Основные компоненты задачи

РОЛЬ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

При обучении математике задачи играют большое значение. Велика роль задач в развитии логического мышления учащихся, формирования практических навыков применения математики, формирования диалектико-материалистического мировоззрения. При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение: образовательное, практическое, воспитательное. Они являются основным средством развития пространственного воображения, алгоритмического мышления, эвристического и творческого начала.

Задачи играют большую роль в изучении теоретических знаний. Задачи способствуют мотивации введения понятия, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи понятия с другими понятиями.

Задачи, используемые в процессе изучения теоремы, выполняют следующие функции: способствуют мотивации введения теоремы; выявляют закономерности, отраженные в теореме; способст­вуют усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскры­вать приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами.

Задачи являются основным средством развития пространственного мышления, творческой деятельности школьников.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и сами задачи. Раньше задачи формулировались с использованием слов: «найти», «построить», «вычислить», «доказать». В современной школе задачи формулируются: «обосновать», «вы­брать из различных способов решения наиболее рациональный», «исследо­вать», «спрогнозировать различные способы решения» и т. д.

Решение задач является наиболее эффек­тивной формой развития математической деятельности. Деятель­ность по решению задач достаточно сложна для ученика. Она включает в себя ряд действий учебного характера, которыми каждый ученик должен владеть.

 

Меню

КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ

Проблеме классификации задач в современной методической и психологической литературе посвящено немало работ.

По характеру требования:
- задачи на доказательство;
- задачи на построение;
- задачи на вычисление.

По функциональному назначению (К.И. Нешков, А.Д. Семушин):
- задачи с дидактическими функциями;
- задачи с познавательными функциями;
- задачи с развивающими функциями.

По величине пробемности (У. Рейтман, Ю.М. Колягин):
- стандартные (известны все компоненты задачи);
- обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи);
- поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи);
- проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи).

При условии, какие компонентах задачи (А - условие, В - заключение, К - реше­ние, С - базис решения задачи) неизвестны решающему, получа­ется следующая типология:

I тип - известны все компоненты (АСКВ)

II тип - неизвестен один компонент:

а) …СКВ; б) А …В; в) АС…В; г) АСК….

III тип - неизвестны два компонента:

а) А……В; б) …СК… и т. д.

IV тип — неизвестны три компонента:

а) … … … В; б) А… … …; в) …С… …; т) … … К….

По методам решения задач:
задачи на геометрические преобразования,
задачи на векторы и др.

По числу объектов в условии задачи и связей между ними:
простые;
сложные.

По компонентам учебной деятельности:
организационно-действенные;
стимулирующие;
контрольно-оценочные.

Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.

Меню

ВИДЫ ЗАДАЧ И ИХ ФУНКЦИИ

Задачи являются основным средством, которое используется при обучении математике для формирования знаний, умений и навыков учащихся. Посредством решения задач реализуются все цели обучения математике: образовательные, развивающие, воспитательные. По своему функциональному назначению задачи, как средство обучения, могут быть или направлены на формирование знаний, умений и навыков учащихся (обучающие задачи) или на осуществление контроля со стороны учителя или учащихся уровня сформированности знаний, умений и навыков (контролирующие задачи) (рис. 19).

Рис. 19. Классификация задач по функциональному назначению

Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием элементов теоретических знаний и связанных с ними умений.

В системе задач, связанных с усвоением понятия и его определений, выделяются следующие задачи:

1. Задачи, связанные с показом практической значимости нового понятия или с его значимостью для дальнейшего продвижения в изучении математики.
2. Задачи на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании данного понятия.
3. Задачи на выделение существенных признаков понятия.
4. Задачи на распознавание формулируемого понятия.
5. Задачи на усвоение текста определения понятия.
6. Задачи на использование математической символики.
7. Задачи на установление свойств понятия.
8. Задачи на применение понятия.
9. Задачи на усвоение математических понятий.
10. Задачи на овладение математической символикой.

 

 

Меню

ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЗАДАЧИ

В задаче выделяются следующие основные компоненты:

а) условие задачи - начальное состояние;
б) заключение задачи - конечное состояние;
в) решение - преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;
г) базис решения - теоретическое обоснование решения.

Математическими задачами считаются все задачи, в которых переход от состояния (а) к состоянию (б) осуществляется математическими средствами, т. е. математическим характером компонентов (в) и (г).

Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) - математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты (решение) и (базис решения), то задача называется прикладной математической задачей.

На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов можно построить дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.

Будем считать, что проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из ее основных компонентов (условие, заключение, решение, обоснование) неизвестны школьнику в момент предъявления ему данной задачи.

Стандартной называется такая задача, в которой четко определено условие, известен способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного.

Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из вышеуказанных основных компонентов. Если неизвестны какие-либо два компонента, задачу назовем поисковой, а если три - проблемной.

Часто в литературе встречается деление задач на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование и изучается каждый вид. Однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление, построение приходится много доказывать, а в задачах на построение, доказательство приходится много исследовать и т.д. Поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д.

Интересна классификация задач (А.Я. Цукарь), учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников:

- алгоритмические задачи;
- полуалгоритмические задачи;
- эвристические задачи.

Алгоритмические задачи - задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, для решения которых имеется алгоритм. Например, такой задачей являются задачи нахождения гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Роль алгоритмических задач в обучении математике велика. Решение задач по алгоритму быстро и легко приводит к желаемому результату. Ученики, хорошо усвоившие необходимые алгоритмы решения задач, могут оперироватьь свернутыми знаниями при решении других сложных задач, им не нужно будет прилагать усилия на поиск решения частичных проблем, которые решаются по алгоритму.

Полуалгоритмические задачи - задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов, связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны стороны треугольника и высота, опущенная на основание. Необходимо найдите периметр треугольника.

Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится сворачивать знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он учится применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.

Эвристические задачи - задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Найдите расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника.

При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.

Меню

ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Решение задачи осуществляется в несколько этапов.

I. Ознакомление с содержанием задачи.

На первом этапе процесса решения задачи имеют место осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или элементов цели), поиск необходимой информации в сложной системе памяти, соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися знаниями и опытом и т.д.

II. Поиск решения - выдвижение плана решения задачи.

На втором этапе происходят целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых, попытки подвести задачу под известный тип, выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из известных), выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректировка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивных соображений, фиксирование определенного плана решения задачи и т.д.

III. Процесс решения - реализация плана решения.

На третьем этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т.д.