Оқу пәнінің саясаты

Дәріс және практикалық сабақтардың мерзімі-50 минут. Студент оқытылатын курс дәрісінің қысқаша мазмұнын конспектілеп отыруы тиіс, практикалық және үй тапсырмаларын орындауы, сабаққа кешікпей келуі, ұялы телефонды ағытып қоюы және оқу процесіне белсенді қатысуы тиіс. Бақылау жұмыстарын, коллоквиумдарды, емтихандарды уақытылы тапсыруы тиіс. Студенттің аудиториялық сабақтарға қатысуы міндетті. Себепті және себепсіз сабақта болмаған жағдайда студент оқу-әдістемелік кешенінде көрсетілген сабақ көлеміне сәйкес өз бетімен дайындалып, конспектілейді. Аралық бақылау сұрақтарына оқытушы студенттің өздік жұмысына берілген тапсырмалардан енгізуге құқылы.

 

Студенттің сабаққа кешігуі, сабаққа келмеуі және сабақ барысындағы іс-әрекеті «Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ-дың ішкі тәртібінің ережелерімен» реттеледі.

Қорытынды бақылау студенттің тікелей қатысуынсыз жүргізілмейді. Студенттің емтиханға келмеуі «Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ-де оқу процессін ұйымдастыруының ережелерімен» реттеледі

 

 

 

Жоғары математика және математика әдістемесі кафедрасының әдістемелік

комиссиясы отырысында талқыланды, протокол № ____ «___» __________2012ж.

 

 

Кафедра меңгерушісі _____________________ Н.Ә.Боқаев

 

Оқу пәні бойынша глоссарий

1. Матрица – m жолдан және n бағаннан тұратын кесте.

2. Матрицаның рангі – матрицаның нөлден өзгеше минорларының ең үлкен реті.

3. Rⁿ -вектор реттелген n санынан тұратын тізбек.

4. Басты жинақ - зерттелген объектілер жиынтығы.

5. Таңдалым - басты жиынтықтан кездейсоқ алынған объектілер жиынтығы.

6. Функцияның нүктедегі шегі - егер кез келген Ɛ › 0 саны үшін х=а нүктесінің аймағы табылып, осы аймақтағы әрбір х(х≠а) үшін │ f(х) - А │˂ Ɛ теңсіздігі орындалса, онда А санын f(х) функциясының х=а нүктесіндегі шегі деп атайды.

7. Үздіксіз функция – егер х=х₀ нүктесінің аймағында анықталған у= f(х) функциясы үшін lim f(х) = f(х₀), теңдігі орындалса, онда у= f(х) функциясын х=х₀ нүктесінде үздіксіз деп атайды.

8. Функцияның туындысы – f(х) - f(х₀) / х=х₀ қатынасының х→ х₀ ұмтылғандағы шегі бар болса, онда бұл шекті у= f(х) функциясының х=х₀ нүктесіндегі туындысы деп атайды. Бұл жерде у= f(х) функциясы х=х₀ нүктесінің маңында анықталған дпе есептейміз

9 Функцияның дифференциалы dy=f′(х₀) ∆х формуласымен анықталады.

10.Егер (а,в) аралығында анықталған у= f(х) және y=F(х) функциялары үшін F′(х) = f(х) теңдігі орындалса, онда F(х) функциясын f(х)- тің алғашқы функциясы деп атайды.

11. (а,в) аралығында анықталған у= f(х) функциясының барлық алғашқы функциялары жиынтығын f(х)- тің анықталмаған интегралы деп атайды және оны ʃ f(х) dх арқылы белгілейді.

 

 

3. Дәрістің қысқаша конспектісі

Дәріс 1

Матрицалар.Матрица түрлері.Матрицаларға қолданылатын сызықтық амалдар.Аударылған матрицалар.Квадрат матрицаның анықтауышы.Анықтауыштың негізгі қасиеттері.Лаплас теоремасы.

M жолдан және n бағаннан тұратын сандар кестесін m*n өлшемді матрица деп атайды.Матрицларды үлкен латын әріптері A,B,C,… арқылы белгілейді.Матрицаның жалпы түрі мынадай болады:

a₁₁ a₁₂ a_{13 ………..} a_1n

A= a₂₁ a₂₂ a_{23 ………..} a_2n

..............

a_m1 a_m2 a_{m3 ………..} a_mn

Бұл жерде а_ij арқылы i-ші жол мен j-ші бағанның қиылысында орналасқан сан (немесе басқаша айтқанда элемент) белгіленген.А матрицасы,көп жағдайда,қысқаша былай жазатын боламыз:

A=(a_ij)

Төменде матрицаларға қолданылатын үш түрлі амалдарды мысалдар келтіре отырып қарастырамыз.

1)Өлшемдері бірдей А мен В матрицаларының қосындысы болатын С матрицасын табу үшін олардың сәйкес элементтерін қосу керек.Белгілеуі С=А+В.

Мысал 1.

А= 2 1 0 B= 1 -1 2

-3 4 -2 2 -3 2

 

C=A+B= 3 0 2

-1 1 0

2)A матрицасының санына көбейтіндісін табу үшін осы матрицаның әрбір элементін -ға көбейту керек.Белгілеуі С=A

Мысал 2.

 

А= -1 3 0 C=2A= -2 6 0

2 4 -3,=2. 4 8 -6

3)Кез келген екі матрицаны көбейтуге болмайды.Егер А=(a_ij) матрицасының бағандарының сaны В=(b_ij) матрицасының жолдарының санына тең болса,яғни А m*k өлшемді,ал В k*n өлшемді болса,онда оларды көбейтуге болады және осы матрицалардың көбейтіндісі деп,m*n өлшемді С=(С_ij) матрицасын айтады,бұл жерде

C_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+….+a_ikb_kj=a_ipb_pj (1)

Белгілеуі С=А*В

(1) Формуланың мағынасы- көбейтінді матрицаның C_ij элементін табу үшін А матрицасының і-ші жолы мен В матрицасының j-ші бағанының сәйкес элементтерін көбейту керек те,осы көбейтінділердіңқосындысын алу керек.

Мысал 3.

А= 2 -1 В= 4 5 С=А*В= 15 4

0 3 -7 6 -21 18

Матрицаларға қолданылатын амалдардың мынадай қасиеттерін келтірейік:

А+В=В+А, (А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС), (А+В)С=АС+ВС,

А(В+С)=АВ+АС. (2)

Мысал 4.

2 -1 =2*4-3*(-1)=8+3=11

3 4

 

 

Үшінші ретті квадрат матрица

a₁₁ a₁₂ a₁₃

A= a₂₁ a₂₂ a₂₃ -ның анықтауышы деп,мынадай санды айтады

а₃₁ a₃₂ a₃₃

 

a₁₁ a₁₂ a₁₃

= a₂₁ a₂₂ a₂₃ =a₁₁a₂₂a₃₃+a₃₁a₁₂a₂₃+a₂₁a₃₂a₁₃-a₃₁a₂₂a₁₃-a₁₁a₃₂a₂₃-

a₃₁ a₃₂ a₃₃ -a₂₁a₁₂a₃₃ (3)

Мысал 5.

3-1 0

= 2 4 -3 =3*4*2+1*(-1)(-3)+2*5*0-1*4*0-2*(-1)*2-3*5*(-3)=24+3+4+45=

1 5 2

 

=76

(3) формуланы қолданғанда қандай қосылғыштардың «+» таңбасымен,ал қандай қосылғыштардың «-»таңбасымен алынатынын есте ұстау үшін мынадай үшбұрыштар ережесі пайдалы болып табылады.

«+» «-»

 

Анықтауыштың негізгі қасиеттерін келтірейік:

1)Аударылған матрицаның анықтауышы өзгермейді.

2)Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса,онда ол анықтауыштың мәні нөлге тең болады.

3)Егер анықтауыштың кез келген жолының элементтерін санына көбейтсек,онда анықтауыш осы санға көбейтіледі.

4)Егер анықтауыштың екі жолы пропорционал болса,онда мұндай анықтауыш нөлге тең болады.

5)Егер анықтауыштың кез келген жолының элементтерін бір санға көбейтіп,басқа бір жолының сәйкес элементтеріне қоссақ,онда анықтауыш өзгермейді.

6)Анықтауыштың қандай да бір жолының элементтерінің ортақ көбейткішін анықтауыштың таңбасының алдына көбейткіш ретінде шығаруға болады.

7)Егер анықтауыштың і-ші жолының барлық элементтері a_ij=b_ij + c_ij ,екі қосылғыштың қосындысы түрінде берілсе,онда ол екі анықтауыштың қосындысына тең болады,бұлардың і-шіден өзге барлық жолдары берілген анықтауыштікімен бірдей болады да,ал қосылғыштардың біріндегі і-жол в_ij элементтерінен тұрады,екіншісінде -с_ij элементтерінен тұрады.

Мысал 6.

a₁₁ b₁₂+c₁₂ a₁₃ a₁₁ b₁₂ a₁₃ a₁₁ c₁₂ a₁₃

a₂₁ b₂₂+c₂₂ a₂₃ = a₂₁ b₂₂ a₂₃ + a₂₁ c₂₂ a₂₃

a₃₁ b₃₂+c₃₂ a₃₃ a₃₁ b₃₂ a₃₃ a₃₁ c₃₂ a₃₃

 

Анықтауыштың келесі екі қасиеті минор және алгебралық толықтауыш ұғымдарымен байланысты болады.

 

Анықтауыштағы бір элементтің миноры деп,анықтауыштағы осы элемент орналасқан жол мен бағанды сызып тастағанда пайда болған анықтауышты айтады.Мысалы,үшінші ретті анықтауыштың а₁₁ элементінің миноры

а₂₂ а₂₃ болады.a_ij элементінің минорын M_ij арқылы белгілейді.

а₃₂ а₃₃ Анықтауыштағы a_ij элементінің алгебралық толықтауышы

A_ij мына формуламен анықталады: A_ij =(-1)^i+j M_ij (4)

Енді анықтауыштың келесі екі қасиетін келтірейік.

Ескерту 1. АВ=ВА теңдігі кейде орындалмайды.Мысалы,үшінші мысалдағы А мен В матрицалары үшін ВА=8 11

-14 25,яғни АВ=ВА.

Берілген А матрицасының жолдарын сәйкес бағандарымен алмастырғанда шыққан матрицаны А^т арқылы белгілейді де,А матрицасының аударылған матрицасы дейді.Мысалы,

А= а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₁ а₂₁ а₃₁

а₂₁ а₂₂ а₂₃ болса,онда А^т = а₁₂ а₂₂ а₃₂

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₁₃ а₂₃ а₃₃

Егер матрицаның жолдарының саны m мен бағандарының саны n бірдей болса,яғни m=n болса,онда мұндай матрицаны n-ші ретті квадрат матрица дейді.

Екінші ретті квадрат матрица А= а₁₁ а₁₂ -ның анықтауышы деп,

а₂₁ а₂₂

 

мынадай санды айтады =а₁₁а₂₂-а₂₁а_12.Осы анықтауыш көбінесе былай белгіленеді = а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₂ = а₁₁а₂₂-а₂₁а_12.

а₂₁ а₂₂ , сонымен а₂₁ а₂₂

8)Анықтауыштың кез келген жолының элементтерінің өзіне сәйкес алгебралық толықтауышына көбейтінділерінің қосындысы анықтауыштың мәніне тең:

=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…….+a_inA_im (5)

(5) формуласын,кейде анықтауыштың элементтерін жол бойынша жіктеу дейді.

Келтірілген 8) қасиетті Лаплас теоремасы деп атайды.

Ескерту 2. (5) формуланың көмегімен 4-ші,5-ші,.....,n-ші ретті анықтауыштарды анықтауға болады.

9)Егер анықтауыштың кез келген жолының элементтерін басқа бір жолдың сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қоссақ,онда анықтауыш нөлге тең болады.

Ескерту 3. Жоғарыда анықтауыштың барлық қасиеттері тек жол бойынша айтылды,бұл қасиеттер анықтауыштың бағандары үшін де дұрыс болады.

Ескерту 4. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар үшін жоғарыдағы қасиеттердің дұрыстығына тексеру арқылы бірден көз жеткізуге болады.

 

 

Дәріс 2

 

Кері матрица. Кері матрицаның бар болуының қажетті және жеткілікті шарты. Матрицаның рангісі. Матрицаның элементар түрлендіруі.

 

 

§1. Кері матрица.

Бас диогоналында ылғи 1-лер орналасқан, ал басқа жерлерінде 0 саны орналасқан квадрат матрицаны бірлік матрица дейді. Бірлік матрица Е әрпімен белгіленеді.

 

Мысал 1.

 

E= – екінші ретті бірлік матрица.

 

Кез келген квадрат А матрицасы үшін

АЕ=ЕА=А (1)

теңдігі орындалатыны түсінікті.

 

Анықтама 1.

А-n-ші ретті берілген квадрат матрица болсын. Егер реті осындай А-1 матрица ушiн А*= *A=E (2)

теңдігі орындалса, онда матрицасын А матрицасына керi матрица дейді.

 

Теорема 1.

А=()-n-ші ретті берілген квадрат матрица болсын және оның анықтауышы ∆ нөлден айрықша болсын, сонда А матрицасына кері матрица бар және ол мынадай формуламен табылады:

=

 

…

 

Бұл жерде дегеніміз элементінің алгебралық толықтауышы.

 

Ескерту 1.

А-1 матрицасының i-ші бағанында А матрицасының i-ші жолында орналасқан элементтердің алгебралық толықтауыштарын ∆-ға бөлгендегі сандар орналасқанын байқауға болады.

n=2 A= = =, =, =, =, яғни (4)

 

 

Мысал 2. A=, ∆= =10, (4) формула бойынша =.

(2) теңдіктерді тексеру оңай.

 

n=3 A=, ∆=30,

 

==-5, =-=11, = =-13, =-=-10,

 

==4, =-=-2, ==5, =-=1, ==7

 

= =

 

(1) Теңдіктердің біреуін тексеру жеткілікті екенін көрсетуге болады.

 

Теорема 2. (кері матрицаның бар болуының қажетті және жеткілікті шарты). А матрицасына кері матрица бар болуы үшін осы А матрицаның анықтауышы ∆-ның нөлден айрыөша болуы қажетті және жеткілікті шарт.

 

§2. Матрицаның рангісі

Айталық, өлшемі болатын А матрицасының қалауымызша к жолдары мен к бағандарын бөліп алдық дейік. Сол жолдар мен бағандардың қилысында тұрған элементтер реті к болатын квадраттың матрица құрайды, оның анықтауышы матрицаның к-шы ретті миньоры деп аталады, к-ретті миньорды әріпімен белгілейді.

 

Анықтама 2. Матрицаның нөлден өзгеше миниорларының ең үлкен геті Z матрица рангісі деп аталады. А матрицаның рангісін Z(A) арқылы белгілейді. Нөлден өзгеше, реті Z миниордың әрқайсысы базистік миниор деп аталады. Матрицаның рангісі m мен m-нің ең кіші мәнінен үлкен болмайды.

Матрицаның рангісін екі түрлі жолмен есептеуге болады:

1. Жиентеме миниорлар тәсілі.

2. Айталық, матрицадан нөлден өзгеше к-ретті миниор табылды делік. Енді осы миниорды қамтитын (жиентейтін) (k+1)-ші ретті миниорларды қарастырайық, егер де олардың барлығы да нөлге тең болса, онда матрица рангісі k-ға тең болады. Керісінше жиентеме миниорлардың арасынан нөлге тең болмайтын (k+1)-ші ретті миниор табылса, онда осы процесс қайталана береді.

 

Мысал 1. A=

 

Матрицаның рангісін тап.

 

Берілген матрицаның бірінші және екінші бағандарын алмастырайық та, бірінші жолды -ге көбетіп үшінші бағанға қосайық, одан кейін бірінші жолды әлдебір санға көбейтіп қалған жолдарға қоса отырып мынадай матрицаға келеміз

 

 

Енді екінші жолды -1-ге көбейтейік, одан кейін үшінші жолдан үшке көбейтілген екінші жолды шегеріп, сол силатп екінші жолды екіге көбейтіп бесінші жолдан шегерсен, одан кейін біріңғай нөлдерден тұратын жолдарды сызып тастасақ, матрица мынадай түрге келеді: () олай болса, А матрицаның рангісі екіге тең.

 

 

Дәріс 3.

Теңдеулер жүйелерінің үйлесімділігі. Кронекер-Капелли теоремасы.

Крамер ережесі. Матрицалық теңдеулерді шешу.

§1.Теңдеулер жүйелерінің үйлесімділігі. Кронекер-Капелли теоремасы.

Сызықты теңдеулер жүйесі ең жалпы түрде мынадай болады:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1nх_n=в₁,

а₂₁х₁+а₂₂х₂+...+а_2nх_n=в₂, (1)

...................................

а_m1х₁+а_m2х₂+...+а_mnх_n=в_m

Анықтама 1. Егер (1) жүйенің ең болмағанда бір шешуі бар болса, онда мұндай жүйені үйлесімді жүйе дейді. Ал егер (1) жүйенің шешуі жоқ болса, онда бұл жүйені үйлесімсіз жүйе дейді.

Мысал 1. 3х₁+2х₂=3

2x₁+4x₂=2 - үйлесімді жүйе, мұның тек бір ғана шешуі бар.

Мысал 2. х₁+2х₂=1

2x₁+4x₂=2 - үйлесімді жүйе, мұның шешуінің саны шексіз көп.

Мысал 3. х₁+2x₂=1

2x₁+4x₂=3 - үйлесімсіз жүйе, себебі бұл жүйенің шешуі жоқ.

(1) жүйеге байланысты мынадай екі матрицаны қарастырайық:

а₁₁а₁₂...а_1n а₁₁а₁₂...а_1nв₁

A= а₂₁а₂₂...а_2n және Ā= а₂₁а₂₂...а_2nв₂

..................................

а_m1а_m2...a_mn а_m1a_m2...a_mnв_m

А матрицасы (1) жүйенің негізгі матрицасы дейді, ал Ā матрицасын А матрицасының кеңейтілген матрицасы дейді.

Кронекер-Капелли теоремасы. (1) сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің үйлесімді болуы үшін, оның негізгі матрицасының рангісі, кеңейтілген матрицасының рангісіне тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни r(A)=r(Ā).

 

§2. Крамер әдісі.

Екі белгісізден және екі теңдеуден сызықтық теңдеулер жүйесі жалпы түрде былай жазылады:

а₁₁х+а₁₂у=в₁,

а₂₁х+а₂₂у=в₂ (2)

(1) жүйеге байланысты мынадай үш анықтауышты қарастырайық:

Δ =, Δ₁=, Δ₂=

Δ-ны берілген жүйенің бас анықтауышы дейді, ал Δ₁ мен Δ₂-ні жүйенің қосалқы анықтауыштары дейді_.. матрицасын (1) жүйенің бос мүшесі дейді.

Δ-дан Δ₁ шығару үшін Δ-дағы 1-ші бағанның орнына жүйенің бос мүшесін қою керек, ал Δ-дан Δ₂-ні шығару үшін Δ-дағы 2-ші бағанның орнына жүйенің бос мүшесін қою керек.

Теорема 1. Егер (1) жүйенің бас анықтауышы Δ нөлден өзгеше болса, онда (1) жүйенің шешуі бар және ол жалғыз ғана болады. Осы шешу мынадай Крамер ережесімен табылады:

х=, у= (3)

Ескерту 1. (1) жүйені мектептегідей жолмен шығарсақ (3) формулаларға келетінімізді көрсету оңай.

Мысал 1. 4х+5у=40

5x+4y=41

Δ==-9, Δ₁==-45, Δ₂= =-36

(3) формула бойынша х=5, y=4

Үш белгісізден және үш теңдеуден тұратын сызықтың теңдеулер жүйесі жалпы түрде былай жазылады:

а₁₁х+а₁₂у+а₁₂z=в₁,

а₂₁х+а₂₂у+а₂₃z=в_2, (4)

а₃₁х+а₃₂у+а₃₃z=в₃

(4) жүйеге байланысты мынадай 4 анықтауышты қарастырамыз:

Δ=, Δ₁=,

Δ₂=, Δ₃=

Δ-ны жүйенің бас анықтауышы дейді, ал Δ₁,Δ₂,Δ₃-терді жүйенің қосалқы анықтауыштары дейді.

Теорема 2. Егер (4) жүйенің бас анықтауышы Δ нөлден өзгеше болса, онда осы жүйенің шешуі бар және ол жалғыз ғана болады. Осы шешу мынадай Крамер ережесімен табылады:

х=, y=, z= (5)

Мысал 2. х+2у-z=1

-3x+y+2z=0 Δ=30, Δ₁=5, Δ₂=13, Δ₃=1,

x+4y+3z=2, x=, y= z=

Ескерту 2. Егер берілген жүйенің бас анықтауышы нөлге тең болса, онда мұндай жүйенің шешуі болмауы мүмкін немесе шексіз көп шешулері болуы мүмкін.

Мысал 3. х+2у=1

2x+4y=3, Δ=0, шешуі жоқ.

 

 

Мысал 4. х+2у=1

2x+4y=2, Δ=0, шешулері шексіз көп.

 

§3. Матрицалық әдіс.

n=3 a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃=в₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃=в₂

а₃₁х₁+а₃₂х₂+а₃₃х₃=в₃ , Δ≠0 болсын.

Мынадай матрицаларды қарастырайық:

А=, x=, B=.

Сонда (1) жүйе осы матрицалардың көмегімен қысқаша былай жазылады:

A_X=B (2)

Δ≠0, болғандықтан А^-1 бар. (2) теңдіктің екі жағын да сол жақтан А^-1-ге көбейтейін:

А^-1(Ax)=A^-1B, немесе (AA^-1)x=A^-1B.

АА^-1=Е және Ех=x екенін ескерсек, х=A^-1B (3)

формуласы шығады. Осы формуланың көмегімен берілген жүйені матрицалық әдіспен шығаруға болады.

Мысал 1. х₁+2х₂-х₃=1

-3x₁+x₂+2x₃=0 (4)

x₁+4x₂+3x₃=2

A=, X=, B=.

2 дәрісте шығарғанымыздай: Ā=

Енді (3) формула бойынша

x=A^-1B=, яғни x₁=, x₂=, x₃=.

 

 

Дәріс 4