Описание экспериментальной установки

Определение момента инерции

Маятника Максвелла

 

Общие сведения

 

Цель работы – ознакомиться со сложным движением твердого тела, сочетающим поступательное перемещение с вращательным движением, на примере маятника Максвелла. Измерить момент инерции маятника Максвелла и сравнить экспериментально полученный результат с рассчитанным значением.

Рис.1

 

Маятник Максвелла изображен на рис. 1. Он представляет собой диск 1, закрепленный на оси 2, подвешенной горизонтально на нитях 3 и 4.На диск накладываются кольца 5, заменяя которые можно варьировать момент инерции системы. В начальном состоянии маятник с намотанными на ось нитями находится в верхнем положении. Если маятник отпустить, то он начинает сложное движение: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси, нити при этом раскручиваются. В нижней точке траектории вращение маятника не прекращается, а продолжается по инерции: нити наматываются на ось, и маятник начинает подниматься. Так маятник осуществляет периодическое движение вверх – вниз.

 

Рис.2

 

Рассмотрим экспериментальный метод определения момента инерции маятника Максвелла. Пренебрежем силами трения и силами сопротивления воздуха. Тогда на маятник действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити (рис.2).Уравнение поступательного движения маятника (уравнение Ньютона) имеет вид:

(1)

или в проекции на ось х, направленную вниз:

ma = mg – N, (2)

где m –масса маятника; a – его ускорение

Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг своей оси, направленной за плоскость чертежа, для маятника максвелла может быть записано в виде

Iε = NR, (3)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения, ε- угловое ускорение маятника, R - плечо силы N, равное радиусу оси маятника Максвелла. Между мгновенными значениями линейного и углового ускорений имеется соотношение:

a = εR (4)

Поскольку движение маятника происходит с нулевой начальной скоростью, за время t маятник перемещается на расстояние h

h = (5)

Из соотношений (2)-(5) следует рабочая формула

(6)

Таким образом, экспериментально момент инерции маятника Максвелла можно определить, если измерить время t прохождения маятником пути h, массу маятника m и радиус R. Суммарная масса маятника складывается из масс оси m₀, диска m_g и кольца m_k:

m =m₀+m_g+m_k (7)

Эффективный радиус оси R, скорректированный с учетом толщины нитей:

R=R₀+2R_н, (8)

где R₀ – истинный радиус оси, R_н радиус нити.

Рабочая формула (6) была выведена с помощью уравнений движения, на основании так называемого силового подхода. Эта же формула может быть получена и с помощью энергетического подхода, на основании закона сохранения энергии. В начальном состоянии механическая энергия маятника состоит из потенциальной энергии, равной mgh. В нижнем положении механическая энергия маятника складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движений, где v – скорость поступательного движения, ω – угловая скорость вращения. Закон сохранения механической энергии в этом случае имеет вид

mgh = (9)

Легко убедиться, что с учетом кинематических соотношений

V² =2ah (10)

V=ωR (11)

и уравнений (9) и (5) вновь получается рабочая формула (6)

 

Теоретический расчет момента инерции маятника Максвелла

Момент инерции маятника Максвелла можно рассчитать теоретически, учитывая, что момент инерции маятника складывается из моментов инерции цилиндрической оси I₀, диска I_д и кольца I_к:

I_T=I₀ + I_д + I_k = , (12)

где R_д – радиус диска, R_к внешний радиус кольца.

 

Описание экспериментальной установки

Рис.3

 

Общий вид экспериментальной установки представлен на рис. 3. В основании 1 закреплена штанга 2, на которой установлены кронштейны 3 и 4. На верхнем кронштейне находится электромагнит 5. К нижнему кронштейну 4 прикреплен фотоэлектрический датчик 6, соединенный с секундомером 7. Изначально маятник Максвелла 8 удерживается электромагнитом в верхнем положении. При нажатии кнопки «пуск», расположенной на лицевой панели секундомера, маятник освобождается и начинает двигаться. Одновременно с этим начинает работать секундомер. Когда нижняя грань кольца пересекает фотоэлектрический датчик, секундомер прекращает отсчет времени. Длина маятника h измеряется с помощью рулетки от нижней грани кольца до фотоэлектрического датчика.

 

Порядок выполнения работы

3.1. Подготовка к измерениям.

 

1.Переключить тумблер, расположенный на передней панели секундомера, в положение «12в» и убедиться, что индикатор высвечивает цифру «0».

2. Убедиться, что ось свободно висящего маятника горизонтальна. При этом нижняя грань кольца должна находиться примерно на 2мм ниже оптической оси фотоэлектрического датчика.

3. Равномерно,виток к витку,намотать нить подвески на ось маятника так, чтобы маятник удерживался электромагнитом в верхнем положении.

4. Нажать клавишу «пуск». При этом маятник должен начать движение. Убедиться, что секундомер зарегистрировал время падения маятника.

 

3.2 Проведение измерений

1.В соответствии с процедурой, описанной в пп. 3 и 4, провести измерение времени падения маятника t не менее 10 раз. Результаты измерений занести в таблицу «Измерение случайной величины х Приложение2», заменив в таблице букву х на букву t.При этом необходимо учесть, что секундомер измеряет время в миллисекундах.

2. Определить приборную погрешность Δt_приб измерения величины t, взяв ее равной 0,02% от измеряемой величины плюс две цифры младшего воспроизводимого разряда. Результат записать в протокол работы.

3. С помощью рулетки измерить длину маятника h от нижней грани диска, находящегося в верхнем положении, до фотоэлектрического датчика. Приборную (и полную) погрешность Δh принять равной половине цены деления рулетки. Результат записать в протокол.

4. Штангенциркулем, используя его нониусную шкалу, измерить радиусы деталей маятника: радиус оси R₀, радиус диска R_Д и внешний радиус кольца R_k. Радиус нити принять равным R_H=(0,2 ±0,05)мм. Приборные (и полные) погрешности измерений радиусов ΔR принять равными половине цены деления нониусной шкалы штангенциркуля. Результаты записать в протокол.

5.Записать в протокол работы значения масс оси (m₀), диска (m_Д) и кольца m_k (указаны на соответствующих элементах).Погрешности измерений во всех случаях принять равными Δm=±1г.

 

3.3 Обработка результатов измерений

1.Найти оценку истинного значения величины t_ср (нижняя строка таблицы t_cр = ).

2.При наличии случайной ошибки по заданному преподавателем коэффициенту доверительной вероятности α рассчитать доверительную погрешность Δt_случ и вычислить полную погрешность Δt по формулам

Δt_случ = t_α,n Δt= , где n -число измерений, t_α,n - коэффициент Стьюдента.

3.По формулам (7) и (8) вычислить суммарную массу маятника и его эффективный радиус. Рассчитать их погрешности по формулам

Δm =

4.По формуле (6) вычислить экспериментальное значение момента инерции маятника Максвелла I_эксп.

5..Вывести расчетную формулу для определения относительной погрешности , используя общую формулу для расчета относительной погрешности при косвенных измерениях

, где x_i = m, D_ср,h, g, t_ср

Рассчитать величину относительной и абсолютной . погрешности

6.Привести окончательный результат экспериментального определения момента инерции маятника Максвелла.

7. По формуле (12), приведенной в первом разделе «Общие сведения», вычислить теоретическое значение момента инерции I _т маятника Максвелла.

8. Сравнить экспериментальное и теоретическое значения моментов инерции и объяснить возможные причины их расхождения.

 

Контрольные вопросы

1. Чему равны моменты инерции материальной точки массой m, сплошного цилиндра и диска, вычисленные относительно оси симметрии, проходящей через центр масс?

2. Как зависит ускорение поступательного движения маятника от его параметров (момента инерции, массы и радиуса оси)?

3. Напишите выражение для закона сохранения механической энергии для маятника Максвелла.

Литература

1. Ред. Лазовский В.Н. Курс физики. Т1 стр.50-55,129-142

2. Измерение физических величин. Методические указания к лабораторным работам. С-Петербург 2004г стр.18-22