Определение переходной характеристики цепи.

Определение функции передачи цепи.

Функция передачи цепи по току определяется как, где I₁(S), I₂(S) – изображения по Лапласу реакции и воздействия.

Изображаем операторную схему цепи, в которой L-элементы заменяем операторными сопротивлениями Z_L=SL (рис.1.1).

 

Z_H = R_H = 1;

Z₃ = R₃ = 0,5;

Z₄ = R₄ = 0,5;

Z₅ = Sּ1 = S;

Z₆ = Sּ0,5 = 0,5S.

 

Представим цепь в виде четырехполюсника, к левым зажимам которого подключается источник, а к правым – сопротивление нагрузки (рис.1.2).

 

Метод пропорциональных величин:

I₂(S) = 1;

U_H(S) = i ₂(S)ּZ_H = 1;

U₆ = i ₂ּZ₆ = 1ּ0.5S = 0.5S;

U₄ = U₆ + U_H;

U₄ = 0.5S + 1;

i ₄ = S + 2;

i ₅ = i ₄ + i ₆; i ₅ = S + 2 + 1 = S + 3;

U₅ = i ₅ּZ₅; U₅ = (S + 3)S = S² + 3S.

Для дальнейшего удобства расчета перерисуем цепь (рис. 1.3).

 

 

, ,

, , ____

, , .

,

Передаточная функция:

 

 

Рассчитаем функцию передачи токов при S = 0, S ­à∞.

H_I(∞) = 0

Проверим полученные значения H_I(0) и H_I(∞) по схемам замещения, соответствующим S = 0 (рис. 1.4.а), где LàКЗ, и S ­à∞ (рис. 1.4,б), где L ­àХХ.

а б

рис. 1.4

 

Из схемы рис. 1.4, а:

U₃ = U₄ = U_H = U

Из схемы рис. 1.4, б:

I₂ = 0,

Проверка по схемам замещения для H_I(0) и H_I(∞) дала такие же результаты, какие были получены при расчете передаточной функции операторным методом. Таким образом, можно сделать вывод, что эти значения были найдены верно.

 

 

Определение нулей и полюсов функции передачи.

 

Нули – корни полинома числителя, полюса – корни полинома знаменателя передаточной функции цепи.

Конечных нулей не имеет. Найдем полюса:

S₁ = − 0.78

S₂ = − 3.22

 

Расположение полюсов на плоскости комплексной частоты приведено на рис. 1.5.

Исходя из вида полюсов (отрицательные, простые), можно заключить, что переходный процесс в рассматриваемой цепи имеет апериодический, затухающий характер. Его практическая длительность:

 

 

Определение переходной характеристики цепи.

Передаточную характеристику h ₁(t) – реакцию цепи на единичную ступенчатую функцию δ₁(t) при нулевых независимых начальных условиях – находим как оригинал функции передачи цепи.

S₁ = 0,

S₂ = − 0.78,

S₃ = − 3.22.

Таким образом,

Определим значения h ₁(t) при t = 0⁺ и при t à ∞.

Проверим полученные значения по схемам замещения исходной цепи, соответствующим t =0⁺ (рис. 1.6, а), где L àХХ, и t à ∞ (рис 1.6, б), где L à КЗ.

а б

рис. 1.6

 

Из схемы рис. 1.6, а: h ₁(0⁺) = I₂(0⁺) = 0.

Из схемы рис. 1.6, б по теореме о предельном значении функции:

Это сошлось с полученными выше значениями. Следовательно, вычисления выполнены верно.

График переходной характеристики цепи представлен на рис. 1.7.

1.4. Определение по Лапласу входного одиночного импульса.

Входной одиночный импульс тока i₁ (t) приведен на рис. 1.8.

Параметры сигнала:

I_m = 10 A;

t_и = 1,5 с.

Начальные условия нулевые.

 

 

Изображение сигнала:

 

1.5. Определение изображения выходного сигнала I₂(S)

и реакции цепи во временной области i ₂( t ).

Изображение выходного тока:

I₂(S) = I₁(S)·H_I(S)

Переводим во временную область:

 

 

F(S)

 

Сначала переводим в t -область функцию F(S).

S₁ = 2,09

S₂ = − 0.78

S₃ = − 3.22

f (t) – оригинал функции F(S).

f (t) = f ₁(t) + f ₂(t)

Графики входного и выходного и выходного сигналов представлены на рис. 1.9.

 

 

 

II. АНАЛИЗ ЦЕПИ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ОДИНОЧНОГО ИМПУЛЬСА НА ВХОДЕ.