Вивчення електричних коливань в зв’язаних контурах

Лабораторна робота ФПЕ-13М

 

 

Івано-Франківськ

МЕТА РОБОТИ: вивчення обміну енергією в системі електричних, слабо зв’язаних між собою, контурів.

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ

Коливальні процеси (осциляції) в електричних контурах мають аналогії в механіці. Поведінка найпростішого осцилятора – математичного маятника, що являє собою матеріальну точку масою m, підвішену на довгому нерозтяжному стержні, добре вивчена: це гармонічні коливання з частотою ω₀.

Істотно складнішими є коливання системи двох однакових маятників, зв'язаних між собою слабкою пружиною, як це показано на рис.1. Маятники братимуть участь в колективних коливаннях, амплітудно-частотна характеристика яких залежить від зміщення маятників один відносно одного (відносна фаза).

Рис. 1.

Якщо обидва маятники мають у початковий момент часу одинакові зміщення, то вони коливатимуться як єдине ціле з амплітудою і частотою, яка рівна частоті і амплітуді коливань одиночного маятника ω₀. Якщо при t = 0 зміщення є рівні і протилежні, то маятники коливатимуться з сталою амплітудою, але частотою ω₁ більшою від ω₀. Ці два види руху називаються нормальними модами коливань системи зв'язаних осциляторів, причому вид коливань з частотою ω₀ називають парною модою нормальних коливань і позначають знаком "+" (ω⁺= ω₀), а вид коливань з підвищеною частотою ω₁ називають непарною модою нормальних коливань і позначають знаком "-" (ω^- = ω₀). Нормальна мода коливань - це колективне коливання, при якому амплітуда коливань кожної рухомої частинки системи залишається незмінною. У складніших випадках, коли при t = 0, є довільний відносний зсув фаз, результуючий рух можна розглядати як комбінацію (суперпозицію) двох нормальних мод коливань, тобто як амплітудно-модульоване коливання. З суперпозицією гармонічних коливань різних частот доводиться зустрічатися в найрізноманітніших явищах. Прикладом можуть служити зокрема два камертони з різними власними частотами, які мало відрізняються одна від одної. В цьому випадку людське вухо найбільш виразно сприймає результуюче коливання як гармонічне коливання із змінною амплітудою, тобто вухо чує музичний тон, інтенсивність якого періодично змінюється з частотою ω_б=|ω₁-ω₀| і періодом . Такий вид суперпозиції гармонічних коливань, при ω₁≈ω₀ але і ω₁>ω₀, відображений на рис.2. Це явище називається биттям, а величини ω_б і Т_б - відповідно періодом і частотою биття.

Q

 

 

t

 

T_б Т

рис.2

У системі двох зв'язаних слабкою пружиною маятників биття можуть встановитися, якщо змістити один з них (наприклад, маятник 1, зліва рис.1), утримуючи інший на місці, а потім відпустити їх одночасно. В цьому випадку маятник 1 починає коливатися один, але з часом коливання маятника 2 постійно наростатимуть, а коливання маятника 1 - затухати. Через деякий час маятник 2 коливається з значною амплітудою, а маятник 1 зупиняється. У разі парної моди нормальних коливань, маятники рухаються разом, пружина не розтягнута і частота маятника така ж, як у одиночного маятника. У разі непарної моди коливань пружина розтягнута, що збільшує частоту цієї моди коливань. Якщо в якийсь момент часу зміщений тільки один з маятників, то виникають дві нормальні моди коливань, що знаходяться в певній відносній фазі. Але оскільки частота непарного коливання трохи вища за частоту парного коливання, відносна фаза змінюється в процесі колективного коливання. Амплітуда коливань першого маятника рівна нулю, а амплітуда другого досягає максимуму, коли два нормальні види коливань опиняться в протифазі, потім починається збільшення амплітуди першого маятника і процес повторюється.

Поведінку зв'язаних осциляторів легко пояснити з енергетичної точки зору: при t = 0 вся енергія зосереджена в маятнику 1. Оскільки маятники зв’язані пружиною, то через пружину енергія поступово передається від маятника 1 до маятника 2 до тих пір, поки вся енергія не зосередиться в маятнику 2, потім, якщо система осциляторів підживляється ззовні енергією для компенсації згасання через тертя, процес обміну енергією повторюється від маятника 2 до маятника 1 і т.д. Таким чином, "биття" - процес обміну енергією між двома гармонічними осциляторами, власні частоти яких відрізняються мало, а при t = 0 спостерігається відносний зсув фаз. Биття можна спостерігати і в електричній системі - в двох однакових LC -контурах, зв'язаних між собою слабким ємнісним зв'язком C₁₂, що є аналогом механічного зв'язку у вигляді пружини. Коливання в контурах (рис.3) збуджуються за допомогою перетворювача імпульсів (ПІ).

Для теоретичних розрахунків розглянемо спрощений варіант цієї схеми (рис.4), де позначені знаки зарядів в контурах і позитивний напрям струму. Для спостереження биття важливо, щоб струми I₁ і I₂ були напрямлені одинаково. Для двох контурів, сполучених по схемі рис.4, можна записати два рівняння, що описують коливання зарядів Q:

(1)

Підставляючи отримуєм

Додавши ці рівняння (2), одержуємо:

, (3)

а різниця рівнянь:

(4)

За допомогою проведених математичних операцій вдалося рівняння (2) записати через змінні і . Якщо при t = 0 змінна має значення , то розв’язок рівняння (3) має вигляд

(5)

частота рівна частоті власних коливань окремого контура. аналогічно, розв’язок рівняння (4):

(6)

де , – значення змінної при t = 0

Два види руху, що описуються рівнянням типу (5) і (6), називаються нормальними модами коливань системи зв'язаних осциляторів. В даному випадку вони описують коливання величини заряду в системі двох зв'язаних електричних контурів. Нормальна мода коливань – це колективні коливання, при яких амплітуда коливань кожного заряду залишається незмінною.

Якщо змістити з положення рівноваги один з контурів, то результатом будуть коливання двох нормальних мод коливань. При Q₂₀ = 0 з (5) і (6) одержуємо:

(7)

(8)

Використовуючи відомі тригонометричні тотожності:

Можна записати рівняння (7) і (8) у вигляді:

(9)

(10)

Графіки Q₁ і Q₂ (рівняння (9) і (10)) показані на рис.2, де у початковий момент часу амплітуда Q₂ рівна нулю. Амплітуда Q₂ збільшується, а амплітуда Q₁ спадає до тих пір, поки у момент часу, що визначається із співвідношення

амплітуда Q₁, не стане рівною нулю, а амплітуда Q₂ досягне максимуму.

Ситуацію, показану на рис.2, можна розглянути з енергетичної точки зору.

При t = 0 вся енергія зосереджена в контурі 1. В результаті зв'язку через конденсатор С₁₂ енергія постійно передається від контура 1 до контура 2 до тих пір, поки вся енергія не збереться в контурі 2. Час, необхідний для переходу енергії з контура 1 в контур 2 і назад, можна одержати з рівняння

,

а частота, з якою контури обмінюються енергією

(11)

Для парної моди коливань, позначеної знаком "+", струми течуть в однаковому напрямі, тоді на конденсаторі С₁₂ немає заряду. При цьому частота залишається такою ж, як для незв'язаних контурів, тобто . У разі непарної моди нормальних коливань (знак "-"), конденсатор С₁₂ заряджений, що збільшує частоту коливань, тобто

Слід зазначити, що для застосування до зв'язаних контурів розглянутої вище теорії, вони повинні мати однакову резонансну частоту і, крім того, передбачається, що ємність С₁₂ велика ("слабкий зв'язок"). Тоді вираз (11) можна перетворити таким чином:

(12)

Отримане значення частоти обміну (мається на увазі обмін енергії), або частоти "биття" можна змінювати, настроюючи систему контурів шляхом зміни номіналів радіоелементів С, С₁₂, L, R добиваючись того, щоб частота була мінімальною.

Дослідження биття, тобто обміну енергій в зв'язаних контурах, і є одним з практичних завдань даної роботи.

ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

1. Ознайомитися з описом установки і методом вимірювання.

2. Включити живлення касети ФПЕ-13м. Запустити програму ФПЕ-13м.ехе. На екрані віртуального осцилографа повинна спостерігатися стабільна картина процесу "биття" в контурах.

3. Встановити частоту розгортки віртуального осцилографа, зручну для проведення досліджень.

4. Обчислити Т_рез для одного з контурів (резонансні частоти контурів близькі) за формулою Томсона . Де L =, C =

6. Змінюючи ємність конденсатора зв'язку С₁₂ на касеті ФПЕ-13 виміряти періоди "биття" та записати дані в таблицю 1.

Таблиця 1.

С12,
N
Тб, с експ.
Тб, с теор.

 

 

Період "биття" визначається таким чином: підраховується кількість періодів (кількість максимумів), що укладаються в одне "биття" (число N), рис1.

 

 

N=5 кількість max

 

 

 

 

биття

рис.1

Ця величина множиться на значення періоду обчислене за формулою Томсона, тобто . Отримані результати записуються в таблицю. За отриманими таким чином значеннями Т_б побудувати графік залежності .

7. Провести розрахунок Т_б за формулою побудувати графік залежності і порівняти його з експериментальними значеннями.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Поясніть, чому струми I₁ і I₂ (див. рис.4) повинні мати однаковий напрям.

2. Чому повинна виконуватись умова С₁₂ << C?

3. Покажіть, що існує два максимуми струму, що припадають на частоти нормальних мод коливань.

4. Поясніть картину биття (дивися рис.2) з енергетичної точки зору.

5. Чому рівна частота обміну енергією між двома зв'язаними осциляторами.