Кеңістіктегі түзудің теңдеуі

=(k,l,m) векторы кеңістікте берілген түзуіне параллель векторы болсын,осы векторды түзудің бағыттауыш векторы дейді. түзуі М(х,у,z) нүктесі арқылы өтетін болсын. М(х,у,z) түзуінің бойындағы кез келген нүкте болсын.

Ммен коллинеарлы (1)

Бұл түзудің канондық теңдеуі.Түзуді екі жазықтықтың қиылысуы түрінде қарауға болады. Сонда жалпы теңдеуі шығады: (2)

Дәріс 9

Анализге кіріспе

§1 Ақырсыз аз, ақырсыз үлкен шамалар.

Функцияның шегі, біржақты шектер.

Анықтама 1.

y=f(x) функциясы нүктесінің қандай да бір аймағында анықталған болсын. Сонда А саны y=f(x) функциясының

х → ұмтылғандағы шегі деп аталады, егер кез-келген Ԑ >0

саны үшін S=S(Ԑ) >0 саны табылып, 0 ˂ (х-) ˂ S теңсіздігі орындалғанда │ Ԑ(x) -A│ теңсіздігі орындалса.

Егер А саны y=f(x) функциясының х → ұмтылғандағы шегі болса, онда оны келесі түрде жазамыз:

lim f(x) = A жазуы, кез-келген Ԑ >0 саны үшін

жазуы, кез-келген Ԑ >0 саны үшін N = N(Ԑ) >0 саны табылып,

│ х │>N болғанда │f(x)- А │ Ԑ теңсіздігі орындалатындығын білдіреді.

Егер х ˂ а және х→ а, онда х→ а – 0 жазуын қолданамыз; Егер х>а және х→ а онда
х→ а + 0 жазуын қолдан
амыз.

Анықтама 2
және

 

Сандары f(x) функциясының а нүктесіндегі сәйкес сол және оң жақ шектері деп аталады.

Сол немесе оң жақ шекті бір сөзбен біржақты шектері деп аталады.

Анықтама 3

Егер
болса, онда f(x) функциясы ақырсыз аз деп аталады.

Анықтама 4

Егер 0˂│х - 0│˂S болғанда │f(x)│>M теңсіздігі орындалса, мұндағы М кез-келген оң сан, ондаболады.

Мұндай жағдайда f(x) функциясы х→ а ақырсыз үлкен депаталады. Шектерді есептеу кезінде мына теорема пайдаланылады.

Теорема1

Егер f(x) және g(x) функцияларын х→ а болғанда шектерібар болса, онда f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x) * g(x), және f(x) / g(x), (lim g(x)≠0 болуы керек) х→ а болғанда шектері бар және мына теңдіктер орындалады:

1)

2)

3)

4)

Сонымен бірге шектерді есептеу негізінде төменгі екі тамаша шектерді де жиі қолданамыз.

1. (бірінші тамаша шек)

2.= e (екінші тамаша шек)

§2Функция үзіліссіздігі және олардың қасиеттері

Анықтама у=f(x) функциясы х=нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер ол нүктесінде және оның қандай да бір аймағында анықталған және болса.

Үзіліссіз функцияның қасиеттері:

1)Егер f(x) және g(x) функциялары нүктесінде үзіліссіз болса, онда олардың қосындысы, айырылып, көбейтіндісі және қатынасы (егер) да

үзіліссіз функциялары болады.

2)Барлық элементарлық функциялар өздерінің анықталу облысында үзіліссіз.

§3 Функцияның үзіліс нүктелері және классификациясы

Анықтама1

Егер қандай да бір x= нүктесінде y=f(x) функциясы үшін үзіліссіздіктің ең кемінде бір шарты орындалмаса, яғни х= болған кезде функция анықталмаған немесе шегі болмаса немесе

х → болғанда болса, бірақ теңдіктің оң жағындағы және сол жағындағы өрнектердің мәні бар болса, онда y=f( функциясы х= нүктесінде үзілісті (үздікті) деп аталады.

Анықтама2

Егер y=f( функциясының және ақырғы шектері бар, бірақ немесе х= нүктесінде функцияның мәні болмаса, онда х= нүктесі 1-ші тектегі үзілістік нүктесі болады.

Анықтама3

Егер y=f( функциясының х= нүктесінде немесе шектері жоқ немесе шексіздікке тең болса, онда х=

Нүктесі 2-ші тектегі үзілістік нүктесі болады.

 

Дәріс 10

§1 Туынды түсінігі

Аргументтің және мәндері y=f( функциясының және мәндеріне сәйкес келсін.

Аргументтердің ∆х= айырмасы аргумент өсімшесі деп аталады, ал ∆у= айырмасы ⦋ кесіндісіндегі функция өсімшесі деп аталады.

Анықтама1

y=f( функциясының х аргументі бойынша туындысы дегеніміз,осы функцияның өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының ∆х →0 ақырлы шегін айтамыз және келесі белгілердің бірі арқылы белгілейміз:

,, dy/dx

Сонымен анықтама бойынша

=(x)== =

Функциялық туындысын табу амалы y=f(x)

Функциясын дифференциалдау деп аталады.

Туындының геометриялық мағынасына, механикалық мағынасына және туындылар кестесіне тоқталу керек.

 

 

§2Функция дифференциалы және оның геометриялық мағынасы

Егер y=f( функциясының х нүктесіндегі (x)
туындысы болса, онда (x) туындысының аргумент өсімшесі ∆х-на көбейтіндісі функцияның дифференциалы деп аталады және dy символымен белгіленеді:

dy= (1)

Енді y=x функциясының дифференциалын табамыз

∆, яғни.

Енді (1) теңдікті мына түрде жазуға болады:

dy= (2)

Дифференциалдың геометриялық мағынасы:

дифференциал жанаманың өсімшесі болып табылады.

§3 Туындының қолданылуы

Туындының көмегімен функцияның өсуі мен кемуі келесі түрде анықталады:

1)Егер болса, онда f(x) функциясы нүктесінде өспелі.

болса, онда f(x) функциясы нүктесінде кемімелі.

Экстремумның қажетті шарты. Егер f(x) функциясы нүктесінде экстремумы бар болса, туындысы нөлге айналады немесе болмайды.

Анықтама1

Функцияның болатын нүктесі стационарлық нүкте, ал немесе жоқ нүктелер кризистік нүктелер деп аталады.

Экстремумның жеткілікті шарты.

Егер нүктесі f(x) функциясының кризистік нүктесі болса және ден өткен кезде -тің таңбасы «+» тен «-» ке өзгерсе, онда f(x) функциясының минимум нүктесі болады.

 

§4 Көп айнымалы функциялар. Дербес туындылары. Толық дифференциал.

Егер х және у сандары үшін қандай да бір заңдылықпен z саны сәйкес қойылса, онда z=f(x,y) деп жазылады даосы z ені аргумент х пен у тен тәуелді функциядеп аталады. Дәл осылай үш аргумент х,у және z –тен тәуелді. U=f(x,y,z) функциясы анықталады.

Егер z=f(x,y) функциясының у аргументін тұрақты деп еспетесек онда z=f(x,y) функциясының х белгісізі бойынша дербес туындысы деп аталады да арқылы белгіленеді.

Дәл осылайша у бойынша дербес туынды анықталады.

z=f(x,y) функциясының толық дифференциалы z мынадай формулалармен анықталады:

Жоғарғы ретті дербес туындылар мынадай формулалармен анықталады:

 

Көп жағдайда теңдігі орындалады.

 

Дәріс 11 – 12

 

 

§1. Аңықталмаған интеграл. Алғашқы функция

 

Егер F'(x)=f(x) болса, онда F(x) функциясы f(x) функциясына алғашқы функция болады.

Аңықтама. f(x) функциясының аңықталмаған интегралы деп оның барлық алғашқы функцияларының жиынын айтады және оны келесі түрде белгілейді:

∫f(x)dx = F(x) + C

 

§2. Аңықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері және кестесі

 

Аңықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері:

1) (∫f(x)dx)' = f(x);

2) ∫f'(x)dx = ∫f(x)dx = f(x)+C;

3) d∫f(x)dx = f(x)dx;

4) ∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx;

5) ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx, мұндағы k – тұрақты сан;

6) Егер ∫f(x)dx = F(x)+C және u= ϕ (x) кез келген дифференциалданатын функция болса, онда ∫f(u)du = F(u)+C

 

§3. Тікелей интегралдау

 

Аңықталмаған интегралды оның негізгі қасиеттерінің көмегімен және интегралдау кестесінің көмегімен есептеуді тікелей интегралдау әдісі дейді.

 

§4. Айнымалыны ауыстыру

 

Аңықталмаған интегралда айнымалыны ауыстыру келесі екі түрдегі аустырудың көмегімен орындалады:

1) Егер x= ϕ (t) үздіксіз дифференциалданатын функция болса, онда ∫f(x)dx интегралын жаңа айнымалы t арқылы келесі формуламен өрнектейміз ∫f(x)dx = ∫f[ ϕ (t)] ϕ '(t)dt (1)

2) Егер u=g(t), мұндағы u жаңа айнымалы болса, онда ∫f[g(t)]g'(t)dt = ∫f(u)du (2)

 

§5. Бөліктеп интегралдау

 

Бөліктеп интегралдау әдісі келесі формулаға негізделген: ∫ud ϑ = u ϑ - ∫ ϑ du, (1)

мұндағы u(x) пен ϑ (x) үзіліссіз дифференциалданатын функциялар.

 

§6. Аңықталған интеграл

 

f(x) функциясы [a,b] кесінідісінде аңықталған болсын. Қарастырып отырған [a,b] кесіндісін болатындай кездейсоқ n бөлікке бөліп, әрбір элементарлық кесіндісінен кез келген нүктесін аламыз және осындай әрбір кесіндінің ұзындығын табамыз:. Берілген f(x) функциясы үшін [a,b] кесіндісіндегі интегралдың қосынды деп түрдегі қосындыны айтамыз, сонымен бірге бұл қосындының ақырлы шегі болады, егер әрбір ε>0 үшін?>0 болатын саны табылып, кез келген таңдап алынған санына болғанда теңсіздігі орындалса.

Аңықтама. f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі аңықталған интегралы деп, элементарлық кесінділердің ең үлкенінің ұзындығы нөлге ұмтылғандағы интегралдың қосындының шегін айтамыз:

 

 

§7. Ньютон – Лейбниц формуласы

Егер F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы болса, онда

,

Формуласы дұрыс болады. Бұл формуланы Ньютон – Лейбниц фрмуласы дейді.

 

§8. Аңықталған интегралдың геометриялық мағынасы

Аңықталған интеграл сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына тең болады.

 

 

Дәріс 13

Ықтималдықтар теориясы

§1. Кездейсоқ оқиғалар.

 

Тұрмыста, практикада және ғылымда белгілі бір мақсат үшін жүргізілетін бақылаулар, сынақтар, операциялар, эксперименттер, тағы сол сияқтылар кездеседі. Біз бұл атауларды бір мағынада, синоним есебінде түсінеміз де, оны тәжірибе деген термин есебінде қабылдаймыз. Тәжірибені кейде сынық дейді.

Тәжірибені қайталауға болады. Тәжірибенің мысалдарын келтірейік.

Теңге лақтыру, ойын кубигін (немесе ойын сүйегін) лақтыру (немесе тастау): кубиктің 1,2,3,4,5,6 цифрларымен нөмірленген алты жағы бар.

Белгілі бір тәжірибеге оның барлық мүмкін болатын нәтижелерінен тұратын Е жиынын сәйкестендіреміз. Е жиынын элементар оқиғалар кеңістігі деп, ал оның нүктелерін элементар оқиғалар дейді.

Мысалдар 1. Тәжірибе теңгені бір рет лақтыру болсын. Элементар оқиғалар кеңістігі Е= {Г,Ц} түрінде болады,мұндағы Г әрпі «герб» түсуін, ал Ц әрпі «цифр» түсуін көрсетеді.

2. Теңгені екі рет лақтырғанда элементар оқиғалар кеңістігі Е={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ} түрінде жазылады.

3. Ойын сүйегін бір рет лақтырғанда элементар оқиғалар кеңістігі Е={ (1),(2),(3),(4),(5),(6)} болып жазылады, мұндағы (2) таңбалауы ойын сүйегінде 2-ге тең ұпайдың пайда болғандығын білдіреді.

4. Ойын сүйегін екі рет лақтырғанда элементар оқиғалар кеңістігі 36 элементтен тұрады: { (1,1),(1,2), …,(6,6)}

Элементар оқиғалар кеңістігінің әрбір ішкі жиынын кездейсоқ оқиға деп атайды. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда Е кеңістігінің ішкі жиынын {(2),(4),(6)} жұп ұпай түсетінін білдіретін кездейсоқ оқиға.

Егер кездейсоқ оқиғаның сынақтың кез келген нәтижесінде орындалатын белгілі болса, онда бұл оқиғаны ақиқат оқиға деп, ал сынақтың ешбір нәтижесінде орындалмайтын оқиғаны жалған оқиға деп атайды.

«Оқиға» ұғымына байланысты анықтамалар келтірейік.

1. Егер кездейсоқ оқиғаның сынақтың кез келген нәтижесінде орындалатын белгілі болса, онда бұл оқиғаны ақиқат оқиға деп, ал сынақтың ешбір нәтижесінде орындалмайтын оқиғаны жалған оқиға дейді.

Мысал 1. Мысалы ойын сүйегін бір рет тастағанда бірден кем емес ұпай түсуі – ақиқат, ал 7-ден кем емес ұпай түсуі – жалған оқиға.

2. Егер сынақ кезінде оқиғаның орындалатын не орындалмайтыны белгісіз болса, онда мұндай оқиғаны кездейсоқ оқиға дейді.

Мысал 2. «А₆ – ойын тасын лақтырған кезде 6 ұпай түсу» оқиғасы болсын. Бұл кездейсоқ оқиға.

3. Бір сынақ нәтижесінде қатар орындалуы мүмкін емес екі кездейсоқ оқиғаны өзара үйлесімсіз оқиғалар деп атайды. Ал өзге оқиғаларды, яғни сынақтың қандай да бір нәтижесінде қатар орындалуы мүмкін оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атайды.

Мысал 3. Сынақ: ойын тасын бір рет лақтырамыз. «А – 4 ұпай түсуі» оқиғасы, «В – жұп ұпай түсу» оқиғасы. А мен В оқиғалары үйлесімді оқиғалар.

Мысал 4. Сынақ: теңгені бір рет лақтыру. «А – гербтің түсуі», «В – цифрдің түсуі.» Бұл оқиғалар үйлесімсіз.

Мысал 5. Ануар Байжанбаевтың мысалы үйлесімсіз оқиғалар.

4. А және В оқиғаларын қарама –қарсы оқиғалар дейміз, егер қарастырылып отырған сынақ кезінде олар үйлесімсіз болса және А және В оқиғаларының ең болмағанда біреуі орындалатын болса, А оқиғасына қарама –қарсы оқиғаны арқылы белгілейді.

Мысал 6. Сынақ: теңгені лақтыру. «А – гербтің түсуі», «В – цифрдің түсуі» Бұл оқиғалар қарама –қарсы оқиғалар: A= немесе =В.

Мынадай сұрақ туады: Сынақ кезіндегі кездейсоқ оқиғаның пайда болу мүмкіндігін өлшеуге бола ма? Осы сұраққа жауап іздеген кезде ықтималдық ұғымы пайда болады.

 

§2. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.

 

А кездейсоқ оқиғасының ықтималдығы деп А-ға қолайлы нәтижелер саны m-нің барлық мүмкін нәтижелер саны n-ға қатынасын айтады және оны Р(А) арқылы белгілейді. Сонымен анықтама бойынша, Р(А) = (1)

Мысалдар

1. Сынақ: теңгені бір рет лақтыру. «А – гербтің түсуі», «В – цифрдің түсуі» P(A)=P(B)=.

2. Сынақ: ойын тасын лақтыру. «– i ұпай түсуі», і =1,2,3,4,5,6. P()=

3. Сынақ: ойын тасын лақтыру. «А-түскен ұпай саны екіге бөлінеді» n=6,m=3. P(A)==.

4. (Даламбердің қатесі) Теңге екі рет лақтырылған. «А –екі гербтің түсу» оқиғасы. Даламбер: P(A) = (Ол n=3 деп есептейді: 1) екі герб түсу 2) екі цифр түсу 3)бір герб және бір цифр түсу)

Дұрыс шешуі: ГГ,ГЦ,ЦГ,ЦЦ Р(А)=

5. Екі ойын тасы лақтырылған. Сонда шыққан ұпайлардың қосындысы 7 болуы жиі ме әлде 8 болуы жиі ме? «А–ұпайлардың қосындысы 7», «В– ұпайлардың қосындысы 8». P(A) =, Р(В)=

 

 

§3. Кездейсоқ шамалар және олардың үлестірімдік заңы.

 

 

Кездейсоқ шама ұғымы ықтималдықтар теориясының ең негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Кездейсоқ оқиғалардың көпшілігі белгілі сан жиынынан мәндер қабылдайды. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда 1,2,3,4,5 және 6 сандарының бірі түсуі мүмкін, яғни мұнда орындалатын кездейсоқ оқиға осы сандардың бірімен өрнектеледі және күні бұрын ойын сүйегі қандай сан көрсеткішімен түсетінін дөп басып айту мүмкін емес. Осы сияқты, белгілі бір уақыт аралығында жедел жәрдем бекетіне келіп түскен шақырулар саны, бір күнгі мектепке кешігіп келген оқушылар саны, бір айдағы үй малының салмағының өсуі, снарядтың ұшу алыстығы т.с. кездейсоқ шамалар болады.

Сонымен,белгілі бір сынаққа (тәжірибеге) байланысты кездейсоқ шама деп, осы сынақтың әрбір қайталануында қандай да бір сан мәніне ие болатын және алдын ала қандай сан мәні орындалатыны белгісіз шаманы айтады. (Басқаша айтқанда, кездейсоқ шама деп E={E_1,E_{2, …} ,E_n} элементар оқиғалар кеңістігінде анықталған X=X(E_i), i =1,2, …,4 сан функциясының мәнін айтады.)

Кездейсоқ шамаларды латын алфавитінің үлкен X,Y,Z, … әріптерімен белгілейді, ал кездейсоқ шаманың элементар оқиғалардағы мәндерін x,y,z, … арқылы белгілейді.

Кездейсоқ шамалар екі түрлі болады: үздіксіз кездейсоқ шамалар және дискретті кездейсоқ шамалар. Жоғарыдағы мысалдардың соңғы екеуінде үздіксіз кездейсоқ шама, ал қалғандарында дискретті кездейсоқ шамалар қарастырылған.

Біз төменде тек дискретті кездейсоқ шамаларды қарастырамыз.

Егер Х кездейсоқ шамасы х₁,х₂,…,х_n,… мәндерін p₁,p₂,…p_n,… ықтималдығымен қабылдаса, онда Х дискретті кездейсоқ шама деп аталады, яғни дискретті кездейсоқ шамалар тек қана оқшауланған мәндер қабылдайды.

 

х	Х1	Х2	...	хn	…
р	P1	P2	…	pn	…

 

Түріндегі кестені Х кездейсоқ шамасының үлестірімдік заңы деп атайды. Барлық элементар оқиғалар ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең болғандықтан, p₁₊p₂+…+p_n =1 теңдігі орындалуы қажет. Мысалы, ойын сүйегін тастағандағы кездейсоқ шаманың үлестірімдік заңы былай жазылады:

х
р

 

Мысал 1. Лотереядағы 1 ұтыс 1000 теңгеден,10 ұтыс 100 теңгеден және 100 ұтыс 1 теңгеден тұратын болсын. Лотереядағы барлық билеттер саны 10000 болсын. Бір лотерея билеті бар адамның кездейсоқ ұтысы Х-тік үлестірімдік заңын тап.

Х кездейсоқ шаманың мәндері мынадай болады: х₁=0, x₂=1, x₃=100, x₄=1000. Олардың ықтималдығы мынадай болады: p₂=0,01; p₃=0,001, p₄=0,0001; p₁=1-0,01-0,001-0,0001=0,9889. Сонда үлестірімдік заңы мынадай болады

 

 

х
р	0,9889	0,01	0,001	0,0001

 

§4. Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.

 

Сонымен, үлестірімдік қатары кездейсоқ шаманы толық сипаттайтынын көрдік. Дегенмен, кейбір жағдайларда кездейсоқ шаманың үлестірімдік заңын толық білмей-ақ, оның кейбір, бізге қажет ерекшеліктерін сипаттайтын сандарды анықтаумен шектелсе, жеткілікті болады. Осындай сан мәндерін кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары деп атайды.

Сандық сипаттамалар арасындағы ең маңыздысы - кездейсоқ шаманың математикалық үміті (орта мәні) болып табылады.

х	Х1	Х2	...	хn	…
р	P1	P2	…	pn	…

Анықтама. Үлестірімдік заңы

 

Кестесімен анықталатын Х кездейсоқ шамасы үшін

M(x)= Х₁ P₁+ Х₂ P₂+…+ х_n p_n+… (2)

Саның оның математикалық үміті (орта мәні) деп атайды.

Сонымен, анықтама бойынша сынақты көп рет қайталағанда Х кездейсоқ шамасының қабылдаған мәндерінің орташа мәні М(Х) саны маңында болады.

Мысалы өткен параграфтағы соңғы мысалдағы кездейсоқ шама Х үшін: М(Х)=0*0,9889+1*0,01+100*0,001+1000*0,0001=0,21 теңге=21 тиын

Сонымен М(Х)= 21 тиын 1 лоторея билетінің нақты құны.

Сүйекті тастағандағы Х кездейсоқ шама үшін М(Х)=1*+2*+3*+4*+5*+6*=3,5

Математиканың үміт берілген кездейсоқ шаманы толық сипаттай алмайды.

Әртүрлі кездейсоқ шамалардың математикалық үміті бірдей болуы мүмкін. Мысалы: Х және Ү кездейсоқ шамалардың үлестірімдік заңдары мынадай болсын

x	-0,01	0,02
p	2/3	1/3

D(x)=0,0002

 

x	-100
p	1/2	1/2

D(Y)=10000

 

M(X)=M(Y)=0 екені түсінікті. Бірақ бұл жерде Х математикалық үміттің маңында шоғырланған, ал Ү математикалық үміттен алшақ орналасқан. Осыған байланысты кездейсоқ шама мәндерінің оның математикалық үмітінен қаншалықты «шашыраңқы» орналасқандығын сипаттайтын санды сипаттамалар қарастырылады.

Анықтама: Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп D(X)= M[(x-M(x))²] шамасын айтады.

Жоғарыдағы мысалда: [x₁-M(x)]²=[-0,01-0]²=0,0001, [x₂-M(x)]²=0,0004

D(X)= 2/3 *0,0001+1/3*0,0004=0,0002, сол сияқты D(Y)=10000

 

 

Дәріс 14

Математикалық статистика

§1 Кіріспе

Математикалық статистика көптеген біртекті кездейсоқ құбылыстардың заңдылығын анықтауға,ең алдымен,ықтималдықтар теориясы тәсілдерін қолдана отырып,статистикалық мәліметтерді – сынақ (тәжірибе) нәтижелерін оқып уйренуге,зерттеуге негізделген.

Математикалық статистика алдына,негізінен екі мақсат қойлады.Бірінші мақсат:бақылау немесе арнайы қойылған тәжірибе (сынақ) көмегімен алынған статистикалық мәліметтерді жинақтау және топтастыру тәсілдерін көрсету.Екінші мақсат:зерттеу жұмыстарының көздеген мақсатына байланысты статистикалық мәліметтерді талдау,өңдеу және қорытындылар жасау тәсілдерді көрсету.

Осы таңда математикалық статистиканы анықталмағандақтар мен белгісіздер жағдайында шешімдер қабылдау жөніндегі ғылым деп санайды.Сонымен,математикалық статистиканың мақсаты- ғылыми және практикалық қорытындылар жасау үшін статистикалық мәліметтерді жинақтау және өңдеу тәсілдерін қалыптастыру болып табылады.

 

§2 Басты және таңдалы жиынтықтары

Айталық,қайсыбір біртекті объектілер жиынтығында қанда» да бір сапалық немесе сандық белгілеріне қарай зерттеулер жасау қажет болсы.Мысалы,белгілі бір зауыт өндірген тетіктерді тексеру қажет болса,онда сапалық белгі ретінде бұл тетіктердің стандартына сай келуін,сандық белгісі ретінде тетіктік өлшемдерін(ұзындығын,ауданы,көлемі,салмағы,сыйымдылығы т.б.) алуға болады.Кейде берілген объектілер жиынтығын түгел тексереді,яғни жиынтықтың әрбәр элементінің бізге қажет белгілерін зерттейді.Дегенмен,іс жүзіндеосындай түгел тексеру тәсілі өте сирек қолданылады.Әсіресе,егер берілген объектілер жиынтығында өте көп элементтер бар болса,онда әрбір элементті тексеріп шығу мүмкін емес іс-шараға айналады.Мысалы,завод шығарған барлық ламиогиялардың жұмыс істеу мерзімін анықтау кезінде барлық ламиогиялар жанып кетеді.Екінші мысал ретінде мемлекеттегі халыққа санау жүргізуді қарастырайын.Бұл санақ кезінде өте көп материалдық шығын жасауға тура келеді.

Осындай жағдайларда бүіл жиынтықтан оның шектеулі бөлігін кездейсоқ таңдап алып,оы таңдар алынған бөлік элементтерін зерттейді.

Зерттелген объектілер жиынтығын басты жиынтық (генеральная совокупность),ал басты жиынтықтан кездейсоқ таңдап алынған объектілер жиынын таңдалым жиынтығы деп немесе жай ғана таңдалым (выбирка) деп атайды.

Мысал 1 Ағаштағы барлық 200 алманы салмағына байланысты зерттейді.Ол үшін осы алмалардың ішінен оны алып соларды зерттейміз.

Бұл мысалда басты жинақтағы элементтер саны 200,ал таңдалымдағы элементтер саны 10.

Таңдалымға (басты жиынтыққа) енетін объектілер саны таңдалым (басты жиынтық) көлемі деп аталады.

Айталық, басты жиынтықтан таңдалым алынсын.Таңдалым элементтері арасында бізге қажет көрсеткіштері бойынша өзара тең элементтер кездесуі мүмкін. Осындай элементтерді топтастырып, оларды өсу тәртібімен жазатын болсақ, онда x_1, x _2,... x_k (1) түріндегі тізбені аламыз. Бұл тізбені таңдалым нұсқалығы (вариационный ряд) немесе жай ғана нұсқалық деп атайды.

Мысал 2 груннадағы 25 студенттің бір семестр бойы босатқан сабақтарының саны мынадай болды. 2,5,0,1,6,3,0,4,5,4,0,3,3,2,1,4,0,0,2,3,6,0,3,0,1 (2) Бұл жерде таңдалым нұсқалық 7 әртүрлі сандардан тұрады: 0,1,2,3,4,5,6 (3) (1) тізбедегі х₁ элемент n₁ рет, x₂ n₂ рет және т.с.с. x_k n_k рет байлалатын болсын (кездесетін) болсын. Сонда n₁+n₂…+n_k=n таңдалым көлемі болды.

N_i санын x_i элементінің жиілігі деп, ал санын оның салыстырмалы жиілігі деп атайды. (i=1,2…,k)

Төмендегі кестені

xi	Xi	Xi	…	Xi
Ni	Ni	Ni	…	Ni

Жиіліктік нұсқалық (статистикалық) қатары деп, ал (статистическое распределение гастот)

Хi	Х2	Х2	...	Хк
			…

Кестесін салыстырмалы жиіліктің нұсқалық қатары деп атайды. (статистическое распределение отнынтельных частот)

О_ху жазығында (x_1,n₁), (x_2,n₂), …, (x_k,n_k) нүктелерін белгіліп, оларды түзу кесінділермен тізбектеп қосқаннан шығатын фигураны жиілік колигоны (алқабы) деп атайды. Ал (x_1, ), (x_2, ), …,(x_n, ) нүктелерін сынық сызықты салыстырмалы жиілік колигоны деп атайды.

Мысал 3 Мынадай салыстырмалы жиіліктің нұсқалық қатары берілген болсын.

Xi
	0,4	0,2	0,3	0,1

 

 

0,4 жиілік колигоны)бойынша басты жиынтық,

0,3 шамамен қандай заңдылықпен

0,2 үлестірілгендігі жөніндегі алғашқы

0,1 мәліметтерді алуға болады

1 2 3 4 5 х_i

 

2 Гистограмма

Кездейсоқ шамалардың біз екі түрі болатынын білеміз:дисиретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар. Егер дисиретті кездейсоқ шамалар тек қана «оқшауланған» мәндер қабылдайтын болса, онда үздіксіз кездейсоқ шамалар белгілі бір сан аралығының кез келген мәнін қабылдауы мүмкін. Мұндай жағдайларда берілген аралықты ұзындығы b₁- на тең бірнеше дербес аралықтарға бөліп, i-ші аралыққы тиісті таңдалым элементтерінің саны n_i-ді жиілік ретінде алады. Мәселен, таңдалым элементтері [a,b] аралығында жатса, онда x_i-x_i-1=b болатындай етіп, a=x_o<x₁<x₂…<x_k=b нүктелерінің көмегімен [a,b] аралығын K дербес бөліктерге бөледі. Сонда =[x_i-1, x_i), i=1,2,…,k аралығына тиісті таңдалым элементтері саны n_i – ге тең. Осыдан жиіліктің нұсқалық қатарын (аралықтың жиілік кестесін) былай жазуға болатынын көреміз.

			…
			…

Салыстырмалы жиіліктің де нұсқалық қатары осы силиты жазылады.

Жиілік гистограммасы деп, табаны h-ка тең, ал биіктігі - на тең тік төртбұрыштардан құралған фигураны айтады. Ал, салыстырмалы жиілік гистограммасы деп табаны h- ка, ал биіктігі - на тең тік төртбұрыштан құралған фигураны айтады.

Мысал 1 Көлемі n=100 болатын үздіксіз үлестірімділік мына кестемен берілген болсын. Оның гистограммасын сыз.

Бөлік интервал h (h=5)
5-10		0,8
10-15		1,2
15-20		3,2
20-25		7,2
25-30		4,8
30-35		2,0
35-40		0,8

 

 

4 24

3 36

2 16

1 6 10

4 4

 

5 10 15 20 25 30 35 40

 

 

§3 Үлестірімділік параметрлерінің статистикалық бағалары.

Айталық, қайсібір теориялық негіздеме бойынша басты жиынтықтың үлестірімділік заңдылығының түрі белгілі болсын делік. Онда бұл заңдылықты толық анықтай үшін оның белгісіз параметрлерінің мәндерін табу қажет болады. Әдетте, іс жүзінде, жиі кездесетін белгілі үлестірімділік заңдылықтарының белгісіз параметрлері кездейсоқ шаманың математикалық үміті, дисперсиясы, орташа квадраттың ауытқуы арқылы анықталады. Олай болса, берілген таңдалым бойынша белгісіз математикалық үмітті, дисперсияны, орташа квадраттың ауытқуды бағалау қажеттігі туындайды.

Әдетте, белгісіз параметрлердің екі түрі статистикалық бағалау тәсілдері қарастырылады: дәл бағалар, яғни белгісіз параметрді таңдалым бойынша жуық мәнімен алмастыру; сенімділік бағалар, яғни алдын ала берілген ықтималдық бойынша белгісіз параметрдің жататын ааралығын көрсету.

Біз мұнда таңдалым бойынша белгісіз параметрлердің дәл бағаларын анықтау тәсілдеріне ғана тоқталамыз.

Айталық, таңдалым салыстырмалы жиілігінің нұсқалық кестесі берілсін.

			…
			…

Мұнда ++…+=n Онда =(x₁n₁+x₂n₂+…+x_kn_k) (2)

Өрнегін таңдамалы орта деп атайды және оны Х кездейсоқ шамасының белгісіз математикалық үмітінің (M(x)-тің) бағасы (жуық мәні) ретінде қабылдайды. Ал =[(x₁-)²n₁+(x₂-)²n_k] (3) өрнегін таңдамалық дисперсия деп атайды.

Мысал 1 Таңдалым мынадай жиілігінің нұсқалық кестесімен берілсін.

xi
ni

Х кездейсоқ шамасының математикалық үміті мен дисперсиясын бағала.

Біз алдымен таңдамалы орта пен таңдамалы дисперсия ны табамыз да M(x)= және D(x)=D ден есептейміз.

===2

= = = 1

Сонымен, М(х) D (х)

 

 

Дәріс 15