Свободные колебания пружинного маятника

 

Цель работы: Изучение колебаний пружинного маятника. Определение жесткости пружины и основных параметров колебаний: периода, коэффициента затухания, добротности.

Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой m, подвешенного на упругой пружине (рис.1), причем масса

пружины пренебрежимо мала по

сравнению с массой груза. Если вывести груз из положения равновесия, то, со стороны деформированной на величину x пружины, на груз подействует возвращающая сила F, пропорциональная, согласно закону Гука величине смещения.

F=-kx. (1)

Здесь k - коэффициент жесткости пружины.

Движению груза противодействует сила сопротивления, которая при небольшой скорости движения пропорциональна ее величине, т.е.

f_сопр= . (2)

Здесь r - коэффициент сопротивления.

Уравнение движения груза массой m в соответствии со 2-м законом Ньютона запишется в виде: ma = F+f_сопр. Т.к. ускорение а = , то после подстановки получим:

. (3)

Введем обозначения:

, , (4)

где b - коэффициент затухания, w₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний, T₀ -их период. Получим стандартное дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

(5)

Решение уравнения (5) имеет вид:

, (6),

где - убывающая со временем амплитуда, которая в начальный момент времени t=0 равнялась А₀; j₀ - начальная фаза колебаний, w - циклическая частота затухающих колебаний.

(7)

Если масса колеблющегося груза велика, то влияние коэффициента затухания на частоту незначительно, т.е. , и им часто пренебрегают. В этом случае период колебаний пружинного маятника можно считать равным периоду его незатухающих колебаний:

(8)

Коэффициент затухания b и обратно пропорциональная ему величина добротность Q являются важнейшими характеристиками колебательной системы, параметрами контроля качества изделий в ряде областей машиностроения. Например, чем быстрее происходит затухание колебаний в лопатках турбин, деталях машин, самолетов, тем меньше разрушаются механизмы; в камертонах, струнах, колоколах, напротив, добиваются минимального затухания или максимальной добротности. Добротностью Q называется величина, пропорциональная отношению запасенной энергии к энергии, потерянной за период:

(9)

Здесь d=bT -логарифмический декремент затухания.

По величине добротности можно судить о том, как много колебаний совершит система до остановки. Для определения добротности Q по формуле (9) нужно измерить потерю энергии за период, что весьма сложно. Поэтому оценивают потерю энергии Q` за время t₁=nT (n - число полных колебаний), в течение которого амплитуда уменьшится в S раз: . Так как вся энергия маятника может быть выражена через его максимальную потенциальную энергию, связанную с амплитудой соотношением:

(10)

а амплитуда со временем убывает по экспоненте , то

= . (11)

Здесь использовано разложение экспоненты в ряд

Из (11) следует формула для вычисления добротности:

(12)

Зная добротность Q, можно из (4), (9) и (12) найти коэффициент затухания системы b и коэффициент сопротивления r:

; r=2mb (13).