Цель работы: изучение свободных затухающих колебания физического маятника. Определение момента инерции маятника и параметров колебаний: периода колебаний, логарифмического декремента затухания. Вычисление ускорения свободного падения.
Твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси О1, не проходящей через его центр тяжести, называется физическим маятником. Таковым является однородный металлический стержень массой m и длиной L, подвешенный на оси О1, удаленной от центра масс О на величину l (см. рис.1).
Из-за трения механическая энергия маятника рассеивается в виде тепла, поэтому колебания всегда затухают. Так как маятник совершает вращательные движения относительно неподвижной оси О, то они описываются основным уравнением динамики вращательного движения:
, (1)
где j- угол отклонения маятника; e = d2j/dt2 - угловое ускорение, I - момент инерции маятника относительно оси подвеса, М - результирующий момент всех сил, действующих на тело. Он складывается из вращательного момента, создаваемого силой тяжести, Mв р= -m×g× l ×sinj и тормозящего момента, создаваемого силами трения:
Mтор= -r×w, где r - коэффициент трения, w,=dj/dt - угловая скорость. Знак "-" в формуле для вращательного момента отражает тот факт, что возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, т.е. в сторону уменьшения угла. Знак "-" в формуле для тормозящего момента связан с тем, что направление силы трения всегда противоположно направлению движения.
При малых углах отклонения (6-100), допустимо считать sinj @ jтогда Mвр=-m×g×l×j и уравнение (1) можно представить в виде:
. (2)
Поделив все слагаемые на I и, введя обозначения:
, 
(3)
где b - коэффициент затухания, а w0 - собственная циклическая частота незатухающих колебаний маятника, придем к дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний:
. (4)
Решением этого уравнения является функция
. (5)
Множитель A= A0×е-b×·t представляет собой амплитуду затухающих колебаний в момент времени t; A0 - амплитуда в начальный момент времени. Выражение под знаком синуса - фаза колебаний в любой момент t, a0 - начальная фаза (t = 0), w-циклическая частота затухающих колебаний. График функции (5) для a0 = 0 представлен на рис.2.
 |
Количественной характеристикой затухания служит логарифмический декремент затухания d. Он определяется как логарифм отношения двух следующих через время равное периоду T амплитуд.
. (6)
При слабом затухании трудно определить уменьшение амплитуды за один период, поэтому для нахождения d удобно брать n периодов. В этом случае, время наблюдения, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в S раз, равняется n×T. Тогда получим:
(7)
Из (7) с учетом (6) получим выражение для логарифмического декремента затухания в виде:
. (8)
Обычно принимают S=2. Тогда ln S = ln 2 = 0,693. Решение уравнения (4) показывает, что частота собственных свободных затухающих колебаний w меньше, чем частота свободных не затухающих колебаний w0 и определяется соотношением: 
.
При большом I и малом r согласно (3) может реализоваться неравенство b <<w0. Тогда влиянием затухания на частоту колебаний (период) невелико и им можно пренебречь. Из выражения (3) и соотношения w0=2p/T получим приближенную формулу для периода колебаний физического маятника:
. (9)
Отсюда следует, что
. (10)
Формула (10) широко используется для определения моментов инерции тел произвольной формы, теоретическое вычисление которых представляет значительные трудности.
Для физического маятника в виде однородного стержня момент инерции относительно оси подвеса вычисляется по теореме Штейнера:
I = I0 + m×l2 (11)
где I0 - момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, l - расстояние от центра масс до оси вращения.
Если I и m известны, то измеряя период Т физического маятника можно по формуле (10) определять g. Такой подход используется на практике в некоторых типах гравиметров.
В данной работе для определения I0 и r воспользуемся графическим методом. Для этого выразим момент инерции в формуле (10) с помощью уравнения (11), и, умножив правую и левую часть на 4p2/mg, получим:
T2l= 4p2I0/mg+ 4p2l2/g (12)
Введем обозначения:
y = T2×l, x = l2,
, 
(13)
что позволяет представить зависимость (12) в виде линейной функции y=b+Ах и по угловому коэффициенту А прямой определить величину g:
.
По отрезку b, отсекаемому продолжением прямой на оси ординат, можно определить I0 из формулы (13), используя табличное значение g. При этом появляется возможность сравнения экспериментального значения I0 с вычисленным по формуле Iтеор = mL2/12, где m -масса однородного стержня, L - его длина.
