Лабораторна робота ФПЕ-13М
Івано-Франківськ
МЕТА РОБОТИ: вивчення обміну енергією в системі електричних, слабо зв’язаних між собою, контурів.
ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ
Коливальні процеси (осциляції) в електричних контурах мають аналогії в механіці. Поведінка найпростішого осцилятора – математичного маятника, що являє собою матеріальну точку масою m, підвішену на довгому нерозтяжному стержні, добре вивчена: це гармонічні коливання з частотою ω0.
Істотно складнішими є коливання системи двох однакових маятників, зв'язаних між собою слабкою пружиною, як це показано на рис.1. Маятники братимуть участь в колективних коливаннях, амплітудно-частотна характеристика яких залежить від зміщення маятників один відносно одного (відносна фаза).
Рис. 1.
Якщо обидва маятники мають у початковий момент часу одинакові зміщення, то вони коливатимуться як єдине ціле з амплітудою і частотою, яка рівна частоті і амплітуді коливань одиночного маятника ω0. Якщо при t = 0 зміщення є рівні і протилежні, то маятники коливатимуться з сталою амплітудою, але частотою ω1 більшою від ω0. Ці два види руху називаються нормальними модами коливань системи зв'язаних осциляторів, причому вид коливань з частотою ω0 називають парною модою нормальних коливань і позначають знаком "+" (ω+= ω0), а вид коливань з підвищеною частотою ω1 називають непарною модою нормальних коливань і позначають знаком "-" (ω- = ω0). Нормальна мода коливань - це колективне коливання, при якому амплітуда коливань кожної рухомої частинки системи залишається незмінною. У складніших випадках, коли при t = 0, є довільний відносний зсув фаз, результуючий рух можна розглядати як комбінацію (суперпозицію) двох нормальних мод коливань, тобто як амплітудно-модульоване коливання. З суперпозицією гармонічних коливань різних частот доводиться зустрічатися в найрізноманітніших явищах. Прикладом можуть служити зокрема два камертони з різними власними частотами, які мало відрізняються одна від одної. В цьому випадку людське вухо найбільш виразно сприймає результуюче коливання як гармонічне коливання із змінною амплітудою, тобто вухо чує музичний тон, інтенсивність якого періодично змінюється з частотою ωб=|ω1-ω0| і періодом 
. Такий вид суперпозиції гармонічних коливань, при ω1≈ω0 але і ω1>ω0, відображений на рис.2. Це явище називається биттям, а величини ωб і Тб - відповідно періодом і частотою биття.
Q 
 |
t
 | |||
 | |||
Tб Т
рис.2
У системі двох зв'язаних слабкою пружиною маятників биття можуть встановитися, якщо змістити один з них (наприклад, маятник 1, зліва рис.1), утримуючи інший на місці, а потім відпустити їх одночасно. В цьому випадку маятник 1 починає коливатися один, але з часом коливання маятника 2 постійно наростатимуть, а коливання маятника 1 - затухати. Через деякий час маятник 2 коливається з значною амплітудою, а маятник 1 зупиняється. У разі парної моди нормальних коливань, маятники рухаються разом, пружина не розтягнута і частота маятника така ж, як у одиночного маятника. У разі непарної моди коливань пружина розтягнута, що збільшує частоту цієї моди коливань. Якщо в якийсь момент часу зміщений тільки один з маятників, то виникають дві нормальні моди коливань, що знаходяться в певній відносній фазі. Але оскільки частота непарного коливання трохи вища за частоту парного коливання, відносна фаза змінюється в процесі колективного коливання. Амплітуда коливань першого маятника рівна нулю, а амплітуда другого досягає максимуму, коли два нормальні види коливань опиняться в протифазі, потім починається збільшення амплітуди першого маятника і процес повторюється.
Поведінку зв'язаних осциляторів легко пояснити з енергетичної точки зору: при t = 0 вся енергія зосереджена в маятнику 1. Оскільки маятники зв’язані пружиною, то через пружину енергія поступово передається від маятника 1 до маятника 2 до тих пір, поки вся енергія не зосередиться в маятнику 2, потім, якщо система осциляторів підживляється ззовні енергією для компенсації згасання через тертя, процес обміну енергією повторюється від маятника 2 до маятника 1 і т.д. Таким чином, "биття" - процес обміну енергією між двома гармонічними осциляторами, власні частоти яких відрізняються мало, а при t = 0 спостерігається відносний зсув фаз. Биття можна спостерігати і в електричній системі - в двох однакових LC -контурах, зв'язаних між собою слабким ємнісним зв'язком C12, що є аналогом механічного зв'язку у вигляді пружини. Коливання в контурах (рис.3) збуджуються за допомогою перетворювача імпульсів (ПІ).
Для теоретичних розрахунків розглянемо спрощений варіант цієї схеми (рис.4), де позначені знаки зарядів в контурах і позитивний напрям струму. Для спостереження биття важливо, щоб струми I1 і I2 були напрямлені одинаково. Для двох контурів, сполучених по схемі рис.4, можна записати два рівняння, що описують коливання зарядів Q:
(1)
Підставляючи 
отримуєм
Додавши ці рівняння (2), одержуємо:
, (3)
а різниця рівнянь:
(4)
За допомогою проведених математичних операцій вдалося рівняння (2) записати через змінні 
і 
. Якщо при t = 0 змінна має значення 
, то розв’язок рівняння (3) має вигляд
(5)
частота 
рівна частоті власних коливань окремого контура. аналогічно, розв’язок рівняння (4):
(6)
де 
, – значення змінної 
при t = 0
Два види руху, що описуються рівнянням типу (5) і (6), називаються нормальними модами коливань системи зв'язаних осциляторів. В даному випадку вони описують коливання величини заряду в системі двох зв'язаних електричних контурів. Нормальна мода коливань – це колективні коливання, при яких амплітуда коливань кожного заряду залишається незмінною.
Якщо змістити з положення рівноваги один з контурів, то результатом будуть коливання двох нормальних мод коливань. При Q20 = 0 з (5) і (6) одержуємо:
(7)
(8)
Використовуючи відомі тригонометричні тотожності:
Можна записати рівняння (7) і (8) у вигляді:
(9)
(10)
Графіки Q1 і Q2 (рівняння (9) і (10)) показані на рис.2, де у початковий момент часу амплітуда Q2 рівна нулю. Амплітуда Q2 збільшується, а амплітуда Q1 спадає до тих пір, поки у момент часу, що визначається із співвідношення
амплітуда Q1, не стане рівною нулю, а амплітуда Q2 досягне максимуму.
Ситуацію, показану на рис.2, можна розглянути з енергетичної точки зору.
При t = 0 вся енергія зосереджена в контурі 1. В результаті зв'язку через конденсатор С12 енергія постійно передається від контура 1 до контура 2 до тих пір, поки вся енергія не збереться в контурі 2. Час, необхідний для переходу енергії з контура 1 в контур 2 і назад, можна одержати з рівняння
,
а частота, з якою контури обмінюються енергією
(11)
Для парної моди коливань, позначеної знаком "+", струми течуть в однаковому напрямі, тоді на конденсаторі С12 немає заряду. При цьому частота залишається такою ж, як для незв'язаних контурів, тобто 
. У разі непарної моди нормальних коливань (знак "-"), конденсатор С12 заряджений, що збільшує частоту коливань, тобто
Слід зазначити, що для застосування до зв'язаних контурів розглянутої вище теорії, вони повинні мати однакову резонансну частоту 
і, крім того, передбачається, що ємність С12 велика ("слабкий зв'язок"). Тоді вираз (11) можна перетворити таким чином:
(12)
Отримане значення частоти обміну 
(мається на увазі обмін енергії), або частоти "биття" 
можна змінювати, настроюючи систему контурів шляхом зміни номіналів радіоелементів С, С12, L, R добиваючись того, щоб частота 
була мінімальною.
Дослідження биття, тобто обміну енергій в зв'язаних контурах, і є одним з практичних завдань даної роботи.
ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ
1. Ознайомитися з описом установки і методом вимірювання.
2. Включити живлення касети ФПЕ-13м. Запустити програму ФПЕ-13м.ехе. На екрані віртуального осцилографа повинна спостерігатися стабільна картина процесу "биття" в контурах.
3. Встановити частоту розгортки віртуального осцилографа, зручну для проведення досліджень.
4. Обчислити Трез для одного з контурів (резонансні частоти контурів близькі) за формулою Томсона 
. Де L =, C =
6. Змінюючи ємність конденсатора зв'язку С12 на касеті ФПЕ-13 виміряти періоди "биття" та записати дані в таблицю 1.
Таблиця 1.
С12, 
| |||||
| N | |||||
| Тб, с експ. | |||||
| Тб, с теор. |
Період "биття" визначається таким чином: підраховується кількість періодів (кількість максимумів), що укладаються в одне "биття" (число N), рис1.
N=5 кількість max
 |
биття
рис.1
Ця величина множиться на значення періоду обчислене за формулою Томсона, тобто 
. Отримані результати записуються в таблицю. За отриманими таким чином значеннями Тб побудувати графік залежності 
.
7. Провести розрахунок Тб за формулою 
побудувати графік залежності і порівняти його з експериментальними значеннями.
КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ
1. Поясніть, чому струми I1 і I2 (див. рис.4) повинні мати однаковий напрям.
2. Чому повинна виконуватись умова С12 << C?
3. Покажіть, що існує два максимуми струму, що припадають на частоти нормальних мод коливань.
4. Поясніть картину биття (дивися рис.2) з енергетичної точки зору.
5. Чому рівна частота обміну енергією між двома зв'язаними осциляторами.
