сти чертежа перпенди­кулярно линиям маг­нитной индукции (рис. 11) и выделим на нем малый элемент d l с то­ком.

 

 

Рис. 11

На этот элемент тока Idl будет действо­вать по закону Ампера сила d F = I [dlB]. Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рис. 11. Силу d F представим в виде

где i и j — единичные векторы (орты); dF_x и dF_y — проекции векто­ра d F на координатные оси Ох и Оу.

Силу F, действующую на весь провод, найдем интегрированием:

где символ L указывает на то, что интегрирование ведется по всей длине провода L.

Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю

тогда

(1)

Из рис. 11 следует, что

где dF— модуль вектора Так как векторdlперпендикулярен вектору то Вы­разив длину дуги d l через радиус R иугол α, получим

Тогда

 

Введем dF_y под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пре­делах от -π/2 до +π/2 (как это следует из рис. 11):

Из полученного выражения видно, что сила F сонаправлена с положительным направлением оси Оу (единичным вектором j).

Найдем модуль силы F:

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

Произведем вычисления:

Пример 9. На проволочный виток радиусом г=10см, помещен­ный между полюсами магнита, действует максимальный механиче­ский момент М_max=6,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2А. Опреде­лить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Дей­ствием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение. Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с то­ком в магнитном поле,

(1)

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α=π/2(sin α=l), а также что p_m=IS, то формула (1) примет вид

Отсюда, учитывая, что S= πr ², находим

(2)

Произведя вычисления по формуле (2), найдем

В =104 мкТл.

Пример 10. Квадратная рамка со стороной длиной а =2см, содер­жащая N=100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения С которой равна 10 мкН·м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнит­ного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I= 1А она повернулась на угол α=60°.

Решение. Индукция В внешнего поля может быть найдена из условия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в рав­новесии, если сумма механических моментов, действующих на нее, будет равна нулю:

M=0.

В данном случае на рамку действуют два момента (рис. 12): M ₁ — момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током, и М ₂ — момент упругих сил, возникающих при за­кручивании нити, на которой рамка подвешена.

Рис. 12

Следовательно, формула (1) может быть переписана в виде

M ₁ + M ₂=0

Выразив М ₁и М ₂в этом равенстве через величины, от которых зависят мо­менты сил, получим

 

(2)

Знак минус перед моментом М ₂ста­вится потому, что этот момент противо­положен по направлению моменту M ₁.

Если учесть, что p_m=ISN=Ia²N, где I — сила тока в рамке; S=a² — площадь рамки; N — число ее витков, равенство (2) перепишем в виде

откуда

(3)

Из рис. 12 видно, что α=π/2 — φ, значит, sin α=cos φ. С учетом этого равенство (3) примет вид

(4)

Значение постоянной кручения С, рассчитанной на градус (а не радиан, как это следовало бы выразить в СИ), запишем в виде

так как значение угла φ также дано в градусах.

Подставим данные в формулу (4) и произведем вычисления:

Пример 11. Плоский квадратный контур со стороной длиной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в од­нородном магнитном поле индукцией В= 1Тл. Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относи­тельно оси, проходящей через середину его противоположных сто­рон, на угол: 1) φ₁=90°; 2) φ₂= З⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. На контур с током в магнитном поле действует механический момент

(1)

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю

(М =0), а значит φ=0, т. е. векторы р_m и В совпадают по направле­нию.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремить­ся возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла φ поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

dA = Mdj (2)

Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что р_т= IS=Ia², где I — сила тока в контуре, S=a² — площадь контура, получим

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(3)

1. Работа при повороте на угол φ₁=90⁰

(4)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу работы (Дж):

После вычисления по формуле (4) найдем A₁=l Дж.

2. Работа при повороте на угол ф₂=3°. В этом случае, учитывая, что угол ф₂ мал, заменим в выражении (3) sin φ на φ:

(5)

Выразим угол φ₂ в радианах (см. табл. 9)

Φ₂=3⁰=3·l,75·10^-2 рад=0,0525 рад.

После подстановки значений I, В, а и φ₂ в формулу (5) получим А ₂=1,37 мДж.

 

Пример 12. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциа­лов U =400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией B =1,5 мТл. Определить: 1)радиус R кривизны траектории; 2)ча­стоту п вращения электрона вмагнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции.

Решение. 1. Радиус кривизны траектории электрона опре­делим, исходя из следующих соображений: на движущийся в маг­нитном поле электрон действует сила Лоренца F. (Действием силы тяжести можно пренебречь.) Вектор силы Лоренца перпендикуля­рен вектору скорости и, следовательно, по второму закону Ньютона, сообщает электрону нормальное ускорение а_n : F=ma_n. Подставив сюда выражения F и а_n, получим

| e | uB sin a=mu²/R, (1)

где е, u, т — заряд, скорость, масса электрона; В — индукция маг­нитного поля; R — радиус кривизны траектории; a — угол между направлениями векторов скорости v и индукции В (в нашем случае v ^ B и a = 90°, sin a =l).

Из формулы (1) найдем

(2)

Входящий в выражение (2) импульс mu выразим через кинетическую энергию Т электрона:

(3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством Т= | e | U. Подставив это выражение Т в формулу (3), получим